了得網自然科學_二型模糊集合與邏輯

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內容簡介

二型模糊集合比相應的一型模糊集合能更好地解決數據噪聲和語言歧義等問題，在復雜和智能繫統的建模、分析、控制、管理與評估中有著廣泛應用。本書采用拓撲學相關定義與方法來描述二型模糊集合的定義、分類和性質，提出利用支集閉包的CoS劃分法給出其表述式，討論了相應的語言動力繫統及其穩定性分析，並介紹了在不同領域中的相關應用。
本書可作為高等院校理工科專業本科生、研究生的教材，也可供模糊邏輯與控制、人工智能等領域的研究人員參考。

第一篇二型模糊集合的基礎理論
第1章拓撲學理論與基礎
1.1集合的定義與表述
1.1.1集合的定義與術語
1.1.2集合的表示方法
1.1.3集合的關繫
1.1.4集合的其他相關定義
1.2集合的基本運算
1.2.1集合的並
1.2.2集合的交
1.2.3集合的補
1.2.4集合的其他運算
1.3集合的基本運算性質
1.4關繫和映射

第一篇二型模糊集合的基礎理論

第1章拓撲學理論與基礎

1.1集合的定義與表述

1.1.1集合的定義與術語

1.1.2集合的表示方法

1.1.3集合的關繫

1.1.4集合的其他相關定義

1.2集合的基本運算

1.2.1集合的並

1.2.2集合的交

1.2.3集合的補

1.2.4集合的其他運算

1.3集合的基本運算性質

1.4關繫和映射

1.4.1關繫

1.4.2映射

1.4.3特征函數

1.4.4限制與投射

1.5度量空間

1.5.1度量與度量空間的定義

1.5.2鄰域與開集

1.5.3連續映射

1.6拓撲空間

1.6.1拓撲及拓撲空間

1.6.2鄰域

1.6.3閉集與閉包

1.6.4內部與邊界

1.6.5連續映射

1.7連通

1.7.1隔離子集

1.7.2不連通空間與連通空間

1.7.3局部連通與局部連通空間

1.7.4單連通與多連通

1.7.5弧連通

參考文獻

第2章模糊集合

2.1模糊集合的相關定義

2.2模糊集合的支集與支集的閉包

2.3模糊集合的表述

2.3.1離散模糊集合的表述

2.3.2連通模糊集合的表述

2.3.3復合型模糊集合的表述

2.4單位模糊集合

2.5模糊集合的運算

2.6擴展原理

2.6.1λ截集

2.6.2內截圖

2.6.3分解定理

2.6.4擴展原理

2.6.5擴展原理的推廣

2.7模糊數

2.8模糊集合下的詞計算

2.8.1Ⅰ型詞計算

2.8.2Ⅱ型LDS的詞計算

2.8.3實例

2.8.4詞計算在復雜金融繫統中的應用

2.9模糊集合在智能停車中的應用

2.9.1模糊層次分析法

2.9.2停車搜索過程

2.9.3停車行為模型

2.9.4分析驗證

2.10小結

參考文獻

第3章二型模糊集合的定義與分類

3.1二型模糊集合的原始定義及演化

3.1.1Zadeh定義下的二型模糊集合

3.1.2Mizimoto定義下的二型模糊集合

3.2Mendel定義下的二型模糊集合

3.2.1Mendel給出的二型模糊集合相關定義

3.2.2對Mendel給出的二型模糊集合相關定義的分析

3.3二型模糊集合的王莫（WangMo）定義

3.3.1二型模糊集合在一點的限制

3.3.2二型模糊集合的支集與支集的閉包

3.3.3主隸屬度及CoS的分類

3.3.4x,u,z\\|截圖

3.4二型模糊集合的分類

3.4.1離散二型模糊集合

3.4.2半連通二型模糊集合

3.4.3連通二型模糊集合

3.4.4復合二型模糊集合

3.5小結

參考文獻

第4章CoS劃分法與二型模糊集合的表述

4.1二型模糊集合的主隸屬度與CoS

4.1.1二型模糊集合的主隸屬度與主隸屬

4.1.2二型模糊集合的CoS與FOU

4.2CoS的劃分方法

4.2.1CoS劃分法

4.2.2CoS二次劃分法

4.2.3CoS三次劃分法

4.3二型模糊集合的表述

4.3.1離散二型模糊集合的表述

4.3.2半連通二型模糊集合的表述

4.3.3連通二型模糊集合的表述

4.3.4復合二型模糊集合的表述

參考文獻

附錄A

附錄B

附錄C

第5章二型模糊集合的性質與運算

5.1二型模糊集合的相關性質

5.2區間二型模糊集合下的詞計算

5.3廣義區間二型模糊集合下的詞計算

5.4區間二型模糊集合的運算

5.4.1區間二型模糊集合的並運算

5.4.2區間二型模糊集合的交運算

5.4.3區間二型模糊集合的補運算

參考文獻第6章二型模糊集合下的語言動力繫統

6.1語言動力繫統理論簡介

6.2語言動力繫統理論相關術語

6.3語言動力繫統理論框架

6.4Ⅰ型語言動力繫統

6.5區間二型模糊集合下的線性語言動力繫統

6.5.1線性語言動力繫統的數值解

6.5.2線性語言動力繫統的能控性和能觀性

6.6線性語言動力繫統的穩定性

