了得網醫學_網絡傳染病動力學建模與分析

編輯推薦

《網絡傳染病動力學建模與分析》可供復雜網絡、生物數學、統計物理、統計醫學等方向研究生學習,也可供從事傳染病動力學的科研工作者參考.

內容簡介

群體水平的傳染病動力學研究已經有近百年的歷史, 其建模的基本假設是個體接觸均勻混合, 而實際個體相互接觸是一個十分復雜的社會網絡, 因此, 研究傳染病的傳播與演化動力學有必要考慮個體接觸構成的社會網絡
近十年, 利用復雜網絡來研究傳染性疾病的傳播已取得飛速發展, 《網絡傳染病動力學建模與分析》是將該方面近十年的研究成果加以繫統化完成的, 為讀者提供網絡上的傳染病傳播動力學的基礎知識、前沿動態和研究方法
《網絡傳染病動力學建模與分析》主要介紹傳染病動力學歷史背景, 復雜網絡的基礎知識, 網絡傳染病動力學建模的基本思想和發展動態, 不同網絡結構下傳染病動力學建模與分析技術, 以及網絡傳染病*動力學建模及分析, 細胞自動機傳染病動力學模型. 在寫作過程中, 力求由淺入深, 自成一體, 注重建模思想與方法, 注重網絡拓撲結構, 注重理論分析與應用.

