初版序言

再版序言

甲輯

畢達哥拉斯之謎002

阿基米德：數學之神021

歐瑪爾·海亞姆的世界042

隱居的法國人：笛卡爾與帕斯卡爾060

萊布尼茨：難以企及的人物075

龐加萊：第四維、立體主義與相對論092

馮·諾伊曼：因為他，世界更加美好104

納什：兩個世界裡的愛127

乙輯

秦九韶、道古橋與《數書九章》142

費爾馬後的定理

    ——紀念費爾馬誕辰四百周年  156

牛頓在他的“非典”時期167

歐拉：他停止了生命和計算

    ——紀念歐拉誕辰三百周年  180

高斯：離群索居的王子

    ——紀念《算術研究》發表二百周年  194

希爾伯特：一個時代的終結者216

拉曼紐揚：一個未成年的天纔226

羅庚與省身：兩位同時代的數學大師248

與保羅·愛多士失之交臂277

丙輯

黑暗時代的智慧火種294

從笛卡爾到龐加萊

    ——法國數學的人文傳統  313

數學家與詩人346

數學家與政治家355

與哥德爾一起散步367

憶潘師376

“我的一生可以看作一個圓”

——西子湖畔訪楊振寧  391

後 記  410

馮·諾伊曼：因為他，世界更加美好

從爪印判斷，這是一頭獅子。

—丹尼爾·貝努利

1.一顆匪夷所思的大腦

他本是一位富有的銀行家的公子，放浪不羈，喜歡逛夜總會，卻成了20世紀舉足輕重的人物。“二戰”以前他是傑出的數學家和物理學家，是美國普林斯頓高等研究院首批聘請的5位終身教授中年輕的（29歲，年長的愛因斯坦54歲）。“二戰”期間他是盟軍好的爆炸理論專家，也是顆原子彈設計師和助推人。戰後他創立的博弈論極大地開拓了數理經濟學研究，影響了11位諾貝爾經濟學獎得主的工作。而他的貢獻是在計算機理論和實踐方面，被譽為“電子計算機之父”。簡而言之，他是20世紀美國引進的有用的人纔。此人便是匈牙利出生的猶太人約翰·馮·諾伊曼。

馮·諾伊曼身材敦實，有一雙明亮的棕色眼睛、一張隨時可以咧嘴一笑的臉和一顆奇異的大腦。他對自己專注的事情，有著驚人的記憶力，能夠整頁背誦英國作家狄更斯的小說《雙城記》和《大英百科全書》中有啟示性的條目。至於數學常數和公式，更是塞滿他的大腦。他的閱讀速度和計算能力也十分驚人，有時上廁所也要帶上兩本書。當他計算時，眼睛盯著天花板，面無表情，大腦卻在高速運轉著。如果是在快速運行的火車上，他的思想和計算速度也會加快。

他還有一種看似平常的能力，就是不斷學習新事物的願望和行動。在柏林期間的一個暑假，化學繫本科生馮·諾伊曼返回布達佩斯家中，結識了一位讀經濟學的老鄉，立刻向他咨詢並要求推薦入門書籍，從此開始牽掛這門學科。還有一次他受邀去倫敦指導海軍引爆德國水雷，卻在那裡學到空氣動力學知識，並對計算技術發生濃厚興趣。前者使他成為斜衝擊波的先驅，後者讓他開數值分析研究的先河。而他對電子計算機的介入，起因於月臺上的一次邂逅，他在旅途中尤其多產，幾乎所有成就都是在他主要從事別的工作時取得的。

對一個經常需要與出類撥萃的科學家合作，有時要與政治家、軍事家打交道的人來說（從美國數學會主席到總統特別顧問他都擔任過），還需具備敏銳的政治嗅覺和平衡能力。戰前他曾預言，德國將會征服孱弱的法國，猶太人會慘遭種族滅絕；之後，趁著德國和蘇聯鷸蚌相爭，美國會坐收漁利。他還認定，蘇聯人遲早會發明核武器，因為“原子彈的秘密很簡單”。至於平衡能力，可能是與生俱來的。他還有個顯著特點，不事張揚也不喜歡辯論，遇到緊張氣氛善於講段子化解。

當然，這顆天纔的大腦也存在不足，他不像愛因斯坦和牛頓那樣有獨創性。但他卻能抓住別人原創的思想火花，迅速進行深入細致的拓展，使其豐滿、可操作。愛因斯坦來美國後隻是個像征性的人物，而馮·諾伊曼卻是無可替代的。鷹派成員、海軍上將施特勞斯認為：“他有一種非常寶貴的能力，能夠抓住問題的要害，把它分解開來，困難的問題也會一下子變得簡單明了。”諾貝爾物理學獎得主維格納也曾談道：“一旦馮·諾伊曼博士分析了一個問題，該怎麼辦就一清二楚了。”