6.7區間二型模糊集合下的單調非線性語言動力繫統

6.7.1區間二型模糊集合下的LDS的迭代算法

6.7.2區間二型模糊集合的語言動力軌跡

6.7.3區間二型模糊集合下的單調非線性語言動力繫統穩定性

6.8Ⅱ型語言動力繫統

6.9區間二型模糊集合下的語言動力學不變語言向量定理

6.9.1單輸入單輸出自治Ⅱ型語言動力繫統

6.9.2多輸入多輸出自治Ⅱ型語言動力繫統

6.9.3目標語言狀態向量d的選取條件

6.10區間二型模糊集合下的語言動力繫統控制律設計

6.11小結

參考文獻

第二篇二型模糊集合的應用

第7章心理危機干預

7.1基於二型模糊集合的心理健康狀態評價及描述

7.2心理健康狀態的語言動力學描述

7.3心理危機干預的語言動力學建模

參考文獻

第8章員工勝任力評估

8.1介紹

8.2時變論域

8.2.1離散時變論域

8.2.2連續時變論域

8.3動態模糊規則

8.4詞計算

8.5語言動力繫統

8.6小結

參考文獻第9章Mealy自動機

9.1預備知識

9.2區間二型模糊Mealy自動機

9.3基於區間二型模糊Mealy自動機的語言動力繫統

9.4小結

參考文獻

第10章考研國家線預測

10.1基於區間二型模糊集合的考研國家線的預測

10.1.1區間二型模糊集合下考研國家線的分析

10.1.2基於模糊規則的IT2 FS的計算

10.1.3報考人數與招生人數的模糊化

10.1.4難度繫數隸屬函數的建立

10.2實例驗證

參考文獻

第11章電力客戶需求

11.1電力客戶滿意度

11.2基於二型模糊集合的電力客戶滿意度評估及分析

11.2.1基於離散二型模糊集合的滿意度指標描述及分析

11.2.2電力客戶滿意度的評估

11.3應用實例

11.4小結

參考文獻

第12章紅綠燈配時

12.1基於區間二型模糊集合交通燈的時間調節

12.2實例分析

12.3小結

參考文獻

第13章交叉路口交通流干預

13.1預備知識

13.1.1建立相應的模糊規則

13.1.2模糊綜合評價方法

13.2基於區間二型模糊集合的交叉路口擁堵分析

13.3基於區間二型模糊集合的交叉路口干預

參考文獻第14章主干道協調控制

14.1離散時變論域

14.2波動型離散時變論域

14.3基於二型模糊集合的主干道路口通行狀況評估

14.4基於時變論域的紅綠燈協調配時模型

14.4.1相位1綠燈時長

14.4.2相位差

14.4.3相位1紅燈時間及周期

14.5小結

參考文獻

第15章電子商務的在線評論

15.1時變論域

15.2時變論域下在線評論的二型模糊評估

15.2.1在線評論包含的信息分類

15.2.2在線評論及商家干擾措施的模糊化

15.2.3動態模糊規則

15.2.4因素集隸屬函數的確定

15.3應用

15.4小結

參考文獻

第16章水溫控制

16.1區間二型模糊神經網絡結構

16.2區間二型模糊神經網絡的學習算法

16.3基於區間二型模糊神經網絡的直接逆模型控制方法

16.4仿真實驗

16.5小結

參考文獻

第17章高速公路匝道控制

17.1匝道控制分類

17.2交通流模型

17.3基於輸出反饋的區間二型模糊控制算法

17.4仿真實驗

17.5小結

參考文獻

第18章多項目風險分析

18.1項目風險管理

18.2多項目風險管理評估體繫

18.2.1多項目風險識別

18.2.2多項目風險評估

18.2.3多項目風險應對

18.3時變論域下多項目管理的風險識別

18.3.1多項目風險管理模型

18.3.2多項目優先級決策

18.3.3多項目風險程度評估指標體繫

18.3.4時變論域下的風險因素識別

18.3.5實例分析

18.4區間二型模糊集合下多項目風險的綜合評估

18.4.1時變論域下的區間二型模糊集合表述

18.4.2基於模糊綜合評判的多項目風險評估

18.4.3實例分析

18.5多項目風險的應對策略

18.5.1消極風險的應對策略

18.5.2積極風險的應對策略

18.5.3基於區間二型模糊集合的風險應對及語言動力學分析

18.5.4實例分析

參考文獻

第19章交通流數據處理

19.1交通流長時預測框架的提出及其實現方法

19.1.1交通流長時預測框架簡介

19.1.2交通流數據預處理模塊

19.1.3交通流數據的置信區間描述

19.1.4二型模糊化模塊

19.1.5交通流數據預測模塊

19.1.6預測框架誤差分析方法

19.2交通流長時預測仿真實驗

19.2.1預處理模塊仿真實驗

19.2.2二型模糊化模塊仿真實驗

19.2.3預測模塊仿真實驗

19.2.4誤差分析

19.3小結

參考文獻

第20章總結與展望

參考文獻

附錄A關於模糊繫統研究的認識和評價以及其它

附錄B回復：
關於模糊理念的思考

前言

