了得網自然科學_後小波與變分理論及其在圖像修復中的應用

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《後小波與變分理論及其在圖像修復中的應用（精）》是作者徐晨、李敏、張維強、孫曉麗、宋宜美承擔的國家自然科學基金項目“後小波域圖像修復建模與算法研究”（No．610700871全面繫統的總結。後小波分析和變分方法是當前數字圖像處理和計算機視覺等領域具代表性的兩種研究方法。後小波分析是在小波分析的基礎上發展起來的，是小波理論的新進展，對於含線奇異、面奇異的二維或高維函數，後小波分析顯示出了比小波分析更好的“稀疏”表示能力。變分方法是圖像處理中的另一有效工具，在圖像去噪、圖像增強、邊緣檢測等方面已經取得很多成功的應用。本書以圖像處理為應用背景，對後小波分析和變分方法以及兩者相結合在理論和算法上作了較深入的探討，並有數值實驗，且體現了作者們自己的科研成果。

內容簡介

《後小波與變分理論及其在圖像修復中的應用》主要內容是後小波理論、變分方法及兩者結合起來在圖像處理中的應用，在理論和算法上有較深入的探討，並有數值實驗和創新成果。附錄中歸納和編制了常用小波基和後小波基圖形，方便讀者選用。
《後小波與變分理論及其在圖像修復中的應用》可作為高等院校相關專業的教學參考書，也可供相關領域科技人員參考。

