章緒論

......................................................

1

1.1激波反射問題的物理背景

....................................

1

1.2方程與邊界條件

............................................

4

1.2.1

Euler方程組與其簡化模型

.............................

4

1.2.2激波、Rankine-Hugoniot條件

.........................

10

1.2.3熵條件

..............................................

16

1.2.4邊界條件

............................................

22

1.3平面激波的反射

............................................

23

1.3.1平面激波的正反射

....................................

23

1.3.2平面激波的斜反射

....................................

26

第二章激波極線分析

..............................................

27

2.1

Euler方程組的激波極線

.....................................

27

2.1.1在

(u,

v)平面上的激波極線

............................

27

2.1.2在

(,

p)平面上的激波極線

............................

33

2.2位勢流方程的激波極線

......................................

35

2.3平面激波反射與

Mach結構

..................................

43

2.3.1平面激波正則反射

....................................

43

2.3.2

Mach結構

..........................................

48

第三章激波正則反射的擾動

........................................

54

3.1二維空間中含超音速反射激波的正則反射

......................

54

3.1.1角狀區域中的邊值問題

................................

54

3.1.2關於具特征邊界的自由邊值問題的結論

..................

58

3.1.3等熵無旋流激波反射問題局部解的存在性

................

59

目錄

v

3.1.4非等熵流激波反射問題局部解的存在性

..................

61

3.2三維空間中含超音速反射激波的正則反射

......................

64

3.2.1預備事項

............................................

64

3.2.2線性化問題及有關的先驗估計

..........................

72

3.2.3非線性問題近似解的構造

..........................

78

3.2.4

Newton迭代法與非線性問題解的存在性

.................

85

3.3含跨音速反射激波的正則反射

................................

88

第四章

Mach反射結構的穩定性

....................................

93

4.1問題的歸結與

Mach結構的分類

..............................

93

4.1.1

E{E型與

E{H型

Mach結構

...........................

93

4.1.2方程與邊界條件

......................................

95

4.2

Lagrange變換與非線性方程的典則形式

.......................

98

4.2.1定常流的

Lagrange變換

...............................

98

4.2.2激波邊界的處理

......................................

101

4.2.3方程組的分解

........................................

103

4.3

E{E型

Mach結構導致的線性化問題的估計

....................

105

4.3.1線性化問題

..........................................

105

4.3.2橢圓子問題

..........................................

106

4.3.3

Sobolev估計

........................................

108

4.3.4

Holder估計

.........................................

111

4.4迭代過程的收斂性與

E{E型

Mach結構的穩定性

...............

114

4.4.1解非線性問題

(NL)的迭代過程

........................

114

4.4.2迭代格式的收斂性

....................................

116

4.4.3自由邊值問題解的存在性

..............................

117

4.5

E{H型

Mach結構的穩定性

.................................

120

4.5.1問題與結論

..........................................

120

4.5.2非線性

Lavrentiev-Bitsadze混合型方程

.................

122

4.5.3問題的線性化處理

....................................

126

4.5.4線性

Lavrentiev-Bitsadze方程廣義

Tricomi問題的求解

....

128

4.5.5關於非線性問題的結論

................................

135

vi激波反射的數學分析

第五章非定常流的激波反射

........................................

137

5.1激波被光滑曲面的反射

......................................

137

5.1.1問題的歸結

..........................................

137

5.1.2化為具固定邊界的

Goursat問題

........................

139

5.1.3非線性邊值問題的求解

................................

141

5.2平面激波被斜坡的正則反射

..................................

144

5.2.1平面激波被斜坡正則反射問題表述

......................

144

5.2.2擬超音速區域中流場的確定

............................

148

5.2.3非線性退化橢圓型方程邊值問題

........................

153

5.2.4橢圓截斷

............................................

158

5.2.5非線性迭代格式

......................................

159

5.2.6橢圓正則化

..........................................

162

5.2.7非線性退化橢圓邊值問題解的存在性

....................

164

5.3平面激波被斜坡的

Mach反射

................................

171

5.3.1問題的陳述

..........................................

171

5.3.2平坦

Mach結構的擾動

................................

174

5.3.3證明的主要步驟

......................................

176

5.3.4定理

5.4的證明

......................................

187

第六章進一步研究的問題

..........................................

188

6.1完全

Euler方程組的討論

....................................

188

6.2三維空間中的激波反射

......................................

189

6.2.1平面激波被彎曲斜坡的反射

............................

189

6.2.2平面激波被圓錐體的反射

..............................

189

6.2.3三維空間中的

Mach結構穩定性

........................

190

6.3大擾動與整體解

............................................

191

6.3.1大擾動問題

..........................................

191

6.3.2整體解問題

..........................................

192

6.4不同激波反射結構的轉換

....................................

193

參考文獻

...........................................................

195

索引

...............................................................

200

在連續介質 (如流體)的運動中激波 (或稱衝擊波)的產生與傳播是一個普遍的物理現像.例如，在連續介質中的爆破通常會產生一個激波由爆破源往外傳播.在

超過音速的高速飛行物體前方通常也總會有一個激波隨之一起運動.激波的特點是在一個很薄的運動介質薄層中介質的狀態發生急劇變化，從而在激波的前方與後方，介質的物理參量例如速度、壓力、密度、溫度等均會有顯著的變化.激波的出現對其周圍運動介質的物理狀態將會產生極大的影響.當激波運動遇上障礙物被反射時，其反射會表現出巨大的威力或破壞力.因此，對於激波的生成、傳播以及反射過程的深入了解極其重要，它也往往是相關的工程技術的關鍵點，受到特別的關注.由於激波以及它可能遇到的障礙物類型各異，所以由激波反射所導致的流場與非線性波結構可以十分復雜，從而精確地了解激波反射的過程及其所導致的效應既十分重要又相當困難.