21世紀人工智能技術的迅速發展使人們的生活方式發生了巨大的改變，如何表示、處理和模擬不確定信息與知識是當前業界關注的焦點。模糊集合建立了自然語言與定量描述之間的橋梁和紐帶，是分析定性與定量之間相互轉化的認知模型。基於模糊集合的詞計算能較好地模擬人類使用語言和概念進行計算和推理的過程，因此，模糊集合作為不確定性人工智能方法被廣泛地應用於解決復雜繫統的相關問題。然而，如何給出一個模糊集合的隸屬函數，不僅不同的人有不同的方式，同一個人在不同的時間、地點和問題上也有不同的方式。為此，本書在介紹二型模糊集合時結合了時變論域等相關內容。相對於一型模糊集合，二型模糊集合（type2 fuzzy sets, T2 FSs）能較好地解決語言歧義與數據噪聲問題，給定義隸屬函數以更大的自由度，近年來，二型模糊邏輯與控制得到了廣泛的應用。但是，對於一般的工程技術人員來說，T2 FSs的定義晦澀難懂，且其對應的圖形一般為空間圖形，沒有平面圖形的直觀性，也很難給出類似於一型模糊集合的隸屬函數及對應的圖形。因此，以往關於T2 FSs方面的工作主要集中於區間二型模糊集合(interval type2 fuzzy sets, IT2 FSs)，主要的方法是將IT2 FSs的相關研究轉化到其對應的不確定覆蓋域(footprint of uncertainty, FOU)，將對FOU的討論進一步轉化為其對應的上邊界(upper membership function, UMF)和下邊界(lower membership function, LMF)上進行。但是，一個FOU的上下邊界實際上就是兩個一型模糊集合，可以說，現有的關於二型模糊集合的理論與分析主要是借助於一型模糊邏輯與繫統的理論與方法。為了讓讀者能夠更好地了解T2 FSs及相關性質，本書綜合了王飛躍、莫紅與趙亮多年的研究成果，給出T2 FSs類似於一型模糊集合的表述形式及對應的圖形；用兩種不同的方式給出了T2 FSs的新定義；並將T2 FSs分成四類：離散T2 FSs、半連通T2 FSs、連通T2 FSs和復合T2 FSs，給出了每一類二型模糊集合的表述方法；對於連通T2 FSs，提出了T2 FSs次隸屬函數支集的閉包(closure of support, CoS)劃分法、二次劃分法及三次劃分法。由該定義及CoS各次劃分法，能較好地理解T2 FSs，並能類似於一型模糊集合給出T2 FSs的表述式, 探討T2 FSs的相關性質。本書的主要內容來自王飛躍及其領導的團隊過去10年(2007—2017)在T2 FSs領域的工作總結。本書可以作為高校及科研院所信息處理、語言動力繫統及自動化專業的本科生、研究生的教材，還可供模糊邏輯與控制、智能制造、人工智能、知識自動化和智能科學與技術等領域的研究人員閱讀參考。本書分為理論與應用兩篇，各篇內容及分工為：第一篇為二型模糊集合理論篇，包括6章，其中，第1章拓撲學理論與基礎與第2章模糊集合由莫紅撰寫；第3章二型模糊集合的定義與分類與第4章CoS劃分法與二型模糊集合的表述、第5章二型模糊集合的性質與運算，由王飛躍、莫紅撰寫；第6章二型模糊集合下的語言動力繫統由王飛躍、莫紅、趙亮撰寫。第二篇為二型模糊集合應用篇，包括12章，其中，第7章二型模糊集合在心理危機干預中的應用、第8章二型模糊集合在員工勝任力評估中的應用、第9章二型模糊集合在Mealy自動機中的應用、第10章二型模糊集合在考研國家線預測中的應用、第11章二型模糊集合在電力客戶滿意度評估中的應用、第12章基於二型模糊集合的紅綠燈配時方法、第13章二型模糊集合在交叉路口交通流干預中的應用、第14章二型模糊集合在主干道協調控制中的應用、第15章二型模糊集合在電子商務在線評論中的應用，由莫紅、王飛躍撰寫；第16章二型模糊集合在水溫控制中的應用、第17章二型模糊集合在高速公路匝道控制中的應用，由趙亮撰寫；第18章二型模糊集合在多項目風險評估及控制中的應用由莫紅、王飛躍撰寫；第19章二型模糊集合在交通流數據處理中的應用由李潤梅撰寫；第20章為本書總結與展望。本書第1章介紹了點集拓撲的相關定義與性質，為後續關於二型模糊集合的分類與表述，及對二型模糊集合的相關性質的討論奠定基礎。由於本章要求讀者有較好的集合論基礎，對於拓撲學有困難的讀者可直接略過第1章，並不影響後續章節的閱讀。湖南師範大學理學院鄧迎春教授及中國人民解放軍國防科學技術大學管理學院楊田副教授協助本書的審核與校對工作，長沙理工大學碩士研究生曹小玲、舒維安、周鑫、劉芬、鄭和斌、劉主正、晏可夫、李軍、張峰參與本書相關文獻的搜集與整理，在此一並表示感謝！由於作者水平有限，加上時間倉促，書中不妥之處在所難免，還望讀者能夠批評指正。本書得到了國家自然科學基金（No.61473048, 61074093, 61233008，61473114，61105079），長沙理工大學青年英纔計劃及中國科學院自動化研究所復雜繫統管理與控制國家重點實驗室開放課題(No.20150101, 20130101)和青島智能產業技術研究院平行研討基金(No.2017002)的資助！21世紀人工智能技術的迅速發展使人們的生活方式發生了巨大的改變，如何表示、處理和模擬不確定信息與知識是當前業界關注的焦點。