當所有這些素質加在一起，集中到一個人身上，優勢便非常突出了。維格納承認他在這位比自己低一屆的中學校友面前懷有自卑情結，他在獲得諾獎後接受科學史家庫恩的采訪時說道：“不管一個人多麼聰明，和馮·諾依曼一起長大一定有挫折感。”另一位諾獎得主、德裔美國物理學家貝特也曾感嘆：“馮·諾伊曼這樣的大腦是否意味著存在比人類更高一級的生物物種？”在人類歷史上，他屬於那種在黑板上寫幾個公式就能改變世界的少數幾個人之一。法國布爾巴基成員迪阨多內甚至相信，馮·諾伊曼是“後一個偉大的數學家”。

2.午餐時分的家庭聚會

1903年12月28日，馮·諾伊曼出生在多瑙河畔的匈牙利首都布達佩斯。其時匈牙利和奧地利雖然組成了奧匈帝國，但那隻是外交和軍事上的聯合，內政和經濟各自獨立，且有自己的國名、國王和語言。與絕大多數歐洲人不同而與中國人一樣，匈牙利人的姓在前名在後，這成了學者們考證他們的祖先來自中亞或蒙古草原的重要依據。10歲那年，做銀行家的父親因擔任政府經濟顧問有功，被授予貴族頭銜，從此家族姓氏前多了一個von，變成了馮·諾伊曼。

在馮·諾伊曼出生前的35年裡，布達佩斯是歐洲發展快的城市—如同紐約和芝加哥（內戰勝方）是美洲發展快的城市—人口從全歐第17名一舉躍為第6名。布達佩斯率先實現電氣化，鋪設了歐洲條電力地鐵，並用電車取代公共馬車，建成橫跨多瑙河的伊麗莎白大橋，那是當時世界上長的單孔橋。那會兒匈牙利正處於黃金時代，布達佩斯頗有巴黎的情調，歌劇院的音響效果超過了維也納，來自世界各地的保姆不計其數，夜總會女郎耐心地傾聽客人們的政治主張。

在次世界大戰爆發前的半個世紀裡，布達佩斯和紐約是各國猶太人優先考慮移民的城市。在這兩處人間天堂裡，他們迅速成為醫生、律師那樣的專業人士或成功的商人。相比之下，移民到紐約的猶太人大部分出身較為低下，布達佩斯更為那些中產階級和上層社會的猶太人向往，那裡有著理想的中學教育環境。尤其重要的是，在中歐其他國家猶太人仍低人一等的時候，在匈牙利已經有所改變。馮·諾伊曼的父親來自鄉村，通過律師資格考試後進入銀行，開始了興旺發達的事業。再通過聯姻，成為殷實的猶太家族成員。

10歲以前，馮·諾依曼接受的是典型的猶太式教育。外語學習特別受重視，家長們認為，隻會說馬扎爾語的孩子將來連生存都成問題。先是德語，然後是法語和英語。年齡稍長以後，還要學拉丁語和希臘語。說到拉丁語，它在匈牙利已經被教了幾百年了。這是一種公理化的語言，會使人頭腦條理化，邏輯性增強。當然，數學也至關重要。從小他就表現出計算方面的天賦，這方面的遺傳來自外祖父。母親的藝術素養幫助他發現數字的優雅，後來成為他對學問境界的一個要求。

馮·諾伊曼也酷愛歷史，據說他曾在極短的時間裡，啃完一套44卷的《世界史》，且書中夾滿了小紙條。當然，馮·諾伊曼並非，他在擊劍和音樂方面纔華平平，雖然家裡請來出色的大提琴教師，他卻永遠處於指法練習階段。不過，匈牙利猶太人中不乏偉大的指揮家和鋼琴家。美語裡的電影一詞movie，也很有可能從匈牙利語mozi演變而來。創造好萊塢的正是移居美國的匈牙利人，其中包括福克斯和祖可，後者是派拉蒙公司的奠基人。

必須提及的是，馮·諾伊曼家有一個很好的傳統，那就是午餐時分的家庭聚會，父親再忙也要回家。孩子們爭相提出一個個問題，比如海涅的某一首詩、反猶主義的危害性、“泰坦尼克”號的沉沒、外祖父的成就，等等。（相比之下，我們的大學餐廳裡不缺少的是高清電視機。）有一天，小馮·諾伊曼提出，眼睛的視網膜成像原理不同於照相負片上的小顆粒，應該是多通道或多區域輸入。綜觀他的一生，都對中樞神經繫統的運轉技術和人工輸入機器或機器人的技術之間的區別感興趣。

