第1部分數學遊戲與抽像遊戲 / 1

引言 / 1

生活中的謎題 / 7

第1章數學遊戲：從歐拉到盧卡斯 / 11

歐拉與柯尼斯堡的橋 / 11

歐拉與馬的遊歷問題 / 15

盧卡斯與數學遊戲 / 20

盧卡斯單人對策遊戲的數學計算 / 23

第2章四則抽像遊戲 / 26

從杜德尼趣題到戈洛姆遊戲 / 28

九子棋 / 30

六邊形棋 / 32

國際像棋 / 36

圍棋 / 42

第3章數學與遊戲：神秘的聯繫 / 48

遊戲和數學的分析都可以在大腦中進行…… / 49

你能“預見”嗎？ / 51

一種新型對像 / 52

它們是抽像的 / 56

它們很難 / 57

規則 / 59

規則限定下的隱藏結構 / 60

論證與證明 / 61

確定性、謬誤與真理 / 63

玩家也會犯錯 / 65

推理、想像力和直覺 / 66

類比的力量 / 67

簡單、優雅和美 / 68

一起探索科學與遊戲 / 69

第4章為何國際像棋不是數學 / 70

競爭 / 70

問東問西 / 73

數學與遊戲式數學 / 75

改變解題的觀念 / 76

創造新概念與新對像 / 77

遞增的抽像性 / 78

尋找共同結構 / 79

數學與科學的互動 / 80

第5章證明與查證 / 81

數學休閑遊戲的局限性 / 82

抽像遊戲與答案驗證 / 83

如何“證明”11是素數？ / 84

“5是素數”，這是巧合嗎？ / 85

證明vs.驗證 / 86

結構、模式與表現形式 / 87

任意性與不可控性 / 88

邊界附近 / 90

第2部分數學：遊戲化的、科學的和感性的 / 95

引言 / 95

第6章遊戲化的數學 / 98

引言 / 98

技巧和策略 / 100

立方和與其內在關聯 / 103

歐拉的巨作 / 106

第7章歐幾裡得與其幾何遊戲規則 / 110

賽瓦定理 / 114

西蒙線 / 116

拋物線及其幾何特性 / 117

丹德林球面 / 120

第8章新概念與新對像 / 122

創造“新對像” / 124

它是存在的嗎？ / 126

不得不這麼做 / 127

無窮與無窮級數 / 128

微積分與切線概念 / 131

拋物線的形狀是什麼？ / 134

第9章收斂級數與發散級數 / 137

先驅者 / 137

調和級數發散 / 140

奇異的對像和神秘的情景 / 142

發散級數的實際用途 / 145

第10章數學的遊戲化 / 146

歐拉與多面體 / 147

群論的發明——發現 / 150

阿蒂亞麥克萊恩之爭 / 153

數學與幾何 / 155

第11章作為一門科學的數學 / 156

引言 / 156

三角幾何：三角形的歐拉線 / 158

現代三角幾何學 / 161

七圓定理與其他新的定理 / 165

第12章數字與數列 / 167

平方和 / 168

簡單問題，容易答案 / 170

素數 / 171

素數對 / 173

猜想的局限性 / 174

波利亞猜想及其駁斥 / 176

數學實驗的局限性 / 177

證明vs.直覺 / 181

第13章計算機與數學 / 184

霍夫施塔德的“好問題” / 186

計算機與數學證明 / 188

計算機與“證明” / 190

結語：公式復公式 / 192

第14章數學與科學 / 193

科學家的抽像 / 193

數學先於科學與技術 / 194

數學在科學中的成功應用 / 196

科學家如何應用數學？ / 198

純數學與應用數學中的方法和技巧 / 200

積分：求曲線下面積 / 202

擺線 / 206

科學激勵著數學的發展 / 210

第15章短路徑：優美的簡潔性 / 213

似曾相識的智力題 / 213

赫倫定理的發展 / 217

極值問題 / 219

帕普斯與蜂巢 / 220

第16章基石：感知、想像和洞察 / 221

阿基米德引理與用“看”來證明 / 223

通過剖分進行證明的中國人 / 224

拿破侖定理 / 226

多角數 / 229

分拆問題 / 233

（再談）發明還是發現？ / 236

第17章結構 / 237

畢達哥拉斯定理 / 239

歐幾裡得坐標幾何學 / 244

中點問題 / 247

撓四邊形 / 249

第18章隱藏結構，共同結構 / 252

素數與幸運數 / 252

面紗背後的數學對像 / 254

證明一致性 / 257

結構變換，視角轉換 / 259

第19章數學與美 / 263

哈代論數學和國際像棋 / 265

經驗與期望 / 267

國際像棋和數學：美與纔華 / 268

美、類比與結構 / 269

感知中的美和個體差異 / 271

“博大派”vs.“精深派” / 273

美，形式與理解 / 275

第20章起源：日常生活中的形式 / 277

遊戲的心理學意義 / 280

形式性的起和落 / 283

宗教儀式、遊戲與數學 / 284

形式性與數學 / 286

隱藏的數學 / 288

風格與文化，以及數學風格 / 290

繫統精神vs.問題解決 / 292

視覺vs.語言：幾何vs.代數 / 294

女性、遊戲與數學 / 296

數學與抽像遊戲：內在的緊密聯繫 / 298