上世紀末，微分幾何受到了理論物理學的挑戰：新的對像從經典理論的邊緣轉移到了幾何學家的關注中心。理論物理對數學提出了新需求，於是誕生了廣義微分幾何（diffeology），本書是這一領域的部教科書，奠定了在理論物理中使用的微分幾何主要領域的基礎。
廣義微分幾何（diffeology）是經典微分幾何的一個全局性和包容性的擴展。全局性在於它將其對像擴展到流形之外的 （1）奇異空間，例如無理環面、軌形及葉狀集；（2）無限維光滑函數集，微分同胚群、群胚等。這是一種包容性理論，因為在幾何構造過程中產生的各種對像都自然帶有廣義微分結構，包括子空間、商、函數集、冪集等等。這是通過簡化公理來實現的：集合上的廣義微分結構規定集合中哪些參數化是光滑的。參數化是該理論的核心，它隻是由一組數集索引的任意族。為了與通常的實數世界中的光滑性一致，這組參數化需要滿足三個簡單公理：覆蓋、光滑兼容性和局部性。通過將視角從流形轉移到一般的廣義微分空間，我們得到了一個關於常見的集合論運算（和、積、子集和商）的強封閉範疇。此外，光滑映射集在泛函廣義微分結構下也自然是一個廣義微分空間。換句話說，廣義微分空間範疇是一個非常簡單的完備、餘完備和笛卡爾閉的範疇，並且包含流形作為一個滿子範疇。許多例子表明，這種靈活性並沒有丟失什麼；相反，像無理環面這樣的對像在幾乎所有其它推廣流形的方法中都是平凡的，而它們作為廣義微分幾何對像是非平凡的，並且是有用的。廣義微分幾何這種公理式的範疇性質使許多定理和構造變得自然。我們可以在不切換範疇的情況下使用光滑路徑或環路空間，這帶來了深度簡化。例如，環路空間上的微分學將許多經典定理簡化為簡單的表達式，並強調了它們的高層本質。同時，它們給出了任何廣義微分空間的恰當推廣。同倫、同調、上同調、De Rham演算、纖維叢、聯絡、軌形、覆蓋、辛幾何、矩映射，所有這些經典構造都能在廣義微分幾何中自然實現。經典微分幾何中的許多啟發式構造（例如軌形、帶角流形、分層等）實際上定義了明確的子範疇，而不需要通過調整或扭曲公理來實現。本書中包含了奇異空間和無限維空間的例子。通過這些例子和練習，讀者可以熟悉廣義微分幾何中發展出來的具體技術。
廣義微分幾何（diffeology）是一種強調實際操作的理論，是一種工具。有了這些經驗，讀者將能夠把這一理論擴展到本書的範圍之外。本書對研究微分幾何或數學物理的學生與研究人員會非常有用。目前的這個世圖版是作者2022年全新修訂過的，作者還專門寫了修訂版序，指出了修改的地方及首版出版後該領域的一些新進展，並且作者還準備了一個網頁會為讀者持續提供的勘誤信息。http://math.huji.ac.il/~piz/Site/TheBook-rep.html

Preface

1. Diffeology and Diffeological Spaces


2. Locality and Diffeologies


3. Diffeological Vector Spaces


4. Modeling Spaces, Manifolds, etc.


5. Homotopy of Diffeological Spaces


6. Cartan-De Rham Calculus


7. Diffeological Groups


8. Diffeological Fiber Bundles


9. Symplectic Diffeology

Solutions to Exercises

Afterword

Notation and Vocabulary

Index

Bibliography

Diffeology is a natural extension of differential geometry that covers a wide spectrum of objects, ranging from singular spaces of any kind to infinite dimensional spaces, and sometimes mixing the two. With its developments in higher homotopy theory, fiber bundles, modeling spaces, Cartan-de-Rham calculus, moment map and symplectic constructions, to begin with, diffeology spans a wide range of traditional fields, treating geometrical objects that are or are not manifolds on an equal footing in a common framework.

This textbook establishes the foundations of the theory, and develops the main areas of application. These are illustrated by a series of examples, chosen explicitly because they are not covered by traditional differential geometry.

The advantage of diffeology comes from the conjunction of two strong properties: first, diffeology is stable by all set-theoretic operations: sum, product, subset and quotient. It is said to be a complete and co-complete category. It is also Cartesian closed, the set of smooth maps having itself a natural diffeology. Second, and perhaps more importantly, diffeology even deals with non-Hausdorff quotient spaces in a non-trivial way, as is the case with irrational tori. This specific property becomes crucial for new constructions and is at the origin of the generalization of theorems that do not exist otherwise.