10歲那年，馮·諾伊曼上了中學，在德語裡叫Gymnasium。那些視德國為精神領袖的國家，包括奧匈帝國也用這個詞，本意是體育館或健身房。自古希臘以來，那裡便是年輕人赤身裸體參與競爭的地方。那時候匈牙利采用精英教育，引入激烈的競爭機制，對十分之一高智商的學生進行精心培養。這項政策有利於猶太人的脫穎而出，對他們來說，研究理性的數據比與人打交道更容易。二戰結束後，日本模仿了匈牙利的精英教育模式，不僅迅速提升了經濟實力，還培養出10多位諾貝爾獎和菲爾茲獎得主。

在那前後，共有四位年齡相仿的猶太男孩進入布達佩斯三所的學校，他們後來全部移居美國。除了馮·諾伊曼以外，還有齊拉特、維格納和特勒，主要是依靠這四個匈牙利人，美國研制成功了原子彈和氫彈。正是後面這三位物理學家在1939年夏天說服愛因斯坦給羅斯福總統寫信，纔有了“曼哈頓計劃”。齊拉特率先提出了鏈式反應的理念，維格納建立了中子吸收理論，而特勒（楊振寧的博士生導師）則被譽為“氫彈之父”。作為猶太人，他們對納粹德國有一種恐懼和厭惡感，這促使他們奮不顧身地投入核武器的研制。

“一戰”結束以後，匈牙利被鄰國瓜分走三分之二的土地。可是，精英教育並未受影響，中學校長十分賞識馮·諾伊曼的數學纔華，把他推薦給布達佩斯大學的教授。17歲那年，他與一位教授合作研究車比雪夫多項式根的求解，在一家德國雜志發表了處女作。1921年，

馮·諾伊曼以獲得阨特沃什獎圓滿地結束了自己的中學時代，這個獎的得主還有齊拉特、特勒，以及工程學家、超音速飛機之父—馮·卡門，後者是中國核工業奠基人錢學森的博士生導師。

3.輾轉在歐羅巴的土地上

中學的後一年，老馮·諾伊曼開始為兒子的前途操心。他征詢了包括馮·卡門在內的許多朋友的意見，決定讓兒子學化學工程。小馮·諾伊曼要去柏林大學和蘇黎世聯邦工業大學學習化學工程，但他真正感興趣的卻是數學，而數學家在匈牙利的前景並不被看好。結果，他一邊在柏林和蘇黎世學化工，一邊在布達佩斯大學注冊成為數學博士候選人。也就是說，尚不滿18歲的年輕人要在相距遙遠的三座城市兼讀跨專業的本科生和研究生。由此可見，馮·諾伊曼是多麼自信和堅毅。

1921年秋天，馮·諾伊曼來到德國首都柏林。原來他是想要拜猶太化學家哈伯為師。這個哈伯在1915年發明了毒氣，極大地幫助了

“一戰”時期四面受敵的德國。1918年德意志戰敗，當年哈伯卻因另一項發明—用氫和氮合成氨—獲得諾貝爾化學獎（物理學獎的得主也是德國人、量子力學的開創者普朗克）。這一點足以說明，瑞典確實保持了中立國的立場。可是，馮·諾伊曼到柏林以後，卻意外地

“失蹤了兩年”。

事實上，那時他的主要興趣在集合論方面，雖然在大學聽過愛因斯坦的講座，但更多地受到數學老師施密特的影響。施密特是希爾伯特早年的學生，也是策梅羅（Z）的朋友。後者為消除羅素悖論率先提出了一個公理化的集合論，可惜在明確性方面存在歧義。幾年以後，另一位德國數學家弗蘭克爾（F）提出了替代公理，這個集合論被稱為ZF繫統。1931年當哥德爾證明了不完備性定理以後，ZF繫統成為康托爾連續統假設成立的希望。直到1963年，這一希望纔被美國數學家柯恩摧毀，後者因此獲得了菲爾茲獎。

1923年，馮·諾伊曼終於完成了他的長篇論文，投給德國《數學雜志》，編輯交給弗蘭克爾審閱。弗蘭克爾讀後深感震驚，隨即邀請20歲的馮·諾伊曼到德國中西部的馬伯裡作客，後建議他以“集合論的一種公理化”為題發表。馮·諾伊曼所建立的公理體繫後經瑞士數學家貝爾納斯（B）和奧地利數學家哥德爾（G）的完善，形成了集合論中一個新的繫統—NBG繫統，至今它仍是集合論值得信賴的基礎之一。

多年以後，已經移居以色列的弗蘭克爾回憶往事，引用了18世紀瑞士數學家貝努利讀到牛頓論文時說的一句話：“從爪印判斷，這是一頭獅子。”這篇論文尚未發表，已經在重量級人物中間傳閱，從那時起，化學繫本科生馮·諾伊曼便時常受邀到哥廷根，成為數學大師希爾伯特家的常客。相差40多歲的一老一少常在書房或花園裡一待就是幾個小時，弄得哥廷根一些教授心裡不是滋味。有趣的是，也是在那兩年裡，現代主義文學的代表作艾略特的《荒原》和喬伊斯的《尤利西斯》得以問世。