《信息與計算科學叢書》序
前言
第1章緒論
1.1 圖像處理的數學模型和數學方法
1.2 小波分析概述
1.3 後小波的發展
1.4 變分PDE圖像處理
第2章基本理論介紹
2.1 函數的度量空間
2.2 圖像的表示與逼近
2.2.1 圖像的表示
2.2.2 線性逼近
2.2.3 非線性逼近
2.3 小波變換《信息與計算科學叢書》序
前言
第1章緒論
1.1 圖像處理的數學模型和數學方法
1.2 小波分析概述
1.3 後小波的發展
1.4 變分PDE圖像處理
第2章基本理論介紹
2.1 函數的度量空間
2.2 圖像的表示與逼近
2.2.1 圖像的表示
2.2.2 線性逼近
2.2.3 非線性逼近
2.3 小波變換
2.4 後小波分析
2.4.1 脊波變換
2.4.2 曲線波變換
2.4.3 波原子變換
2.4.4 復小波變換
第3章變分PDE圖像恢復模型
3.1 幾種直接偏微分方程圖像恢復模型
3.1.1 各向同性的熱擴散方程
3.1.2 Perona-Malik各向異性擴散方程及其改進模型
3.1.3 Weickert張量擴散方程模型
3.1.4 自適應張量擴散方程模型
3.2 變分PDE圖像恢復模型
3.2.1 積分泛函極小化與Euler方程
3.2.2 基於能量泛函極小化的變分模型
3.2.3 用於TV圖像去噪的小波方法
3.2.4 基於TV和小波的圖像恢復模型
第4章基於曲線波和反應擴散方程的圖像去噪算法
4.1 引言
4.2 反應擴散濾波器模型及改進
4.2.1 Nordstr?m能量泛函極小化
4.2.2 基於圖的數字濾波
4.2.3 改進的反應擴散濾波器模型與濾波算法
4.2.4 數值實驗
4.3 迭代濾波器模型的性質與迭代算法的收斂性
4.3.1 迭代濾波器模型的性質
4.3.2 濾波器模型迭代算法的收斂性
4.3.3 反應擴散濾波器模型的推廣
4.4 結合曲線波的反應擴散濾波算法
第5章基於波原子變換的圖像去噪算法
5.1 引言
5.2 波原子理論
5.2.1 波原子的定義
5.2.2 波原子的構造及變換繫數
5.3 波原子在圖像處理中的應用
5.3.1 波原子硬閾值去噪算法
5.3.2 數值實驗與分析
5.4 結合全變差小的波原子去噪算法
5.4.1 全變差正則化模型
5.4.2 結合全變差小的波原子去噪算法
5.4.3 數值實驗
5.5 結合循環平移的波原子去噪算法
5.5.1 循環平移思想
5.5.2 結合循環平移的波原子去噪算法
5.5.3 數值實驗與分析
第6章基於復小波變換的圖像質量評價指標
6.1 引言
6.2 傳統圖像質量評價指標
6.2.1 基於強度的相似性指標
6.2.2 基於幾何的相似性指標
6.2.3 結構相似性指標
6.3 復小波域結構相似性指標
6.3.1 基於復小波的結構相似度指標
6.3.2 CW-SSIM指標的敏感度分析
6.4 CW-SSIM指標的檢驗
6.4.1 CW-SSIM指標的魯棒性
6.4.2 CW-SSIM指標在圖像去噪中的應用
第7章耦合邊緣提取的後小波圖像分解模型
7.1 圖像分解和邊緣檢測的發展歷史
7.1.1 圖像分解的發展歷史
7.1.2 邊緣檢測的發展歷史
7.2 結合半二次規整化的圖像卡通-紋理-邊緣分解法
7.2.1 圖像分解變分模型
7.2.2 模型(7.7)的優化策略
7.2.3 半二次規整化的基本原理
7.2.4 新模型的描述
7.2.5 新模型的數值離散
7.2.6 數值實驗
7.3 基於曲線波的圖像卡通-紋理-邊緣分解法
7.3.1 新模型的描述卡通+紋理+噪聲+邊緣分解
7.3.2 算法
7.3.3 數值實驗
7.3.4 結論
第8章變換域變分模型
8.1 Besov空間及其小波刻畫
8.1.1 Besov空間的描述
8.1.2 Besov空間的小波刻畫
8.1.3 變分PDE在圖像分解中的研究現狀
8.2 一類基於Besov空間與負Hilbert-Sobolev空間的變分模型
8.2.1 主要思想
8.2.2 新變分模型的極小化
8.2.3 新變分模型的解與小波閾值之間的關繫
8.2.4 數值實驗
8.3 基於投影的圖像分解變分模型
8.3.1 新變分模型的極小化
8.3.2 小波閾值與投影之間的關繫
8.3.3 數值實驗
8.4 一類基於Besov空間與齊次Besov空間的變分模型
8.4.1 Besov空間(1,1,s)的變分模型
8.4.2 Besov空間(p,p,s)的變分模型模型I
8.4.3 Besov空間(p,p,s)的變分模型模型II
8.4.4 算法
8.4.5 算法的收斂性分析
8.4.6 數值實驗
8.5 小結
第9章基於小波與變分PDE的圖像修補模型
9.1 變分PDE圖像修補方法的發展歷史
9.2 基於Taylor展開的3階PDE圖像去噪修補模型
9.2.1 基於Taylor展開的3階偏微分方程修補模型
9.2.2 基於Taylor展開的3階偏微分方程去噪修補模型
9.2.3 數值實驗及分析
9.3 基於曲率驅動的小波域圖像修補模型
9.3.1 小波域全變差修補模型
9.3.2 基於曲率驅動的小波域圖像修補模型
9.3.3 離散格式與數值實驗
9.4 基於非局部正則算子的圖像修補模型
9.4.1 非局部算子簡介
9.4.2 基於非局部曲率驅動的圖像修復模型
9.4.3 數值實驗及分析
第10章迭代正則化與逆尺度空間
10.1 迭代正則化方法和逆尺度空間簡介
10.2 基於VO變分模型的迭代正則化
10.2.1 基於ROF變分模型的迭代正則化(OBG模型)
10.2.2 基於VO變分模型的迭代正則化
10.2.3 數值離散
10.2.4 數值實驗
10.3 基於平移不變小波閾值的迭代正則化與逆尺度空間方法
10.3.1 Xu方法的介紹
10.3.2 Xu迭代正則化方法在Besov空間(1,1,α)中的推廣
10.3.3 基於平移不變小波變換的非線性逆尺度空間
10.3.4 數值實驗
10.4 基於等級分解的圖像多尺度表示方法
10.4.1 中間空間的介紹
10.4.2 基於等級分解的圖像多尺度表示
10.4.3 新方法的相關數學性質
10.4.4 新方法的數值離散
10.4.5 數值實驗
10.5 小結
參考文獻
附錄A 現代數值分析概想
A.1 數值分析與坐標幾何
A.1.1 從笛卡兒坐標幾何說起
A.1.2 坐標與分析
A.2 投影與逼近
A.2.1 內積空間中的投影定理
A.2.2 內積空間中的逼近概念
A.3 現代數值分析的總框架
A.3.1 H空間中的廣義Fourier分析
A.3.2 函數空間中的投影定理
A.3.3 現代數值分析中常用的子空間例
附錄B 常用小波基和後小波基
B.1 常用小波基
B.1.1 Daubechies小波
B.1.2 墨西哥帽狀小波(亦稱Bubble小波)
B.1.3 Morlet小波
B.1.4 插值樣條小波
B.1.5 Coifman小波
B.1.6 Littlewood-Paley小波(等價於Sinc小波)
B.1.7 Str?mberg小波
B.1.8 樣條小波
B.1.9 Meyer小波
B.1.10 Battle-Lemarié小波
B.1.11 雙正交小波
B.1.12 Vaidyanathan小波
B.1.13 Hardy小波
B.1.14 單邊指數小波
B.2 常用後小波基
B.2.1 脊波
B.2.2 曲線波
B.2.3 波原子
B.2.4 復小波
參考文獻
索引
《信息與計算科學叢書》已出版書目

