陶然，北京理工大學教授、博士生導師，北京市教學名師。長江學者特聘教授、國家傑出青年科學基金獲得者、新世紀百千萬人纔工程人選。國家自然科學基金創新研究群體帶頭人、教育bu創新團隊帶頭人、北京市自然科學基金優秀團隊帶頭人、“全國高校黃大年式教師團隊”核心成員、教育bu高等學校電工電子基礎課程教學指導分委員會委員。長期從事信號與信息處理研究，主持國家自然科學基金委創新研究群體項目、重大儀器項目、重點項目、軍委科技委基礎加強重點項目等。發表SCI論文200餘篇，授權發明專利90餘項，出版教材、著作7部，含北京市高等教育精品教材1部。獲教育bu自然科學一等獎1項、教育bu科技進步一等獎2項、中國電子學會技術發明一等獎1項、國家教學成果二等獎1項、一流本科課程1項、北京市教學成果一等獎和特等獎提名各1項。主講本科生課程“信號處理理論與技術I、II、III”和研究生課程“分數域信號處理及其應用”，均入選教育bu在線教育研究中心2022“拓金計劃”；“分數域信號與信息處理及其應用”慕課已在“學堂在線”上線，累計學習人數2萬餘人。
馬金銘，2021年於北京理工大學獲博士學位，現為清華大學博士後。主要研究方向是采樣、譜分析、分數階傅裡葉變換及其在雷達、通信中的應用。獲《光電工程》年度優秀論文獎1項。
鄧兵，海軍航空大學教授、碩士生導師，海軍高層次科技人纔。1997年於海軍電子工程學院獲學士學位，2000年於海軍工程大學獲碩士學位，2006年於北京理工大學獲博士學位。主要研究方向是非平穩信號處理及其在雷達、通信、電子對抗中的應用。獲省部級一等獎2項、山東省普通高等教育一流教材1部、SCIENCE CHINA