現在，讓我們把目光轉向蘇黎世。馮·諾伊曼在柏林的兩年，隻是修了一些化學的基礎課程，拿學位卻要到蘇黎世。1923年秋天，他在蘇黎世聯邦工業大學開始了第二階段的學習。雖然功課全優，但摔破的實驗室玻璃容器難以計數。其時，他早已經與這所大學兩位好的數學家—外爾和波利亞建立了密切的關繫。外爾去外地講學開會的時候，化學繫本科生馮·諾伊曼會代課。波利亞說過怕哥德爾提問，有一次他在課上提起一個懸而未決的數學問題，下課時已經被馮·諾伊曼解決了。

1925年夏天，馮·諾伊曼在蘇黎世獲得化學工程學士學位。次年春天，他在布達佩斯通過數學博士論文答辯，年僅22歲。在希爾伯特的安排下，他來到哥廷根做訪問學者，此時他已經被量子力學迷住了。那以後，他被柏林大學聘為無薪講師。這是19世紀以來德國為那些有意走學術之路的年輕人設置的崗位，也是取得教授席位的必由之路。沒有編制和薪水，所得酬勞來自修課學生的學費，這迫使年輕人發憤圖強。

馮·諾伊曼在柏林大學待了兩年以後，又轉到了漢堡大學。在擔任無薪講師期間，他在集合論、代數學和量子理論方面取得了一繫列重要的研究成果，受到了數學界的矚目。例如，在測度論方面，馮·諾伊曼發表了《一般的測度理論》，把測度問題從歐氏空間推廣到一般的非阿貝爾群，證明了所有可解群都是可測度的。在算子理論方面，馮·諾伊曼首先給出了希爾伯特空間的抽像定義，從中建立起了自己的譜理論，這是泛函分析誕生的必要條件。

迄今為止，牛頓力學仍統治著這個世界的大部分領域，適用於我們肉眼所能看見的一切事物。當物體運動速度太快時，愛因斯坦相對論的某些定律纔開始起作用。量子力學是理論物理學和現代技術的基礎，它直接導致了電子革命和原子彈的誕生。量子力學的一個基本點是原子狀態的數學描述，馮·諾伊曼證明了：原子的狀態可用希爾伯特空間中的單位向量來表示，這使得量子力學的兩種表示方式，即海森堡的矩陣力學和薛定諤的波動力學相互統一。

4.大蕭條時期的美利堅

1929秋天，美國的普林斯頓大學便向他伸出橄欖枝，邀請他擔任客座講師。原來此前，他在蘇黎世的老師外爾到普林斯頓做了一年的訪問教授，適逢希爾伯特退休，外爾奉命返回哥廷根接替老師的職位，同時向美國人推薦了馮·諾伊曼。顯而易見，客座講師隻是一個過渡職位。可以說，因為德國教授位置的稀缺，也因為戰爭的逼近，讓美國獲得了一個不可多得的人纔。馮·諾伊曼先是回了趟布達佩斯，皈依天主教，完成了人生大事—結婚。隨後，他便攜帶著新婚妻子，在法國乘船渡過了大西洋。

那會兒美國正處於經濟大蕭條時期，但馮·諾伊曼很快就愛上了這個移民國家。美國人講究實效、言之有物，不墨守成規。第二年，他便順利晉升教授。又過了兩年，雄心勃勃的普林斯頓高等研究院成立，馮·諾伊曼成了首批聘請的終身教授。加上愛因斯坦和外爾，高等研究院首批聘請的5位教授中，有3位來自德國。這3個人當中，隻有外爾不是猶太人，但他是猶太人的女婿。有人做過統計，1933年及以後從德國移民到美國的科學家中，有11人獲得了諾貝爾獎，10人參與了“曼哈頓計劃”。

說到普林斯頓高等研究院（下簡稱高研院），人們似乎隻有羨慕和崇拜了。即便在大蕭條時期，教授們也仍拿著高薪，而不用承擔任何義務。那裡還有一些奇怪的規則，比如，從不招收研究生，隻吸納優秀的博士生做博士後研究。對此，有不少人不以為然。“曼哈頓計

劃”領導人奧本海默就不願意當那裡的教授，認為在那裡“唯我獨尊的星星們孤獨、絕望地發著各自的光”。多數科學家都認為，在自己缺少靈感時，學生們“提出的相關問題”會刺激他們，“教學和學生使得生活有意義”。

即便是愛因斯坦，也在普林斯頓感受到了壓抑氣氛。他在給物理學家玻恩的信中寫道：“我覺得自己像是在穴中鼕眠的熊。”當初他抵達美國，紐約市長帶著一支樂隊到碼頭恭候，結果卻喫了閉門羹，一艘汽艇直接把客人接到了新澤西；甚至羅斯福總統邀請愛因斯坦共進晚餐時，也被高研院方面婉言謝絕。有些人以為，科學家都不食人間煙火。愛因斯坦在給比利時女王的信中寫道：“一座古怪而死板的村莊，住著一群盛名之下其實難副的人。”信的落款寫的是，“集中營，普林斯頓”。