目錄

《生物數學叢書》序前言第 1章引論 1

1.1傳染病動力學建模概述 1

1.1.1傳染病動力學模型的研究意義 1

1.1.2均勻混合傳染病動力學模型基本概念 3
目錄

《生物數學叢書》序前言第 1章引論 1

1.1傳染病動力學建模概述 1

1.1.1傳染病動力學模型的研究意義 1

1.1.2均勻混合傳染病動力學模型基本概念 3

1.1.3傳染病動力學模型的歷史回顧 6

1.1.4現代傳染病動力學模型主要研究方法 12

1.2網絡傳染病動力學模型概述 . 13

1.2.1網絡基礎知識 . 13

1.2.2網絡傳染病動力學的建模思想 32

1.2.3網絡傳染病動力學與均勻混合動力學模型的比較 . .33

1.2.4網絡傳染病動力學模型發展概述 34第 2章網絡傳染病矩封閉動力學模型的建立與分析 . .41

2.1網絡傳染病矩封閉動力學模型的建立 41

2.1.1規則與隨機網絡矩封閉方法 41

2.1.2異質網絡中的矩封閉方法 .52

2.1.3網絡矩封閉傳染病動力學模型的建立 56

2.1.4異質網絡矩封閉傳染病動力學模型建立 63

2.1.5網絡傳染病動力學模型母函數封閉方法 66

2.2規則網絡與隨機網絡矩封閉傳染病模型分析 75

2.2.1規則網絡與隨機網絡矩封閉傳染病動力學模型基本再生數計算 75

2.2.2規則網絡與隨機網絡矩封閉傳染病動力學模型有效再生數計算 79

2.2組逼近模型局部動力學性態分析 83

2.2.4自適應網絡矩封閉傳染病動力學模型分析 86

2.3具有出生與死亡的矩封閉傳染病模型 90

2.3.1具有出生與死亡的 SID矩封閉動力學模型 90

2.3.2具有出生與死亡的 SI1I2D矩封閉動力學模型 96第 3章復雜網絡傳染病動力學模型 102

3.1小世界網絡傳染病動力學模型 102

3.1.1小世界網絡上疾病傳播的 SIR動力學模型 102

3.2無標度網絡傳染病動力學模型 105

3.2.1無標度網絡上的 SIS傳染病動力學模型 .105

3.2.2無標度網絡上的 SIR及 SEIRS傳染病動力學模型 .113

3.2.3無標度網絡上有效傳染率刻畫 120

3.2.4無標度網絡上不同類型傳染病免疫策略 . 128

3.2.5無標度網絡上一些特殊類傳染率的動力學分支問題 134

3.3具有出生與死亡的復雜網絡傳染病動力學模型 137

3.3.1靜態網絡出生死亡傳染病動力學模型 . 137

3.3.2動態網絡出生死亡傳染病動力學模型 . 147

3.3.3動態網絡線性增長 SIR傳染病動力學模型 162

3.4多菌株或多狀態網絡傳染病模型分析 163

3.4.1多菌株 SIS網絡傳染病動力學模型建立及分析 164

3.4.2具有多種狀態轉化的網絡傳染病動力學建模及分析 169

3.4.3多菌株與多狀態網絡傳播動力學建模及分析 .173

3.5有向網絡傳染病動力學模型. .179

3.5.1基於有向網絡的傳染病模型 180

3.5.2基於半有向網絡 (semi-directed networks)的 SIS傳染病模型 . 188

3.6 H1N1網絡傳染病動力學模型 204

3.6.1網絡動力學模型的建立 . .205

3.6.2基本再生數和無病平衡點的全局穩定性 . 207

3.6.3參數估計 210

3.6.4免疫策略的影響 211

3.6.5最終規模之間的關繫 . .212第 4章耦合網絡傳染病動力學模型分析 217

4.1多途徑的網絡傳染病動力學模型 . 217

4.1.1均勻混合與復雜網絡共存的傳染病動力學模型 .218

4.1.2具有媒介傳播的復雜網絡傳染病動力學模型分析 .224

4.2重疊網絡下疾病傳播動力學模型 . 239

4.2.1重疊網絡下傳染病模型的建立 239

4.2.2重疊網絡下基本再生數的計算 255

4.3集合種群網絡傳染病動力學模型 . 265

4.3.1集合種群模型 266

4.3.2異質集合種群網絡中的移動和擴散 267

4.3.3疾病傳播和入侵閾值 . .269

4.3.4入侵閾值之上的傳染病行為 272

4.3.5考慮沿起點 –終點擴散的集合種群網絡 275

4.3.6目的地停留時間具有異質性的集合種群網絡 .278

4.4具有擴散的復雜網絡傳染病模型 . 283

4.4.1復雜網絡上具有反應擴散過程的集合種群模型 .283

4.4.2復雜網絡上具有連續時間的反應擴散過程的集合種群模型 287

4.4.3擴散率對於復雜網絡上集合種群中疾病傳播的影響 289

4.4.4有限規模無標度網絡上由交通流控制的疾病傳播模型 293

4.5性傳播疾病網絡動力學模型及分析 296

4.5.1性傳播疾病網絡動力學模型建立 297

4.5.2基本再生數和邊界平衡點的全局穩定性 . 301

4.5.3地方病平衡點的存在性及穩定性 303

第 5章網絡隨機傳染病動力學模型 310

5.1隨機微分方程相關介紹 310

5.1.1隨機穩定性和隨機分岔 . .310

5.1.2 It.o隨機過程和 It.o公式 312

5.1.3 Fokker-Planck方程 313

5.2均勻網絡上的隨機傳染病模型 314

5.2.1帶噪聲的傳染病模型 . .314

5.2.2隨機穩定性和隨機分岔分析 315

5.2.3數值模擬分析 318

5.3非均勻網絡上的隨機傳播模型 321

5.3.1耦合網絡上的病毒免疫模型 321

5.3.2無標度網絡上的傳染病模型 324

5.3.3基於航空網絡的疾病的傳播 328

5.4隨機對逼近模型. .335

5.4.1馬爾可夫過程 335

5.4.2隨機行為和擴散近似 . .336

5.4.3 SIS對逼近模型的隨機化 338

5.5網絡上的隨機性傳播疾病模型 342

5.5.1單性模型的介紹 342

5.5.2雙性模型的分析 343第 6章細胞自動機傳染病動力學模型 .347

6.1細胞自動機傳染病模型的基本概念 347

6.1.1細胞自動機模型的基本概念 347

6.1.2細胞自動機傳染病模型的構建 352

6.2連續傳染病模型的離散化及細胞自動機仿真 . 358

6.2.1連續傳染病模型的離散化方法 358

6.2.2傳染病動力學模型的細胞自動機仿真 . 364

6.3細胞自動機傳染病模型的逼近方法 370

6.3.1 Chapman-Kolmogorov方程 . 370

6.3.2平均域逼近方法 373參考文獻 .379索引 403《生物數學叢書》已出版書目 405

在線試讀

第 1章引論

1.1傳染病動力學建模概述

1.1.1傳染病動力學模型的研究意義

傳染病 (infectious diseases)是由各種病原體引起的能在人與人、動物與動物或人與動物之間相互傳播的一類疾病 .傳染病學主要是從群體水平研究傳染病在人群中發生、發展和分布的規律 ,以及制定預防、控制和消滅傳染病的對策和措施的科學 [1] .傳染病的發生一般分為散發、暴發、流行及大流行 ,散發 (sporadic)是指疾病發生無規律性隨機發生 ,局部地區病例零星地散在發生 ,各病例在發病時間與發病地點上沒有明顯的關繫 ;暴發 (outbreak)是指在一定時間內 (通常為較短時間內),某地區或單位有較多 (或大量 )傳染病出現 ,發病率大大超過散發水平 ,並在一定時間後趨於平靜 ;流行 (epidemic)是指發病率超過散發水平 ,如果某一地方的發病率長時間維持在一定穩定範圍內 ,稱為地方病流行 (endemic);大流行 (pandemic)是指疾病傳播迅速 ,擴散範圍大 ,群體中受害比例高 .
第 1章引論

