第1章 提出I當的問題/1
1.1 一次探究/11 
1.2 深思/ 20 
1.3 逼近②/26 
1.4 古人所知道的/34
第2章 無理性及其推論 /44
2.1 、②無理性的推論/51 
2.2 題材的變化/53 
2.3 瓷磚問題又如何?/64
2.4 隊列問題/66
2.5 ②小數展開式的性質/73
第3章 代數的功能/87
3.1 種子，繁衍，世世代代/92 
3.2 包含所有的，還是不?/98
3.3 數列的拆分/110 
3.4 無須約分/119 
3.5 跨兩級的規則/125 
3.6 佩爾（Pell）數列/132
第4章 戲法/139
4.1 如果…將怎樣呢?/144 
4.2 總在1和2之間/151 
4.3 想像力的一個大膽飛躍/160 
4.4 另一個戲法/164 
4.5 所有的分數/172 
4.6 希羅（Hero）方法/175 
4.7 一點歷史/183 
4.8 海倫（Heron）數列/185 
4.9 速度與加速度/191 
4.10 預演/193
4.11 總是過剩近似值/195 
4.12 下到不足近似值/198 
4.13 不同的種子，相同的品種/201 
4.14 都在家族中/202
4.15 運用星號/208 
4.16 跨越/213 
4.17 加速度/216 
4.18 更強大/219
第5章 補遺與拾零/224
5.1 近似/225
5.2 拉馬努金（Ramanujan）/236 
5.3 卡爾·高斯（Carl Gauss）/242 
5.4 知難而進/247
5.5 不同的題，相同的解 /252 
5.6 冪次的相等/260 
5.7 無限遞減/264 
5.8 四個問題/ 270 
5.9 有理的與無理的/274 
5.10 /②2之花/284 
尾聲/289 
各章注釋/291 
致謝/295

序 言
在我撰寫本書的時候，我想像這是一位"老師"與一位"學生"的對話——老師人到中年，不僅精通數學，而且十分敬業，就像藝術家對他的藝術一樣，對自己的工作充滿熱情;學生即將成年，他表達清晰，勇於探索，渴望更博學的老師所給予的任何知識。當您預備閱讀本書時，也請您作這樣的理解。
他們的對話—我沒有描寫確切的場景——是老師創設的，目的之一是讓學生體會數的概念遠比初能想見的微妙得多。他們的數學之旅始於老師用一繫列問答引導學生，通過一個漂亮而又簡單的幾何範例（據信產生於古代印度），建立了一個確定的數的存在性，而關於這個數的性質的知識就必然是隨後問答二重奏的基本內容。
老師的高明之處在於他希望學生領略一點數學的奧秘，更在於他能引導學生一步一步逐漸熟悉數學推理，在自己"發現事物"的過程中體驗純粹的快樂。正開始探索的年輕的學習者很快感受到發現的喜悅，經過一番探索與努力，他遇見一個數列，他猜想這個數列與老師所展示出來的神奇的數有密切的聯繫，這對他來說是彌足珍貴的獎勵。為這個幸運的發現所誘惑，強烈的好奇心驅使他迫不及待地投入工作，去更多地了解這個數，了解這個數與已令他著迷的數列間的聯繫。這本共有五章的書便由此開始。
我盡力使前四章具有獨立性。當日常語言能達到同樣目的時我避免使用數學記號，雖然語言敘述略顯冗長。數學記號的運用不超出簡單的高中代數的範圍，但表達方式明顯反映對這個數學分支的需要。所使用的代數方法是簡單的，但經常是巧妙的，顯示運用少量工具和技巧能夠做那麼多事。倘若讀者能因此而欣賞代數-—在一般意義下證明的功能——本書的寫作就不枉然。
遺憾的是，若要保持第五章完全獨立，就不得不舍棄若干精彩的材料，這實在不是我的意願，我寧可努力將這些材料獻給勤奮的讀者，希望他們能充分領會這些材料的實質。
在本書中，為區別對話的雙方，將采用以下的印刷方式∶
老師的聲音——自信、柔和而令人信服——設置為這樣的黑體字，並靠近頁面左側。
學生的聲音——恭敬，熱切而又好奇——設置為這種輕快的字體，在頁面上略微右移。
老師與學生間的對話，理應既嚴肅又活潑，我希望本書的讀者能夠從這篇對話中體會寓教於樂的態度和精神。
戴維·弗蘭納裡
2005年9月