第1章 緒論

1.1分數階傅裡葉變換的發展歷程

1.2分數階傅裡葉變換在信號處理中的應用

1.2.1分數階傅裡葉變換的特點

1.2.2相關應用

1.3本書的內容安排

參考文獻

第2章 分數階傅裡葉變換定義及性質

2.1分數階傅裡葉變換的定義

2.1.1基本定義

2.1.2分數階傅裡葉變換的其他定義

2.2分數階傅裡葉變換的多樣性

2.2.1造成多樣性的因素

2.2.2分數階傅裡葉變換核函數

2.3分數階傅裡葉變換的性質

2.3.1基本性質

2.3.2不確定性準則

2.3.3高斯函數的分數階傅裡葉變換

2.3.4周期信號的分數階傅裡葉變換

2.3.5分數階傅裡葉變換矩

2.3.6分數階傅裡葉變換與時頻表示的關繫

參考文獻

第3章 分數階算子及分數階變換

3.1分數階算子

3.1.1分數階卷積

3.1.2分數階相關

3.1.3分數階酉算子和Hermite算子

3.2分數階變換

3.2.1分數階Hilbert變換

3.2.2分數階餘弦變換、分數階正弦變換

3.2.3分數階Hartley變換

3.2.4分數階Gabor展開

3.2.5短時分數階傅裡葉變換

3.2.6分數階模糊函數、分數階Wigner分布

3.2.7分數階小波包變換

3.3基於分數階傅裡葉變換的對偶轉換

3.3.1一般對偶算子及其分數階版本

3.3.2離散算子和周期算子以及它們的分數階形式

參考文獻

第4章 分數階傅裡葉域濾波與參數估計

4.1波形估計

4.2分數階傅裡葉域的時頻濾波

4.2.1線性調頻信號的分數階傅裡葉域濾波

4.2.2多分量線性調頻信號的檢測和參數估計

4.2.3掃頻濾波器在分數階傅裡葉域的實現及其推廣

4.2.4時頻濾波示例及誤差分析

4.3分數階傅裡葉域的濾波

4.3.1濾波

4.3.2多階濾波

4.3.3仿真結果

參考文獻

第5章 離散算法

5.1采樣型離散分數階傅裡葉變換

5.1.1Ozaktas采樣型離散分數階傅裡葉變換

5.1.2Pei采樣型離散分數階傅裡葉變換

5.1.3稀疏離散分數階傅裡葉變換

5.2特征分解型離散分數階傅裡葉變換

5.2.1傅裡葉變換的特征值與特征函數

5.2.2離散傅裡葉變換矩陣的特征值

5.2.3離散傅裡葉變換矩陣的Hermite特征向量

5.2.4離散分數階傅裡葉變換核矩陣

5.2.5基於F可交換矩陣的離散分數階傅裡葉變換

5.2.6基於采樣HermiteGaussian函數的離散分數階傅裡葉變換

5.3線性加權型離散分數階傅裡葉變換

5.3.1基於離散傅裡葉變換的線性組合

5.3.2基於離散分數階傅裡葉變換的線性組合

5.4特殊的離散分數階傅裡葉變換

5.4.1ZoomFRFT

5.4.2單點快速計算

5.5其他離散分數階變換

參考文獻

第6章 采樣

6.1均勻采樣

6.1.1分數階傅裡葉域均勻采樣定理

6.1.2分數階傅裡葉域數字頻率

6.1.3離散時間分數階傅裡葉變換和分數階傅裡葉級數

6.1.4分數階圓周卷積

6.1.5分數階傅裡葉域分辨率

6.1.6對chirp類信號的采樣

6.2隨機非均勻采樣

6.2.1非均勻采樣的一般理論

6.2.2隨機非均勻采樣模型

6.2.3隨機非均勻采樣信號的分數階傅裡葉譜重建及誤差分析

6.3周期非均勻采樣

6.3.1周期非均勻采樣模型

6.3.2周期非均勻采樣信號的分數階傅裡葉譜分析與重建

6.3.3周期隨機非均勻采樣信號的分數階傅裡葉譜分析與重建

6.4多通道采樣

6.4.1分數階傅裡葉域多通道采樣定理

6.4.2分數階傅裡葉域多通道采樣的濾波器組高效實現

6.4.3分數階差分采樣和非均勻采樣濾波器組

參考文獻

第7章 分數階傅裡葉域多采樣率濾波器組理論

7.1分數階傅裡葉域L倍采樣率轉換分析

7.1.1分數階傅裡葉域內插分析

7.1.2L倍采樣率轉換的分數階傅裡葉域分析

7.1.3分數階傅裡葉域L倍內插恆等關繫

7.2分數階傅裡葉域1/M倍采樣率轉換分析

7.2.1分數階傅裡葉域抽取分析

7.2.21/M倍采樣率轉換的分數階傅裡葉域分析

7.2.3分數階傅裡葉域M倍抽取恆等關繫

7.3分數階傅裡葉域有理數倍采樣率轉換分析

7.4分數階傅裡葉域信號多相結構及其應用

7.4.1分數階傅裡葉域信號多相結構

7.4.2分數階傅裡葉域信號多相結構的應用

7.5分數階傅裡葉域M通道濾波器組

7.5.1分數階傅裡葉域M通道濾波器組的基本關繫