模糊集合建立了自然語言與定量描述之間的橋梁和紐帶，是分析定性與定量之間相互轉化的認知模型。基於模糊集合的詞計算能較好地模擬人類使用語言和概念進行計算和推理的過程，因此，模糊集合作為不確定性人工智能方法被廣泛地應用於解決復雜繫統的相關問題。然而，如何給出一個模糊集合的隸屬函數，不僅不同的人有不同的方式，同一個人在不同的時間、地點和問題上也有不同的方式。為此，本書在介紹二型模糊集合時結合了時變論域等相關內容。相對於一型模糊集合，二型模糊集合（type2 fuzzy sets, T2 FSs）能較好地解決語言歧義與數據噪聲問題，給定義隸屬函數以更大的自由度，近年來，二型模糊邏輯與控制得到了廣泛的應用。但是，對於一般的工程技術人員來說，T2 FSs的定義晦澀難懂，且其對應的圖形一般為空間圖形，沒有平面圖形的直觀性，也很難給出類似於一型模糊集合的隸屬函數及對應的圖形。因此，以往關於T2 FSs方面的工作主要集中於區間二型模糊集合(interval type2 fuzzy sets, IT2 FSs)，主要的方法是將IT2 FSs的相關研究轉化到其對應的不確定覆蓋域(footprint of uncertainty, FOU)，將對FOU的討論進一步轉化為其對應的上邊界(upper membership function, UMF)和下邊界(lower membership function, LMF)上進行。但是，一個FOU的上下邊界實際上就是兩個一型模糊集合，可以說，現有的關於二型模糊集合的理論與分析主要是借助於一型模糊邏輯與繫統的理論與方法。為了讓讀者能夠更好地了解T2 FSs及相關性質，本書綜合了王飛躍、莫紅與趙亮多年的研究成果，給出T2 FSs類似於一型模糊集合的表述形式及對應的圖形；用兩種不同的方式給出了T2 FSs的新定義；並將T2 FSs分成四類：離散T2 FSs、半連通T2 FSs、連通T2 FSs和復合T2 FSs，給出了每一類二型模糊集合的表述方法；對於連通T2 FSs，提出了T2 FSs次隸屬函數支集的閉包(closure of support, CoS)劃分法、二次劃分法及三次劃分法。由該定義及CoS各次劃分法，能較好地理解T2 FSs，並能類似於一型模糊集合給出T2 FSs的表述式, 探討T2 FSs的相關性質。本書的主要內容來自王飛躍及其領導的團隊過去10年(2007—2017)在T2 FSs領域的工作總結。本書可以作為高校及科研院所信息處理、語言動力繫統及自動化專業的本科生、研究生的教材，還可供模糊邏輯與控制、智能制造、人工智能、知識自動化和智能科學與技術等領域的研究人員閱讀參考。本書分為理論與應用兩篇，各篇內容及分工為：第一篇為二型模糊集合理論篇，包括6章，其中，第1章拓撲學理論與基礎與第2章模糊集合由莫紅撰寫；第3章二型模糊集合的定義與分類與第4章CoS劃分法與二型模糊集合的表述、第5章二型模糊集合的性質與運算，由王飛躍、莫紅撰寫；第6章二型模糊集合下的語言動力繫統由王飛躍、莫紅、趙亮撰寫。第二篇為二型模糊集合應用篇，包括12章，其中，第7章二型模糊集合在心理危機干預中的應用、第8章二型模糊集合在員工勝任力評估中的應用、第9章二型模糊集合在Mealy自動機中的應用、第10章二型模糊集合在考研國家線預測中的應用、第11章二型模糊集合在電力客戶滿意度評估中的應用、第12章基於二型模糊集合的紅綠燈配時方法、第13章二型模糊集合在交叉路口交通流干預中的應用、第14章二型模糊集合在主干道協調控制中的應用、第15章二型模糊集合在電子商務在線評論中的應用，由莫紅、王飛躍撰寫；第16章二型模糊集合在水溫控制中的應用、第17章二型模糊集合在高速公路匝道控制中的應用，由趙亮撰寫；第18章二型模糊集合在多項目風險評估及控制中的應用由莫紅、王飛躍撰寫；第19章二型模糊集合在交通流數據處理中的應用由李潤梅撰寫；第20章為本書總結與展望。本書第1章介紹了點集拓撲的相關定義與性質，為後續關於二型模糊集合的分類與表述，及對二型模糊集合的相關性質的討論奠定基礎。由於本章要求讀者有較好的集合論基礎，對於拓撲學有困難的讀者可直接略過第1章，並不影響後續章節的閱讀。湖南師範大學理學院鄧迎春教授及中國人民解放軍國防科學技術大學管理學院楊田副教授協助本書的審核與校對工作，長沙理工大學碩士研究生曹小玲、舒維安、周鑫、劉芬、鄭和斌、劉主正、晏可夫、李軍、張峰參與本書相關文獻的搜集與整理，在此一並表示感謝！由於作者水平有限，加上時間倉促，書中不妥之處在所難免，還望讀者能夠批評指正。本書得到了國家自然科學基金（No.61473048, 61074093, 61233008，61473114，61105079），長沙理工大學青年英纔計劃及中國科學院自動化研究所復雜繫統管理與控制國家重點實驗室開放課題(No.20150101, 20130101)和青島智能產業技術研究院平行研討基金(No.2017002)的資助！
王飛躍中國科學院青島智能產業技術研究院〖〗莫紅長沙理工大學電氣與信息工程學院2017年10月