甚至性格豁達的馮·諾伊曼，在普林斯頓過得也不開心，每到夏天來臨，他都攜帶妻女迫不及待地返回歐洲。三年以後的那個夏天，他的妻子沒有跟他回來。不過，他的學術研究卻沒有停止過，且總是成績卓著。20世紀90年代，當高研院快要迎來60華誕時，院方認真總結了三個標志性的成果，分別是：哥德爾對連續統問題的研究，楊振寧和李政道推翻宇稱守恆定律，馮·諾伊曼的工作。當然，現在必須加上懷爾斯對費爾馬大定理的證明。

在普林斯頓期間，馮·諾伊曼從數學意義上總結了量子力學的發展，出版了《量子力學的數學基礎》，它至今依然是一部經典著作。此

外，他還推出統計學中著名的弱遍歷定理。他在群論方面的研究也取得了突破，在緊致集情況下解決了希爾伯特第5問題。在一位年輕數學家的協助下，馮·諾伊曼寫出了“算子環”的繫列論文，後來成為量子物理學的強有力武器，並催生出連續幾何學這一副產品。人們為了紀念他，將其命名為馮·諾伊曼代數。這一切，應歸功於他的年輕和持續的創造力，他是一個懂得如何放松和思考的人。

5.水雷和“曼哈頓計劃”

1937年，馮·諾伊曼宣誓加入了美國國籍。同年，日本全面發動侵華戰爭。接下來的兩年裡，德國吞並了奧地利和捷克斯諾伐克，意大利吞並了阿爾巴尼亞。希特勒軍隊侵入波蘭，英國和法國對德宣戰。此前，馮·諾伊曼已被邀請到馬裡蘭州的阿伯丁，擔任陸軍機械部所屬彈道試驗場實驗室顧問。迎接他的是一門新的學問—火炮彈道學，科學家們早就發現，炮彈穿越濃度變化的空氣的運動阻力和軌跡是非線性方程。於是，馮·諾伊曼成了前計算機時代衝擊波和彈道軌跡的計算者。

不過，直到1941年底日本偷襲珍珠港，馮·諾伊曼一直沒有在阿伯丁花費太多精力，他相信英國能夠暫時抵御德國的入侵，美國不會太早宣戰。他繼續撰寫有關算子環的論文。期間他還涉獵天體物理學，與印度裔物理學家錢德拉塞卡（1983年諾獎得主）聯名發表了一篇題為《恆星的無規則分布引起的引力場統計》的論文。閑暇時，馮·諾伊曼開始革新經濟學，不過這得等戰後纔能發揮更大的作用。當然，他也為阿伯丁工作，與人合作寫下諸如《逐次差分估計的可能誤差》的研究報告。

這份報告使他成為重量級的爆炸理論專家，待到美國參戰以後，他更是聲名鵲起，成為復雜爆破的計算大師。他在陸軍機械部名聲大振後，很快也被海軍機械部盯上了。馮·諾伊曼被轉到水雷作戰處，3個月以後，他被派到英國工作，與第二任妻子乘上了轟炸機。英國之所以需要他，是因為德國人在英吉利海峽上布下了大量的水雷。狡猾的德國人設置了機關，在感應若干次以後纔爆炸，其中的模式無法解破。這對馮·諾伊曼來說可謂是小菜一碟，他運用數學技巧輕而易舉地完成了這項任務，避免了海軍官兵無謂的犧牲。

到了1943年5月，華盛頓要求倫敦送他們好的爆炸理論專家回國。馮·諾伊曼卻希望在英國再待上一段時間，他在那裡學到了許多空氣動力學方面的知識，甚至覺得“我還對計算技術也有了不同尋常的興趣”，後一句話很可能意味著他已經見過圖靈了，後者在普林斯頓大學攻讀數學博士時，曾是馮·諾伊曼挑中的助手之一。可是，等到年中某個時候，美國還是強行召回了馮·諾伊曼。他的下一個任務令其無法抗拒，那牽涉到人類發明的分量重的一個詞—核。

馮·諾伊曼被任命為新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯實驗室顧問，那以後，他便身兼四處職務了：普林斯頓、陸軍機械局、海軍機械局、洛斯阿拉莫斯實驗室。馮·諾伊曼對投放日本的兩顆原子彈的貢獻究竟有多大呢？眾所周知，核武器的研制要依靠集體的智慧和力量，個取得成功的美國人更不可能例外。先是馮·諾伊曼的布達佩斯老鄉齊拉特在1933年“靈光乍現”，想到了鏈式反應。按照他的設想，以等比級數的數量形式釋放中子，可以在幾百萬分之一秒內，在狹小的空間裡釋放出超出人類想像的巨大能量。