通常人們通過理論、實驗以及計算三種方法對流體力學的各類問題包括激波運動展開研究.理論研究提供研究對像的定性特征，從而為實驗與計算研究提供理論支持，其成果廣泛地應用於工程技術.由於理論研究往往是在許多理想的假定下進行的，實際問題往往比這些理想的假定條件要復雜得多，隨著科學技術的發展與研究的深入，對理論研究的要求也越來越高.例如，在激波反射問題中當假設入射激波與作為障礙物的表面都是平面時，現有的理論分析可以準確地給出反射激波的位置以及波後的流動狀態.但一般情形下入射激波與障礙物的表面不是平面，那時就必須用更深入的數學工具，將所研究的問題歸結為偏微分方程的邊值問題來處理.這時，關於相應問題解的存在性、穩定性等理論分析成果還是相當欠缺的.可以說與實驗和計算技術相比，現有的理論研究還相對比較粗糙，特別是用數學分析方法進行精確理論分析的研究是相對滯後的.

實驗或數值計算雖然能提供發展工程技術所需要的數據，但實驗或數值計算正是在正確的理論指導下展開的.由於近代工程技術的發展對數據的要求越來越高，如果能用近代的數學工具提供精確的理論分析，將能為實驗與數值計算提供堅實的理論基礎，或有可能提供新的計算方法，實質性地增強所獲得成果的可靠性.著名的數學家與力學家R.Courant在其名著《超音速流與激波》(Supersonic Flow and Shock Waves)[31]中這樣寫：“工程師與物理學家對數學分析結果的信心終應依賴於證明所得到的解是由問題的資料所決定.為將本書中所介紹的理論發展到這樣一個層次，使它滿足應用的需要，又符合自然科學發展的要求，尚需做出巨大的努力.”這段話應該是對於用數學分析方法對諸多物理問題進行理論研究重要性的很好的詮釋.

本書將以偏微分方程為主要工具對激波反射所涉及的數學問題做深入的分析.我們知道，激波反射一般是一個運動的過程，因此它在流體力學問題的研究中屬於與時間相關的非定常流問題.然而，在特定的條件下，它可以關於時間是穩定不變的，或者可以選取跟隨質點運動的坐標繫使得在此坐標繫中激波及其周圍流場參量與時間無關，從而可以作為定常流問題進行討論.本書中將先後對定常流與非定常流中的激波反射現像進行討論.

激波反射現像的一個特點是隨著激波入射角的不同，在反射點附近會出現完全不同的非線性波結構.通常有類似於線性波反射的正則反射結構與完全不同於前者的含三叉交點的Mach結構.含Mach結構的激波反射稱為Mach反射，Mach結構的出現，使得對於激波反射的研究陡增了復雜性.我們將在本書中對於正則反射與Mach反射局部解的存在性與穩定性給予證明，它對於了解與建立激波反射完整的數學理論是基本的.

激波反射問題的求解不僅與反射點附近的給定條件有關，它通常還依賴於遠處的環境條件，所以必須研究激波反射問題的整體解.但由於大範圍的條件往往十分復雜且不容易確定，故整體解的研究也更為困難.可喜的是，現在對一些特定的問題的研究已有了一定的進展.

本書章先介紹流體力學方程組以及激波的一些基本事項，它在後續討論中被反復用到，其主要內容可以在[31]、[60]中找到.第二章集中討論激波極線的性質，這些性質對於研究激波運動的數學分析是必要的，但以往這些性質的闡述或證明常散見於不同的文獻中，在本書中我們對此做了集中的歸納，有些性質

(特別是關於位勢流方程激波極線的性質)是次明確地提出與證明.第三章介紹定常激波正則反射的數學分析，由於這個問題與超音速流對於具尖前緣楔形物體的繞流問題在數學處理上本質上一致，故在討論二維空間中定常激波反射問題時采用了[48]中發展的方法，在討論三維空間中定常激波反射問題時采用了[17]中發展的方法.第四章介紹定常激波Mach反射的數學分析，按物理問題的不同特性可分為E{E型的Mach反射與E{H型的Mach反射，這一章的內容主要取自[19]與[24].第五章討論非定常激波反射的數學分析，其各節內容分別取自[15]、[10]、[20].第六章中列出了一些尚未解決而頗具挑戰性的問題，對激波反射問題的研究今後的發展做了展望.G.Ben-Dor在其著作《激波反射現像》(Shock Waves Reection Phenomena)一書中詳細地介紹與分析了激波反射中出現的各種現像與實驗研究成果[5].從中更可以看到利用以偏微分方程為基礎的數學理論對激波反射中諸多問題的研究還處於起步階段，很多問題有待研究與解決.筆者希望本書的出版能引起讀者的興趣，並為其進入這一研究領域作必要的準備，更期待後續研究能有新的推進.

在本書的寫作中筆者還參考了許多其他文獻中的方法與成果，均在引用時有所注明.此外，筆者還與學術界同行有過許多討論，得益匪淺，在此一並表示感謝.然而由於筆者能力與知識的局限，在本書的取材與闡述上仍有很多不足之處.懇切地盼望讀者們能給予指正與幫助.

陳恕行

2018年2月1日