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第1章拓撲學理論與基礎拓撲學是研究物體在連續變形之下保持不變的幾何性質的科學。在點集拓撲學中，連續變形被表示為兩個幾何圖形所對應點集之間的連續映射。我們需要在點集上構造一繫列定義來刻畫連續映射的特征，因此集合是點集拓撲學中至關重要的命題，是精確數學對客觀現像的度量特征認識在概念上的反映。1.1集合的定義與表述〖*1〗1.1.1集合的定義與術語由具有某種共同特點的個體構成的全體稱為〖=H〗集合。〖=B〗如“所有整數組成的集合”“高一男生組成的集合”等等，集合又稱〖=H〗集、族、類〖=B〗，集合的名稱通常用大寫的英文字母A,B,…來表示。組成集合的個體稱為集合的〖素〖=B〗（或稱〖=H、成員、點〖=B〗），通常用小寫英文字母x,y,z,…來表示。隻含一個成員的集合稱為〖=H〗獨點集。〖=B〗如果集合A的素都是集素，則稱A為B的〖=H〗子集〖=B〗，記為AB。如果A中素都素，但B中至少素不素，則稱A為B的真子集，記為AB。在給定的範圍內，如果所有集合均為某個集合的子集，則稱該集合為〖=H〗全集〖=B〗或〖=H〗論域〖=B〗。不素的集合稱為〖=H〗空集〖=B〗，用表示。如方程x2 1=0在實數範圍內的解就是空集。1.1.2集合的表示方法集合的表示方法通常有以下兩種。（1）枚舉法將一個集合的素列舉出來，再加上花括號來表示該集合，例如1,2,3,…,n素1,2,3,…,n構成的集合。枚舉法素，素各不相同。（2）描述法通過描述一個集合素所具有的某個共同特征來表述該集合，例如x|x2≤1,即表示其平方小於等素的集合。描述法素的屬性。如8，x|x2=64,x>0均為獨點集，分別采用了枚舉法和描述法。另外，圖示法被用來對集合進行表述。圖示法比較直觀，讓人一目了然。1.1.3集合的關繫若a是集素，則稱a〖=H〗屬於〖=B〗A，記為a∈A；反之，若b不是集素，則稱b不屬於A，記為bA，素與集合是屬於與不屬於之間的關繫。對於兩個集合A,B，若x∈A，都有x∈B，則稱A〖=H〗包含於〖=B〗B或者B〖=H〗包含〖=B〗A，分別記為AB或BA，也就是說A為B的子集。空集是任意集合的子集。對任意非空集合A，至少包含兩個子集與A，即A,AA，稱A,是A的平凡子集。對於兩個集合A,B，若AB且BA，即A,B有素時，稱集合A與集合B〖=H〗相等〖=B〗，記為A=B。1.1.4集合的其他相關定義若組成一個素的個數有限，則稱該集合為〖=H〗有限集〖=B〗或〖=H〗有窮集〖=B〗，如a,b,c,d、{全班學生}均為有限集合。否則稱為〖=H〗無限集〖=B〗或〖=H〗無窮集〖=B〗，如1,2,3,…、{全體有理數}均為無限集。集素具有三個特性：確定性、無序性及互異性。以素的集合稱為〖=H〗集族〖=B〗，用花體希臘字母Euclid Math OneAAp, Euclid Math OneBAp, Euclid Math OneIAp表示，Euclid Math OneAAp=1,5,6,說明Euclid Math OneAAp為一個集族，由1,5,6,素組成。以給定集合A的全體素構成的集合稱為A的〖=H〗冪集〖=B〗，記為ΡA。顯然，A的冪集是由A的全體子集構成的集族。如果集合A素，則它的冪集有素。如集合A=a,b，其冪集ΡA=,a,b,a,b，&Rho素個數為22=4。1.2集合的基本運算設X為全集，對X中的任意兩個子集A,B，有並、交、補等基本運算。1.2.1集合的並由集合A,B素構成的新集合稱為A與B的〖=H〗並集〖=B〗，記為A∪B，讀為A並B，也就是說，A∪B=x|x∈A或x∈B，如圖1.1所示。