第1章無理數 / 1
1.1畢達哥拉斯之夢 / 3
1.2畢達哥拉斯定理 / 7
1.3無理三角形 / 10
1.4畢達哥拉斯之噩夢 / 14
1.5解釋無理數 / 17
1.62的連分數表示 / 22
1.7平均律 / 28
第2章虛數 / 32
2.1負數 / 34
2.2虛數 / 38
2.3求解三次方程 / 41
2.4通過虛數得到實數解 / 44
2.51572年之前虛數在哪裡 / 46
2.6乘法的幾何學 / 50
2.7復數提供的超過了我們所要求的 / 55
2.8為什麼將它們稱為“復數” / 60
第3章地平線 / 63
3.1平行線 / 66
3.2坐標 / 69
3.3平行線與視覺 / 74
3.4不用度量的畫法 / 79
3.5帕普斯定理和德薩格定理 / 83
3.6德薩格小定理 / 88
3.7代數定律有哪些 / 92
3.8射影加法與乘法 / 96
第4章無窮小 / 101
4.1長度和面積 / 103
4.2體積 / 106
4.3四面體的體積 / 108
4.4圓 / 112
4.5拋物線 / 116
4.6其他曲線的斜率 / 119
4.7斜率和面積 / 123
4.8π的數值 / 127
4.9那些死去的量的鬼魂 / 130
第5章彎曲空間 / 134
5.1平面空間與中世紀空間 / 136
5.2二維球面與三維球面 / 140
5.3平坦曲面與平行公理 / 145
5.4球面與平行公理 / 148
5.5非歐幾何 / 152
5.6負曲率 / 155
5.7雙曲平面 / 158
5.8雙曲空間 / 162
5.9數學空間與真實空間 / 164
第6章第四維 / 168
6.1數對的算術 / 170
6.2搜尋數組的算術 / 172
6.3為什麼n≥3數組不像數 / 174
6數 / 178
6.5四平方數定理 / 182
6數和空間旋轉 / 185
6.7三維中的對稱 / 188
6.8四面體對稱與正二十四胞體 / 191
6.9正則多胞形 / 196
第7章理想 / 200
7.1發現與發明 / 202
7.2帶有餘數的除法 / 205
7.3素因子分解 / 209
7.4高斯整數 / 212
7.5高斯素數 / 215
7.6有理斜率與有理角度 / 218
7.7素因子分解失效 / 220
7.8理想，重獲素因子分解 / 224
第8章周期空間 / 229
8.1不可能的三杆 / 231
8.2柱面與平面 / 234
8.3狂野事物的所在地 / 237
8.4周期世界 / 240
8.5周期性與拓撲學 / 242
8.6周期性簡史 / 246
第9章無窮 / 252
9.1有限和無窮 / 254
9.2潛在的無窮與真實的無窮 / 256
9.3不可數的 / 259
9.4對角線論證 / 262
9.5超越數 / 265
9.6渴望完整 / 269
結語 / 272
參考文獻 / 276

本書緣起於一篇我（有點半開玩笑地）稱之為“數學接受不可能”的文章。1984年，我為莫納什大學的《函數》（Function）雜志撰寫了這篇文章，主要目的是要表明左邊所顯示的這幅“不可能”圖形（彭羅斯三杆）實際上並非不可能。這個三角形存在於一個完全合理的空間之中，這個空間不同於我們認為自己居住在其中的空間，然而卻是有意義的，並為數學家所知。我希望通過這個例子向大眾展示，數學是一門需要想像力，甚至可能需要幻想的學科。
有許多表面看來不可能的例子，它們對於數學而言很重要，而數學家也對這種現像感到震撼。例如，戴維斯（Philip Davis）在1965年出版的《矩陣的數學》（The Mathematics of Matrices）一書中寫道： 
數學被譽為一門容不下任何矛盾的學科，而事實上它卻有著與矛盾和睦相處的悠久歷史，這看上去有些荒謬。在2500年的時間裡，從人們對數的概念所做的擴展中，尤其能看出這一點……從某一合適的立場來看，每一次擴展都是克服了一繫列相互矛盾的需求。
