目錄
章 無窮維分析的基礎知識 1
§1 Hilbert空間中的線性算子 1
1.1 基本概念、記號及若干引理 1
1.2 可閉算子、對稱算子與自共軛算子 5
1.3 下半有界對稱算子的自共軛延拓 10
1.4 自共軛算子的譜分解 12
1.5 Hilbert-Schmidt算子與跡算子 18
§2 Fock空間與二次量子化 24
2.1 Hilbert空間的張量積 24
2.2 Fock空間 30
2.3 二次量子化算子 32
§3 賦可列範空間與核空間 36
3.1 賦可列範空間及其對偶空間 37
3.2 核空間及其對偶空間 42
3.3 拓撲張量積、Schwartz核定理 47
§4 拓撲線性空間上的Borel測度 51
4.1 Minlos-Sazanov定理 51
4.2 Hilbert空間上的Gauss測度 60
4.3 Banach空間上的Gauss測度 64
第二章 Malliavin隨機變分學 73
§1 Gauss概率空間與Wiener混沌分解 74
1.1 Gauss概率空間及其上的泛函 74
1.2 數值模型 79
1.3 多重Wiener-Ito積分表示 83
§2 泛函的微分運算、梯度與散度 89
2.1 有限維Gauss概率空間 89
2.2 光滑泛函的梯度與散度 95
2.3 泛函的Sobolev空間 100
§3 Meyer不等式及其推論 106
3.1 Ornstein-Uhlenbeck半群 106
3.2 LP乘子定理 111
3.3 Meyer不等式 114
3.4 Meyer-Watanabe廣義泛函 120
§4 非退化泛函的分布密度 125
4.1 Malliavin協方差陣及若干引理 125
4.2 分布密度的存在性 129
4.3 分布密度的光滑性 133
4.4 例 137
第三章 Wiener泛函的隨機變分 140
§1 Ito泛函的微分分析與熱核的正則性 140
1.1 Skorohod積分 140
1.2 隨機微分方程解的光滑性 146
1.3 亞橢圓性與Hormander條件 149
1.4 Hormander定理的概率證明 155
§2 Wiener空間中的位勢理論與擬必然分析 161
2.1（k，p）-容度 161
2.2 擬連續修正 165
2.3 容度的胎緊性、連續性與不變性 168
2.4 正廣義泛函與有限能量測度 172
2.5 隨機過程的擬必然軌道性質 176
§3 非適應隨機分析 179
3.1 Skorohod積分的Riemann和逼近 180
3.2 非適應過程的Ito公式 184
3.3 非適應隨機微分方程 193
第四章 白噪聲分析的一般理論 200
§1 白噪聲分析的一般框架 201
1.1 Wick張量積與Wiener-Ito-Segal同構 202
1.2 檢驗泛函與廣義泛函空間 205
1.3 經典的白噪聲分析框架 211
§2 泛函空間的刻畫 212
2.1 S-變換與空間（E）C-β（0≤β<1）的刻畫 213
2.2 局部S-變換與空間（E）C-1的刻畫 221
2.3 檢驗泛函空間的兩種刻畫 223
2.4 廣義泛函的若干例子 228
§3 泛函的乘積與Wick積 236
3.1 泛函的乘積 236
3.2 廣義泛函的Wick積 240
3.3 應用於Feynman積分 243
§4 廣義泛函空間的矩刻畫與正廣義泛函 245
4.1 重正化算子 245
4.2 廣義泛函空間的矩刻畫 248
4.3 正廣義泛函的測度表示 250
4.4 應用於P（φ）2-量子場 259
第五章 廣義泛函空間中的線性算子 264
§1 廣義泛函的分析運算 264
1.1 刻度變換 264
1.2 推移算子與Sobolev微分 267
1.3 梯度算子與散度算子 272
§2 廣義泛函空間中的連續線性算子 275
2.1 算子的像征與混沌分解 276
2.2 廣義算子的S-變換與Wick積 282
§3 積分核算子與算子的積分核表示 288
3.1 張量積的縮合 288
3.2 積分核算子 291
3.3 廣義算子的積分核表示 299
§4 在量子物理中的若干應用 303
4.1 量子隨機積分 303
4.2 Klein-Gordon場 306
4.3 無窮維經典Dirichlet型 309
附錄A Hermite多項式與Hermite函數 317
附錄B 局部凸空間及其對偶 322
1 半範、範數與H範 322
2 局部凸拓撲線性空間、有界集 323
3 投影拓撲與拓撲投影極限 325
4 歸納拓撲與拓撲歸納極限 326
5 對偶空間和弱拓撲 327
6 相容性和Mackey拓撲 328
7 強拓撲和自反性 329
8 對偶映射 330
9 均勻凸空間和Banach-Saks定理 331
評注 332
參考文獻 337
名詞索引 360
符號說明 365