可當時，包括愛因斯坦、盧瑟福、玻爾在內的資深物理學家都輕視他的發現，愛因斯坦甚至開玩笑說，“原子能研究就如同在黑夜裡開槍射中一隻體形嬌小且珍稀的鳥”。當時在倫敦一家醫學院工作的齊拉特要求到英國海軍部任職時，同樣遭到了拒絕。1937年，齊拉特來到了美國。同年，“因認證出由中子轟擊產生新的素以及他在這一研究中發現由慢中子引起的反應”而獲得諾貝爾獎的意大利物理學家費米在斯德哥爾摩領獎後，也適時轉移到了美國。

此時洛斯阿拉莫斯人纔濟濟，除了“匈牙利四人幫”，還有玻爾、費米，以及實驗室主任、土生土長的美國物理學家奧本海默。雖然馮·諾伊曼本人是出色的物理學家，但主要是對量子力學的數學化做出了貢獻。他卻通過自己的努力，成為物理學家尊敬的數學家，指導了原子彈結構設計，確保體積不大，可以裝進一架轟炸機。與此同時，他還利用數字模擬實驗，提出了實現大規模熱核反應的方案。這不僅節約了時間，也節約了財力和物力。據說每次他來到實驗室，同行都會把他團團圍住，向他討教某些計算問題。

經過一段時間的協作努力，科學家們確認，鈾–235和鐶–239是裂變的材料。兩者的區別在於，鐶可以通過化學方法分離獲取，而鈾因其同位素有著相同的化學性質，隻能一個個地分離原子。鐶彈一個月可以制作兩到三枚，而一枚鈾彈需花費一年時間。他們曾遇到無法解決的難題，適用於鈾彈的炮擊法不適用於鐶彈。馮·諾伊曼發揮了聚爆專家的作用，親自設計了一枚由稜鏡構成內爆的裝置，在次核試驗中獲得了成功。

值得一提的是，當初美國計劃投放原子彈的六個候選地點是：京都、廣島、橫濱、東京皇宮、小倉軍械庫和新澙。馮·諾伊曼是決定投放地點的委員會成員，陸軍部長對京都提出異議，認為京都既是故都，又是佛教和道教聖地，摧毀它會引起公憤。而且戰後政治格局和經濟形勢恐會改變。接著橫濱也被排除了，因為以往轟炸得夠多了，且離東京太近，改由長崎代替。美國人意識到，投降的決定將在首都做出。1945年8月6日，鈾彈“小男孩”投放廣島，三天以後，鐶彈“胖子”投放長崎，第二次世界大戰由此結束。

6.商人如何贏取利潤

原子彈在日本投放後，奧本海默引用了印度史詩《薄伽梵歌》裡的詩句自我懺悔：“現在我成了死神，世界的毀滅者。”愛因斯坦也深感痛悔，他認為給羅斯福總統寄出的那封信，是自己一生所犯的的錯誤。1954年，核反應堆的設計師費米患癌癥去世，馮·諾伊曼也因參與比基尼島上的核試驗遭受核輻射。稍後，蘇聯的馬雷舍夫和中國的鄧稼先也沒有逃脫阨運，即便是奧本海默，也隻活到了62歲。馮·諾伊曼認為，既然原子彈可以制造出來，那麼，寄希望於獨裁者的良心發現是不足取的。馮·諾伊曼的親人中有不少死於對納粹的恐懼，有些是在他們移居美國以後。

戰後，對馮·諾伊曼那樣的實干家來說，有太多有關民生和建設的事情要做。即便在1944年，洛斯阿拉莫斯同僚們忙碌的時候，他也抽空對經濟學做了全面思考，那一年，他與經濟學家摩根斯坦合著的《博弈論與經濟行為》正式出版，立刻獲得凱恩斯母校劍橋大學的經濟學家斯通（1984年諾貝爾獎得主）的贊譽，並被稱為凱恩斯的《就業、利息和貨幣通論》之後重要的經濟學教科書。說到博弈論，它本是應用數學的一個分支，後來在經濟理論和應用中發揮了重要作用，同時教導商人如何運作以贏取利潤。

早提出博弈問題的是法國數學家波萊爾，他以創建實變函數論裡的波萊爾集聞名，同時也是一位著名的政治家和教育家。他首先定義了策略的應對，提出了策略、混合策略、均衡策略、兩人與多人對策、零和與非零和對策等問題。零和對策給競爭者的支付總和為零或常數，而非零和對策的支付總和是可變的。前者一個競爭者的所得恰好是另一個競爭者的所失，後者競爭者可以同時有所得或有所失。