7.5.2分數階傅裡葉域M通道準確重建濾波器組的設計方法

7.5.3分數階傅裡葉域兩通道濾波器組

參考文獻

第8章 分數階傅裡葉域隨機信號處理

8.1隨機信號通過分數階傅裡葉域濾波器的統計特性分析

8.1.1確定信號通過分數階傅裡葉域濾波器輸入/輸出基本關繫

8.1.2隨機信號通過分數階傅裡葉域濾波器的統計特性

8.2分數階功率譜

8.2.1分數階功率譜的定義

8.2.2分數階傅裡葉域濾波器的輸入/輸出分數階功率譜關繫

8.2.3分數階白噪聲

8.2.4chirp平穩隨機過程

8.3chirp循環平穩隨機過程分析與處理

8.3.1chirp循環平穩隨機過程定義

8.3.2chirp循環平穩隨機過程的二階統計量分析

8.4應用

8.4.1多分量chirp信號檢測和參數估計

8.4.2分數階傅裡葉域繫統辨識

8.4.3chirp循環繫統辨識

參考文獻

第9章 分數階傅裡葉域陣列信號處理

9.1基於分數階傅裡葉變換的波束形成

9.1.1波束形成簡介

9.1.2基於分數階傅裡葉變換的均方誤差小波束形成

9.1.3基於分數階傅裡葉變換的線性約束小方差波束形成

9.2基於分數階傅裡葉變換的波達方向估計

9.2.1基於分數階傅裡葉變換的寬帶線性調頻信號一維波達方向估計

9.2.2基於分數階傅裡葉變換的寬帶線性調頻信號二維波達方向估計

9.2.3性能分析

參考文獻

第10章 在雷達中的應用

10.1分數階模糊函數

10.1.1基於波動方差的相關接收模型

10.1.2分數階寬帶和窄帶模糊函數

10.2基於分數階傅裡葉變換的動目標檢測

10.2.1基本原理

10.2.2基於分數階傅裡葉變換的長時間相參積累動目標檢測

10.2.3仿真

10.3在合成孔徑雷達成像雷達中的應用

10.3.1檢測運動目標

10.3.2基於分數階傅裡葉變換的chirp scaling成像算法

10.4在目標識別中的應用

10.4.1HFT的性質

10.4.2優化參數的求取

10.4.3實例

10.5在脫靶量測量中的應用

10.5.1原理

10.5.2算法步驟

10.5.3仿真

參考文獻

第11章 在通信中的應用

11.1基於分數階傅裡葉變換的二進制chirprate調制/解調技術

11.1.1chirprate調制/解調原理

11.1.2調制/解調信號模型

11.1.3離散化處理

11.1.4與匹配濾波解調的性能對比

11.1.5仿真

11.2單載波分數階傅裡葉域均衡技術

11.2.1分數階卷積信道模型

11.2.2單載波分數階傅裡葉域均衡技術

11.2.3仿真結果

11.3分數階傅裡葉域內的多路復用

11.4基於分數階傅裡葉變換的多載波繫統

11.4.1FRFTOFDM繫統結構

11.4.2FRFTOFDM繫統變換階次選取方法

11.4.3FRFTOFDM繫統信道估計方法

11.4.4FRFTOFDM繫統信道均衡方法

11.5chirp基多載波物理層安全信號設計及處理技術

11.5.1繫統模型

11.5.2變換階次的物理層保密共享

11.5.3安全編碼多階次FRFTOFDM信號設計

11.6基於分數階傅裡葉變換的MIMOOFDM繫統

11.6.1分數階傅裡葉變換的矩陣表示

11.6.2基於分數階傅裡葉變換的MIMOOFDM繫統模型

11.6.3階次

11.6.4仿真

參考文獻

第12章 在圖像處理中的應用

12.1二維分數階傅裡葉變換

12.2圖像復原與識別

12.2.1圖像去噪

12.2.2圖像重構

12.2.3圖像識別

12.3數字水印

12.3.1基於離散分數階傅裡葉變換的魯棒高斯水印

12.3.2基於離散分數階傅裡葉變換的多分量chirp類水印

12.3.3多分數階傅裡葉域的chirp類水印算法

12.4圖像加密

12.4.1基於傅裡葉變換的雙相位編碼圖像加密

12.4.2基於分數階傅裡葉變換的圖像加密

12.4.3基於保實分數階傅裡葉變換的數字圖像實值加密

12.5光學實現及應用

12.5.1分數階傅裡葉變換的光學實現

12.5.2單幅閉合條紋圖分數階傅裡葉域分析及其應用

12.5.3分數階傅裡葉域光學相干層析成像色散補償技術

12.6分數階傅裡葉域高光譜信號處理

12.6.1基於分數階傅裡葉變換及分數階傅裡葉熵值的高光譜
異常檢測

12.6.2基於多分數階Gabor變換的高光譜與激光雷達協同分類
方法

參考文獻

第13章 線性正則變換

