本書首先引用了《辭海》中證明的定義,又通過一些傳統故事說明我們在生活中與證明息息相關,證明不僅局限於數學,進而說明了證明的作用、證明與理解的關繫和區別以及證明方法。本書一個更加貼切的書名是《從歷史上的數學文獻看數學證明》。
大家在中小學課程裡都會踫到某種程度的數學證明,有些人甚至把做數學與進行數學證明等同起來。但究竟數學證明這種功夫在數學活動中有何作用?它是否真正確立了無可置疑的結論?它是事後的裝扮功夫抑或它能導致前所未知的新發現?這種獨特的思考方式是怎樣發展起來的?本書從數學史的角度出發,試以大量實例與讀者探討以上問題。
蕭文強,早年就讀於香港大學理學院,主修數學及物理,畢業後負笈美國哥倫比亞大學,取得博士學位。對於如何把數學史融會於數學的教與學當中,他尤感興趣。近幾年他把大量時間和精力投放於設計及教授一門數學通識課程。
一 證明的由來1.1 證明的作用是什麼1.2 數學證明的由來1.3 古代希臘的數學證明1.4 證明方法不限於數學1.5 東方古代社會的數學證明二 證明的功用2.1 直觀可靠嗎2.2 證明可靠嗎2.3 證明是完全客觀的嗎2.4 證明與信念2.5 證明與理解三 證明與理解(一)3.1 一個數學認知能力的實驗3.2 二次方程的解的公式3.3 希臘《原本》裡的勾股定理3.4 劉徽的一題多證3.5 高斯的一題多證四 證明與理解(二)4.1 歐拉的七橋問題4.2 歐拉的多面體公式4.3 幾個重要的不等式五 證明與理解(三)5.1 一條關於正多邊形的幾何定理5.2 薄餅與三明治5.3 微積分基本定理5.4 舞伴的問題5.5 幾個著名的反例六 證明與理解(四)6.1 四色問題6.2 費馬後定理6.3 一致收斂的函數序列七 反證法7.1 兩個古老的反證法證明7.2 間接證明與反證法7.3 逆否命題7.4 施坦納一李密士定理7.5 反證法在數學以外的運用八 存在性證明8.1 兩個頭發根數相同的人8.2 一條古老的存在性定理8.3 數學乎神學乎8.4 高斯類數猜想的征服8.5 存在性證明的功用8.6 極值問題的解的存在性8.7 有理數與無理數8.8 代數數與超越數九 不可能性證明9.1 十五方塊的玩意9.2 一個很古老的不可能性證明9.3 古代三大難題9.4 不可能證明的證明9.5 希爾伯特的問題十一 次親身經歷:長周長的內接多邊形10.1 一個熟悉的問題10.2 初步的試驗結果10.3 旁敲側擊10.4 艱苦戰鬥10.5 撥開雲霧見青天10.6 各歸其位10.7 餘音未了附錄後記人名中外文對照表
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