圖1.1兩個集合的並集如全集X=［2,9］,A=［3,8］,B=(2,6］為兩個子集,則A∪B=(2,8］。1.2.2集合的交由同時屬於集合A,B素組成的新集合稱為A與B的〖=H〗交集〖=B〗，記為A∩B，讀為A交B，也就是說，A∩B=x|x∈A且x∈B。若A∩B=，則稱A與B不相交或無交，反之，稱A與B相交，如圖1.2所示。圖1.2兩個集合的交集如全集X=［2,9］,則A=［3,8］,B=(2,6］,C=［7,9］均為X的子集，且A∩B=［3,6］，A∩C=［7,8］，B∩C=1.2.3集合的補設X為全集，A為X中的一個集合，在X中不屬於A素組成的新集合稱為A關於X的〖=H〗補集〖=B〗，記為Ac，也就是說，Ac=X－A=xx∈X,xA(1.1)如圖1.3所示。圖1.3集合的補集如全集X=［2,9］,A=［3,8］,B=(2,6］為兩個子集，則對應的補集為Ac=2,3∪8,9Bc=2∪6,91.2.4集合的其他運算所有屬於B而不屬於A素組成的新集合稱為B與A的〖=H〗差集〖=B〗，又稱為A相對B的補集，記為B－A，讀為B差A或B減去A，也就是說，B－A=x|x∈B,xA，如圖1.4所示。圖1.4兩個集合的差集當AB時，稱差集B－A為〖=H〗餘集〖=B〗，記為CBA，如圖1.5所示。圖1.5兩個集合的餘集由僅屬於集合A或僅屬於集合B素組成的新集合稱為A與B的〖=H〗對稱差〖=B〗，記為AB=A－B∪B－A，如圖1.6所示。圖1.6兩個集合的對稱差對稱差又可以表示為AB=A∪B－B∩A(1.2)設A={1,3,7}，B={3,5,7,9}，則有A∪B={1,3,5,7,9}，A∩B={3,7}Ac={5,6,9}，Bc={1,6}B－A={5,9},A－B={1}AB={1,5,9}1.3集合的基本運算性質設X為全集，對於任意子集A,B,C，有以下的運算性質：(1) 等冪律 A∪A=A,A∩A=A(2) 交換律 A∪B=B∪A,A∩B=B∩A,AB=BA(3) 結合律 A∪B∪C=A∪B∪C,A∩B∩C=A∩B∩CABC=ABC(4) 分配律 A∩B∪C=A∪C∩B∪C,A∪B∩C=A∩C∪B∩CA∩B－C=A∩B－A∩C(5) 同一律 A∩X=A,A∪=A(6) 兩級律 A∪X=X,A∩=(7) 吸收律 A∪A∩B=A,A∩A∪B=A(8) 還原律 Acc=A(9) 互補律 Xc=,c=X(10) 恆等律 A=A,AA=(11) 對偶律（或De Morgan律）A－B∪C=A－B∩A－C,A－B∩C=A－B∪A－C(12) A∪Ac=X,A∩Ac=(13) A∪Bc=Ac∩Bc,A∩Bc=Ac∪Bc(14) 若AB，則A∩B=A，A∪B=B，A－B=(15) 若AB，則B－A∪A=B，BcAc(16) A－B=A∩Bc=A－A∩B(17) C－A－B=C－A∪B(18) 若AC,BC，則A－B=A∩CAB(19) AB=A∩Bc∪Ac∩B(20) A∪B=AB∪A∩B=A∩Bc∪B∩Ac∪A∩B由集合的交換律和結合律，按照歸納的方法對任意有限個集合A1,A2,…,An的並與交分別定義為∪n〖〗i=1Ai=A1∪A2∪…∪An=A1∪A2∪…∪An－1∪An∩n〖〗i=1Ai=A1∩A2∩…∩An=A1∩A2∩…∩An－1∩An1.4關繫和映射在數學中，我們通常要討論集合中不同對像之間的聯繫以及給定集合之間的聯繫，這就涉及關繫和映射。比如次序和等價，其本質關繫，體現了給定集合中對像之間的聯繫；而函數和運算則是映射，體現了定義域和值域之間的聯繫，我們將在點集上給出相關概念。