13.1線性正則變換的定義及性質

13.1.1定義

13.1.2性質

13.1.3線性正則變換的特征函數

13.1.4卷積定理

13.2線性正則變換域框架理論

13.2.1WH 框架

13.2.2無量綱化處理

13.2.3主要結論

13.3線性正則變換域的Hilbert變換

13.4線性正則變換的離散實現

13.4.1線性正則變換域帶限信號采樣定理

13.4.2線性正則變換的離散形式

13.5線性正則變換的應用

13.5.1濾波器設計

13.5.2用於通信信號的調制及抗多徑效應

附錄A常見信號的線性正則變換

附錄B一些常見信號的離散線性正則變換

參考文獻

隨著現代信號處理理論的迅猛發展，所處理的信號已經由早期的平穩信號逐漸發展到非平穩、非高斯、非單采樣率的復雜信號，產生了眾多新的信號處理工具，其中，作為非平穩信號處理理論的重要分支之一的分數階傅裡葉變換由於其獨有的特點受到眾多科研人員的青睞，近十多年來新的研究成果不斷湧現。作者的課題組在國內較早開展分數階傅裡葉變換相關研究
，並努力保持著研究的一致性和連貫性，始終致力於分數階傅裡葉變換理論體繫的完善和實際工程應用的開拓。本書是作者
提煉整理近20年來的研究成果，並融合國內外相關研究的進展而形成的，部分研究成果填補了該領域的研究空白。本書體繫完整，層次清晰，注重理論與應用的結合，注意知識性和可讀性，圖文並茂，含有大量的仿真示例，對重要的知識點既有詳盡的公式推導，又有合理充分的物理解釋。本書可以作為相關研究人員的工具書和感興趣讀者的入門書籍，同時也是慕課“分數域信號與信息處理及其應用”的配套教材。
本書是在2009年出版的《分數階傅裡葉變換及其應用》基礎上修訂的。
本次修訂保持了原書的整體框架，主要介紹分數階傅裡葉變換的發展歷程、定義及性質，基於分數階傅裡葉變換的分數階算子和分數階變換，對分數階傅裡葉域乘性濾波器和濾波器的實現方法，以及將分數階傅裡葉變換應用於線性調頻信號的檢測和參數估計問題； 分數階傅裡葉變換的離散算法、分數階傅裡葉域的采樣以及多采樣率濾波器組理論； 分數階傅裡葉域隨機信號處理理論； 分數階傅裡葉變換在陣列信號處理、雷達、通信和圖像處理中的應用； 分數階傅裡葉變換的廣義形式——線性正則變換。
本次修訂的主要工作包括： 在第2章中，將2.4節“二維分數階傅裡葉變換”和2.5節“分數階傅裡葉變換的光學實現”兩節的內容與第12章的內容進行了整合，並在第2章中刪除了這兩節，使得內容分配更為合理。在第3章3.2.5節中，增加了“短時分數階傅裡葉變換的時變濾波”。在第5章中，融入了對各種分數階離散算法的分析和比較，並增加了5.1.3節“稀疏離散分數階傅裡葉變換”的相關內容。在第6章中，增加了6.2節“隨機非均勻采樣”和6.3.3節“周期隨機非均勻采樣信號的分數階傅裡葉譜分析與重建”的相關內容。在第8章中，增加了8.3節“chirp循環平穩隨機過程分析與處理”和8.4.3節“chirp循環繫統辨識”的相關內容。在第11章中，增加了11.5節“chirp基多載波物理層安全信號設計及處理技術”的相關內容。在第12章中，原第2章中2.5節“分數階傅裡葉變換的光學實現”與新增內容“單幅閉合條紋圖分數階傅裡葉域分析及其應用”“分數階傅裡葉域光學相干層析成像色散補償技術”共同構成新的12.5節“光學實現及應用”，此外，還增加了12.6節“分數階傅裡葉域高光譜信號處理”的相關內容。其他章節基本保持了原有內容，但也根據需要進行了一定的整合和修改。
曾在北京理工大學信息與電子學院學習的博士董永強、齊林、李炳照、趙興浩、陳恩慶、辛怡、楊小明、張峰、孟祥意、李雪梅、楊倩、吳海洲、張南、張衛強等，結合學位論文對分數階傅裡葉變換的理論和應用進行了廣泛深入的研究，他們所取得的有關成果對完成本書(第1版)起到了重要的作用。曾在北京理工大學信息與電子學院學習的博士苗紅霞、蘇新華、徐麗雲、劉升恆、武進敏、喬幸帥、王騰，碩士劉地，以及博士生趙旭東，結合學位論文和研究成果，提供了本書新增章節的相關內容。清華大學出版社各位編輯為本書的出版提供了有利條件。作者在此一並表示感謝！
本次修訂獲得了國家自然科學基金委創新研究群體項目(No.61421001)、國家傑出青年科學基金項目(No.60625104)、國家自然科學基金項目(No.62027801、No.U1833203)、軍委科技委基礎加強重點項目(202020501121)的資助。

作者2022年6月 於北京理工大學
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