1928年，柏林大學無薪講師馮·諾伊曼發表了篇重要的博弈論文章《關於伙伴遊戲理論》，利用一個表示討價還價能力的矩陣建立了關於零和兩人對策的極大極小定理，後來成為博弈論的基石和中心定理。作為一個應用，馮·諾伊曼討論了合作對策問題，特別考慮了零和三人對策中有兩方聯合的情形。為此他引入了數學中的特征函數概念，明確給出了一般的博弈方案，並在附加條件下證明了，多人對策問題的解是存在並且的。

1932年，馮·諾伊曼在普林斯頓的一個數學研討班上，做了一個報告。從數學的角度指出了經濟問題的解決方案，可謂是一種新型的擴張經濟模型：所有商品以盡可能低的成本和盡可能大的量生產。這是一種理想的模型，一旦達到的增長率，就會自動產生一個動態的平衡。1945年，這篇報告被譯成英文在英國重新發表，標題是《普遍經濟均衡的一個模型》。大約半個世紀以後，此文被公認為是數理經濟學重要的論文。

馮·諾伊曼把經濟學引入具有線性、非線性編程和未來發展動力模型的科學，使人們能夠更好地理解計劃經濟和市場經濟的無為及有為所在。迄今為止，包括薩繆爾森在內的六位諾貝爾經濟學獎得主承認自己的工作受到馮·諾伊曼的影響，還有十多位獲獎者的工作是對他創立的博弈論的直接發展或應用，其中著名的一位是數學家、電影《美麗心靈》的原型約翰·納什。這些經濟學家來自美國、英國、德國、蘇聯和以色列，即使在日本，也有經濟學家遵循他倡導的模式。戰後日本的國家政策是，“努力在10年內將實際收入增加一倍”。

雖然如此，西方仍有一些經濟學家對馮·諾伊曼的理論不以為然，甚至心生怨恨，這部分是因為存在著種種誤解，更主要是因為他是經濟學專業的一個闖入者。隨著時間的推移和實踐的檢驗，這些誤解逐漸消除。今天，馮·諾伊曼被公認為是博弈論的創立者，也是現代經濟學的重要分支數理經濟學的開拓者。薩繆爾森發出由衷的贊嘆：“馮·諾伊曼是無與倫比的，他不過在經濟學領域蜻蜓點水，這一領域便今非昔比了。”

7.讓人類生活得更加美好

自從牛頓和萊布尼茨發明了微積分，實現了物理學的數學化之後，科學家對計算的需求大大增加。萊布尼茨為此感嘆：“一個優秀的人像奴隸一樣把時間耗費在計算這一苦差事上，真是太不值得了。”他因此發明了一種類似機械化算盤的機器，隻要搖動四周的輪子，就可以做加法或乘法運算，這比早些時候帕斯卡爾發明的臺式加法器要高級。但到了19世紀，異想天開的英國數學家巴比奇卻認為，計算機應該以精確的、數學形式的邏輯為基礎，不久，愛爾蘭人布爾發明了新形式的數學—布爾代數。

在洛斯阿拉莫斯，原子核裂變過程中所提出的大量計算任務，促使馮·諾伊曼關注電子計算機的研制情況。《博弈論與經濟行為》出版的當年，他在月臺上遇到了臺電子計算機ENIAC的設計師，後者向他做了彙報。馮·諾伊曼立刻予以關注。他發現這臺機器的主要缺陷是，仍采取以往機電式計算機的“外插型”。馮·諾伊曼親自參與賓夕法尼亞大學和高研院兩臺計算機的設計。他建立了計算機內部主要的結構原理—存儲程序原理，確定由五個部分組成，即計算器、控制器、存儲器、輸入和輸出裝置。

與ENIAC相比，這兩臺機器有不少改進，重要的是：將十進制改為二進制，程序和數據均由二進制代碼表示；程序由外插變成內存，當算題改變時，不必變換線路板而隻需更換程序。由存儲原理構造的電子計算機被稱為馮·諾伊曼型機，或馮·諾伊曼結構，這一結構一直使用至今。馮·諾伊曼被譽為“電子計算機之父”，他本人擔任高研院計算機技術研究所所長。1951年，他設計的電子計算機IAS終於獲得成功，其運行速度是ENIAC的數百倍。

不過，馮·諾伊曼本人對計算機的主要興趣並不在於設計與制造，而是如何利用這種新型工具，開創現代科學計算的新天地。1950年，馮·諾伊曼領導了一個天氣預報研究小組，完成了數值天氣預報史上首次成功的計算。隨著天氣預報和其他科學、工程領域計算需要的增加，計算方法對於計算速度的提高可以說與計算機硬件同等重要，於是在純粹數學與應用數學之外，一門新的數學分支計算數學應運而生，馮·諾伊曼無疑也是這門學科的早期奠基人。