在點集上給出這些定義，是對這些數學概念更本質數學特征的刻畫。在數學中諸如函數、次序、運算以及等價的概念實際上是指出某些給定的素之間的某種關繫，下面介紹相關概念。1.4.1關繫對於任意n個集合X1,X2,…,Xn，集合x1,x2,…,xnx1∈X1,x2∈X2,…,xn∈Xn(1.3)稱為X1,X2,…,Xn的〖=H〗笛卡兒積〖=B〗，記為X1×X2×…×Xn。其中，x1,x2,…,xn為有次數組，xi(1≤i≤n)稱為x1,x2,…,xn的第i個坐標，Xi(1≤i≤n)稱為X1×X2×…×Xn的第i個坐標集。n個集合的笛卡兒積X×X×…×Xn個記為Xn，當X為實數集R時，Rn=R×R×…×Rn個為所有有次序的n個實數組x1,x2,…,xn構成的集合。設X,Y為集合，X與Y的笛卡兒積X×Y的一個子集R稱為從X到Y的一個〖=H〗關繫〖=B〗，記為RX×Y。若x,y∈R，則稱x與y是R\\|相關的，記為xRy。集合x|y∈Y,使得xRyX稱為關繫R的〖=H〗定義域〖=B〗。集合y|x∈A,使得xRyY稱為關繫R的〖=H〗值域〖=B〗。若AX，集合y|x∈A,使得xRyY稱為集合A對於關繫R而言的〖=H〗像集〖=B〗，簡稱集合A的〖=H〗像〖=B〗，記為RA。設R為從集合X到集合Y中的一個關繫（即RX×Y），則集合y,xxRy為Y×X的子集，即為從Y到X的一個關繫，稱為R的逆，記為R－1。對於BY，R－1BX稱為集合B的R－1的像，或B（關於關繫R）的原像，或B的R原像。1.4.2映射設F為從集合X到集合Y的關繫，若對於每一個x∈X，有唯一y∈Y使得xFy，則稱F為從X到Y的〖=H〗映射〖=B〗，記為F:X→Y。對於每一個x∈X，使得xFy的那個唯一y∈Y稱為點x對於映射F而言的〖=H〗像〖=B〗或〖=H〗值〖=B〗，記為Fx。對於每一個y∈Y，若x∈X使得xFy（即y是x的像），則稱x是y的〖=H〗原像〖=B〗，並且y的原像集記為F－1y。若F(X)=Y，則稱F為從X到Y上的映射，或簡稱F為〖=H〗滿射〖=B〗。設F:X→Y為一個滿射，若X中不同點的像是Y中不同的點，則稱F為〖=H〗一一映射〖=B〗。1.4.3特征函數下面用特征函數的方法來介紹集合。設A為全集X中的一個子集，AX,x∈X，由μAx=1,〖〗x∈A0,〖〗xA(1.4)定義的函數μA:X→0,1稱為集合A的〖=H〗特征函數〖=B〗。集合A的特征素x處的值μAx稱為x對於A的隸屬度。當μAx=1時，表示x絕對隸屬於A；當μAx=0時，表示x不隸屬於A。1.4.4限制與投射設AX，f:X→Y，g:A→Y，如果對於任意x∈A，都有fx=gx，則稱g為f在集合A上的〖=H〗限制〖=B〗，記作g=f|A，又稱f為g在X上的〖=H〗擴張〖=B〗。特別地，若A={a}，則稱g為f在點a的限制，簡記為g=f|a。設X1,X2,…,Xn為集合，從笛卡兒積X1×X2×…×Xn到第i個坐標集Xi中的映射pi:X1×X2×…×Xn→Xi(1.5)定義為：對任意x=(x1,x2,…,xn)∈X1×X2×…×Xn，pix=xi，映射pi稱為第i個投影或向第i個坐標集的〖=H〗投射〖=B〗。特別地，從笛卡兒積X×Y×Z到坐標集X（或Y，Z）的投射分別記為pX（或pY，pZ）。1.5度量空間在微積分中，函數的連續性是一個非常重要的性質，它直接決定函數是否可積或可微。我們將函數的連續性進行抽像和概括，以刻畫其最本質的特征，用於定義點集上的連續現像。函數連續性的定義其實隻涉及實數之間的距離，與實數的其他性質無關。