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第1 章緒論

在圖像處理的發展過程中,數學始終都起著舉足輕重的作用.圖像處理的研究也隨著計算技術的不斷發展而不斷深入.一方面,隨著圖像處理在天文、太空、醫學、生物、視頻監控等眾多領域的應用,迫切需要現代數學提供理論支撐和分析技術;另一方面,數學方法與圖像處理相結合,又為數學建模、調和分析、計算方法、小波理論等分析技術的發展提供了新的契機.

小波分析理論和變分PDE理論是當前圖像處理領域中具有代表性的也是用之有效的兩大數學分析工具.我們正是基於這個背景承擔了國家自然科學基金項目“後小波域圖像修復建模與算法研究”(2011年1月―2013年12月).兩年多來,我們在後小波理論(小波分析的進一步發展)結合變分PDE理論並應用於圖像處理等方面作了較為繫統、深入的研究和探討.本書正是這個課題的全面總結,既有理論探討,又有數字實踐,也反映了我們自己的科研成果.

1.1 圖像處理的數學模型和數學方法

圖像是用各種觀測繫統以不同形式和手段觀測客觀世界而獲得的,可以直接或間接作用於人眼並產生視知覺的實體[1,2].客觀世界在空間上是三維的,但一般從客觀景物得到的圖像是二維的.一幅圖像可以用一個二維數組u(x,y)來表示,這裡x和y表示二維空間XY中的一個坐標點的位置,而u則代表圖像在點(x,y)的某種性質F的數值.例如常用的圖像是灰度圖,這時u表示灰度值,它對應於客觀景物被觀察到的亮度.

常見圖像是連續的,即u,x,y的值可以是任意實數.為了能用計算機對圖像進行加工和處理,需要把連續的圖像在坐標空間XY和性質空間F上都進行離散化處理.對灰度圖像而言,也就是要在圖像域上離散地取樣,在每個像素上的灰度值也是離散的,通常分成128或256個等級.這種離散後的圖像稱為數字圖像.本書中主要討論數字圖像,即u,x,y都在整數集合中取值.由於人的視覺能區分的灰度級有限(小於128),所以數字圖像在視覺上的效果近似於連續圖像.

為了能夠有效地處理圖像,首先需要知道如何從數學的角度理解和表示圖像.例如,用二維的函數來表示一幅圖像是否合適,需不需要加一些適當的約束條件等.迄今,數學上主要從三方面來研究圖像處理：概率統計、小波分析和偏微分方程.這裡介紹它們對應的三類圖像建模和表示的方法.

1.隨機場模型(random.eldmodeling)

人們早是借助於隨機過程理論建立的圖像模型.該

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