在歷史上，許多民族的數學家都創造了各種便捷的數值計算方法。換句話說，計算機有其適合的計算方法和技巧。在這方面，馮·諾伊曼做出了許多重要貢獻，他先後創造了蒙特卡洛等10來種計算技巧，在各個領域得到了廣泛的應用。蒙特卡洛是一種通過人工抽樣尋求問題近似解的方法，它將需要求解的數學問題化為概率模型，在計算機上實現隨機模擬獲得近似解。舉例來說，在總統選舉以前，隻需少量取樣或隨機取樣，民意調查者就會對投票選舉結果做出較準確的判斷。

蒙特卡洛方法體現了計算機處理大量隨機數據的能力，是計算機時代新型算法的先鋒。先是模擬產生各種概率分布的隨機變量，繼而用統計方法把模型的數字特征估計出來，從而得到實際問題的數值解。這一方法在金融工程學領域也得到廣泛的應用，比如金融衍生產品期權、期貨、掉期等的定價及交易風險估算，變量的個數（維數）有時高達數百甚至上千個，這就是所謂“維數的災難”。蒙特卡洛方法的優點在於，它的計算復雜性不依賴於維數。

如果馮·諾伊曼活到今天，看到計算機數量激增和能力提高，無論公司、機關還是學校、家庭，無論上天還是入地都不可或缺，一定會倍感欣慰。用馮·諾伊曼女兒的話說：“雖然成年人因電子遊戲帶壞了青少年而指斥計算機，但這可能會使他感到有趣，甚至竊喜，因為他的個性中有童真、嬉戲的一面。”可是，我們也有理由猜測，馮·諾伊曼在驚詫於計算機造福全社會和全人類的同時，也會為它沒能幫助在科學上取得更大的成就而沮喪。

8.假如他的生命能夠延長

“假如他的壽命像一般科學家那麼長，活到現在，他會不會使我們的生活發生很大的變化呢？”1992年，馮·諾伊曼的傳記作者、英國經濟學人麥克雷曾這樣發問。對此他自己的回答是肯定的。從馮·諾伊曼晚年未曾發表的筆記來看，他對科學的未來有自己的設想。事實上，在他生命的後時刻，他還在探究一些其他科學家壓根兒沒有想過的問題。例如，從人類的神經繫統可以學到哪些技巧應用於計算機？這有點像小時候家庭午餐聚會上提出的問題。

20世紀前半葉，馮·諾伊曼親自參與了三項革命性的突破—對原子的科學認識、量子力學的數學化，以及電子計算機的誕生，並做出了卓越的貢獻。而從他的講座和留下的筆記顯示，他希望在未來可能的三項重大突破中扮演同樣的角色，它們是：對大腦的科學認識、對細胞（基因）的科學認識，以及對自然環境的治理（如使冰天雪地的冰島變成氣候宜人的夏威夷）。遺憾的是，在所有這些期望中，迄今為止隻有對基因的理解取得了令人滿意的進步，那還是基於他在世時DNA雙螺旋分子結構的發現。

假如馮·諾伊曼的生命能夠延長，“他會因為分子生物學而感到興奮，就像當年因為量子力學而興奮一樣，他會非常期待將之數學化”。至於其他科學領域的發展，顯然不如馮·諾伊曼預計或期望的那麼快那麼好，這可能是因為世界過早地失去他的緣故。與發明巨型弩炮摧毀羅馬人艦隊的阿基米德一樣，馮·諾伊曼也曾用自己掌握的數學技能，幫助美國贏得第二次世界大戰的勝利。1956年，馮·諾伊曼獲得了首次頒發的愛因斯坦紀念獎和費米獎。

1957年，正當遙遠的中國大陸發動一場大規模的“反右運動”時，馮·諾伊曼的生命即將到達終點，核輻射帶來的骨癌細胞已經在他的體內擴散。很早以前他就意識到了，聰明能干的人是猶太人和中國人，他在筆記裡稱贊漢語是詩歌的語言。1937年，馮·諾伊曼從美國數學家、控制論發明人維納處了解到中國數學的現狀，產生了到中國訪問的願望，在維納的安排下清華大學向他發出了邀請。遺憾的是，兩個月以後發生了盧溝橋事變，日本侵華戰爭全面爆發，他的願望落空了。

如果多纔多藝的馮·諾伊曼能來中國，其推動力將難以估量，而他自己也可能從這一新奇的東方之旅中獲取無窮靈感。早春二月，馮·諾伊曼在華盛頓陸軍醫院去世，享年53歲。彌留之際，美國國防部正副部長、陸海空三軍總司令以及其他軍政要員齊聚在病榻前，聆聽他後的建議和非凡的洞見。此前，艾森豪威爾總統親自給坐在輪椅上的馮·諾伊曼頒發了一枚特別自由勛章。黃昏時分，夕陽的餘暉灑落在波托馬克河兩岸，也透進了陸軍醫院的玻璃窗。這是日落前後的輝煌，20世紀偉大、活躍的大腦之一停止了思想。

                                          2010年春天，杭州彩雲居