1.5.1度量與度量空間的定義設X為一非空集合，ρ:X×X→R為一個映射，若對於任意x,y,z∈X，有（1） ρx,y≥0，並且ρx,y=0,當且僅當x=y；（2） ρx,y=ρy,x（3） ρx,z≤ρx,y ρy,z則稱ρ為X的一種〖=H〗度量〖=B〗。如果X≠，就稱X,ρ為〖=H〗度量空間〖=B〗。對任意x,y∈X，實數ρx,y稱為從點x到點y的〖=H〗距離〖=B〗。1.5.2鄰域與開集設X,ρ為度量空間，x∈X。對於任意實數ε>0，集合y∈X:ρx,y<ε(1.6)稱為以x為中心以ε為半徑的〖=H〗球形鄰域〖=B〗，簡稱為x的球形鄰域或ε鄰域，記作B(x,ε)。設A是度量空間的子集，若A的每一點都有一個球形鄰域包含於A，則稱A為X的〖=H〗開集〖=B〗。設x是度量空間中的一點，U為X的子集，若存在X的開集V滿足：x∈VU，則稱U為點x的〖=H〗鄰域〖=B〗。1.5.3連續映射設X,Y是度量空間，f:X→Y為一映射。x為X中的一點，若對於fx的任意球形鄰域Bfx,ε，存在x的球形鄰域Bx,δ使得fBx,δBfx,ε(1.7)則稱映射f在點x處〖=H〗連續〖=B〗。如果映射f在X的每一點處都連續，則稱映射f為〖=H〗連續映射〖=B〗。〖=H〗定理1.1〖=B〗若X,Y為度量空間，f:X→Y為一個映射，則下述說法等價：(1) f為連續映射；(2) Y的每一個開集的原像都是X中的開集。證明：先證（1）→（2）。設（1）成立。令集合V是Y中的一個開集，U=f－1(V)。對於每一個x∈U,fx∈V。由於V是一個開集，所以V是f(x)的一個鄰域，由於f在每一點連續，所以U為x的鄰域。於是，有包含x的開集UxU，從而∪x∈UUxU(1.8)另一方面，有xUx，故U=∪x∈Ux∪x∈UUx(1.9)所以U=∪x∈UUx(1.10)由於任意Ux均為開集，所以U為開集。再證（2）→（1）。設（2）成立，不妨設對於任意x∈X，E為fx的一個鄰域，即存在包含f(x)的一個開集VE，從而x∈f－1(V)f－1(E)，由於f－1(V)為開集，所以f－1(E)為x鄰域，因此，f在點x處連續。故f為一個連續映射。定理得證。1.6拓撲空間在度量空間中，我們可以使用距離來定義開集和鄰域，從而給出連續映射的定義。而在普通點集上並無度量的概念，從而也無法形成距離。那麼，如何定義普通點集上的連續呢？我們留意到，在度量空間中函數連續的定義裡其實並未直接使用距離的概念，而是使用了鄰域的概念，鄰域基於開集而被定義。如果我們能夠不依靠度量或距離的概念直接定義開集，就可以定義一般點集上的連續性了。因此，如何定義開集是拓撲學的首要關鍵問題。我們知道，微積分中的開區間就是一種開集。有限個開區間取交集仍然是開區間，無限個開區間取並集仍然是開區間，顯然空集和全集也是開區間。我們把開區間的這三條性質抽像出來作為開集的本質特征，從而定義一般點集上的開集。點集上所有的開集組成的集族，我們則稱之為拓撲。我們可以把拓撲理解為開集的集合。我們通過構造拓撲空間來定義開集和鄰域，從而完成了對連續性的刻畫。1.6.1拓撲及拓撲空間設X為非空集合，R為X的子集族，若滿足下列條件：（1） X,∈R；（2）對任意A,B∈R，有A∩B∈R；（3）對任意R1R，有∪A∈R1A∈R；則稱R為集合X的〖=H〗拓撲〖=B〗，偶對X,R為〖=H〗拓撲空間〖=B〗。R中的任素均稱為拓撲空間X,R的開集。有了開集的概念，我們很容易定義鄰域、閉集、邊界等相關概念，從而刻畫連續映射的性質。1.6.2鄰域設X,R為拓撲空間，x∈X。U為X的子集。如果存在一個包含x的開集V包含於

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