數學語言中散落著一些貶義的和神秘的詞語——例如無理的、虛的、不盡根的、超越的——這些詞語曾用來嘲弄那些據說不可能的對像，而且這些還隻不過是用於數的詞語。幾何中也有許多概念在大多數人看來是不可能的，例如第四維、有限宇宙和彎曲空間——然而它們對於幾何學家（及物理學家）而言卻是不可或缺的。因此，數學無疑並沒有把不可能當成一回事，而且似乎通過這樣做來取得進展。
問題是： 這是為什麼？
我認為俄羅斯數學家科爾莫戈羅夫（A. N. Kolmogorov）在1943年對其中的原因作出了的表述： 
在任何給定的時刻，“平凡的”和不可能之間隻隔著薄薄的一層。數學發現就是在這一層中作出的。
換言之： 數學就是一個與不可能發生近距離衝突的故事，因為數學中的一切偉大發現都接近於不可能。本書的目的就是，通過呈現在整個數學範圍內的一些有代表性的衝突，簡略地而且幾乎不需要任何預備知識地講述這個故事。通過這種方式，我還希望能捕捉到某種變化不定的觀念的感覺，而在將發現書寫成文的過程中，常常會丟失這種感覺。教科書和研究論文中略去了這些與不可能的衝突，在引入新概念時隻字不提它們，不用它們來澄清混淆之處。這樣處理當然能做到長話短說，但我們必須去體驗其中的一些困惑，纔能理解為什麼需要這些新的、奇怪的構想。
知道為什麼需要新構想會有所幫助，但是通往數學之路仍然沒有捷徑可走。具有良好高中數學知識背景的讀者應該能夠知道本書中的全部概念，並能理解大部分概念。不過，有許多概念很難，而且也沒有任何方法來降低難度。你可能不得不將某些段落反復閱讀好幾遍，或者重新閱讀書中先前的一些部分。如果你覺得這些構想很吸引人，那麼你可以閱讀推薦的參考文獻以繼續深入研究。（這也適用於數學家，他們之中的有些人可能為了了解他們專業以外的領域而閱讀本書。）
作為一個特殊的後續閱讀材料，我推薦我的《數學及其歷史》（Mathematics and Its History）此書中譯本由高等教育出版社出版，袁向東、馮緒寧譯，2011年。——譯注一書。那本書更加詳細地展開了本書中所描述的這些構想，並用練習來加以鞏固。它還提供了一條通往數學經典著作的途徑，從中你可以親身體驗到“渴望不可能”。
有好幾個人幫助我撰寫並修改本書。我的妻子伊萊恩（Elaine）一如既往地走在前面。她閱讀了好幾版初稿，並進行了輪的批評和修改。岡納森（Laurens Gunnarsen）、愛爾蘭（David Ireland）、麥科伊（James McCoy）和謝尼策（Abe Shenitzer）也仔細地閱讀了本書，他們提出了至關重要的建議，這幫助我釐清了整體視角。
致謝
我要感謝位於荷蘭巴倫的M. C. 埃舍爾公司允許我轉載埃舍爾M. C. 埃舍爾（M. C. Escher，1898—1972），荷蘭版畫家，因其繪畫中的數學性而聞名，作品多以平面鑲嵌、不可能的結構、悖論、循環等為特點，從中可以看到對分形、對稱、雙曲幾何、多面體、拓撲學等數學概念的形像表達。——譯注的作品： 圖8.1中所示的《瀑布》（Waterfall）、圖5.18中所示的《圓極限IV》（Circle Limit IV），以及圖5.18和圖5.19中所示的《圓極限IV》的兩幅變形。埃舍爾的作品版權所屬為copyright （2005） The M. C. Escher Company — Holland，網站為www.mcescher.com。
我還要感謝紐約藝術家權利協會（Artists Rights Society of New York）允許我轉載圖8.8中所示的馬格裡特勒內·馬格裡特（René Magritte，1898—1967），比利時超現實主義畫家。——譯注的照片《不可復制》（La reproduction interdite）。這幅照片的版權所屬為copyright （2006） C. Herscovici, Brussels/Artists Rights Society （ARS）, New York。