1.1傳染病動力學建模概述

1.1.1傳染病動力學模型的研究意義

傳染病 (infectious diseases)是由各種病原體引起的能在人與人、動物與動物或人與動物之間相互傳播的一類疾病 .傳染病學主要是從群體水平研究傳染病在人群中發生、發展和分布的規律 ,以及制定預防、控制和消滅傳染病的對策和措施的科學 [1] .傳染病的發生一般分為散發、暴發、流行及大流行 ,散發 (sporadic)是指疾病發生無規律性隨機發生 ,局部地區病例零星地散在發生 ,各病例在發病時間與發病地點上沒有明顯的關繫 ;暴發 (outbreak)是指在一定時間內 (通常為較短時間內),某地區或單位有較多 (或大量 )傳染病出現 ,發病率大大超過散發水平 ,並在一定時間後趨於平靜 ;流行 (epidemic)是指發病率超過散發水平 ,如果某一地方的發病率長時間維持在一定穩定範圍內 ,稱為地方病流行 (endemic);大流行 (pandemic)是指疾病傳播迅速 ,擴散範圍大 ,群體中受害比例高 .

歷史上傳染病重大事件不斷出現 (圖 1.1.1),曾給人類造成很大的災難 [2, 3] 600年歐洲暴發的黑死病使歐洲當時有一半人喪生 ,死亡率最高時達每天一萬多人 ,到 14世紀 ,歐洲再次遭到黑死病的肆虐 ,此次大約毀滅歐洲三分之一的人口 . 20世紀初暴發的瘧疾和黃熱病威脅到 90多個國家 ,超過世界人口的 36％成為這種疾病的受害者 . 20世紀 80年代暴發的艾滋病已成為世界關注的焦點 ,根據 2010年世界衛生組織統計 [4], 2009年全世界艾滋病已經達到 3330萬人 ,新感染人數達到 260萬人 .在我國歷史上 ,鼠疫、霍亂、天花等頻頻流行 ,瘧疾、血吸蟲病、黑熱病、梅毒等廣泛存在 ,給人民生活帶來嚴重災難 .今天我國傳染病防治已經取得很大成績 ,但仍然面臨著巨大困難 ,根據《2010中國衛生統計年鋻》 [5],中國 2009年甲乙丙類法定報告傳染病發病人數 589.8萬,甲乙類法定報告傳染病發病人數 349.96萬,發病率達到 263.52人/10萬人 ,其中 2009年艾滋病新發病人數 13281人,病毒性肝炎 142.5萬人 ,肺結核 107.6938萬人 ,梅毒 30.6381萬人 .另外 ,隨著當今全球化進程的加速和科技的發展 ,人口在快速流動 ,世界在相互依賴和相互關聯 ,為傳染病的快速傳播提供了可能 ,事實上 ,目前傳染病跨地域的傳播速度比歷史上任何時候都要快 ,世界上任何一個地方發生傳染病 ,在僅僅幾個小時內 ,就可以傳播到其他地區 .僅 2002年到 2007年世界衛生組織證實在全世界範圍內有 1100多起疾病流行事件發生；現在的傳染病 ,不僅傳播速度快 ,而且新病種出現的速度也超過過去任何時候 .自 20世紀 70年代以來 ,新出現的傳染病以每年一種或者幾種的速度被發現 .例如 , 2003年暴發的 SARS, 2005年暴發的高致病性禽流感 , 2009年暴發的甲型 H1N1流行性感冒 (甲型流感 )等.據世界衛生組織 (WHO)報告 ,對人類危害最大的 48種疾病中有 40種屬於傳染病和寄生蟲病 (85％),傳染病也是引起人類死亡的主要原因 .以上這些都表明 ,對傳染病的發病機理、傳染規律、發展趨勢和防治策略研究的重要性日益突出 ,並且也成為當今世界需要迫切解決的一個共同問題 .

圖 1.1.1世界衛生組織 “2007年世界衛生報告 [3]”

目前 ,對傳染病的研究方法主要有四種 [6]：描述性研究、分析性研究、實驗性研究和理論性研究 .描述性研究是按時間、地點及人群的各種特征 (如年齡、性別、職業等 )進行觀察 ,進而確切和詳細地記載疾病或健康狀態的分布特征；分析性研究一般是選擇一個特定的人群 ,對提出的病因或流行因素進一步進行驗證 .實驗性研究是指研究者在一定程度上掌握著實驗的條件 ,主動給予研究對像某種干預措施的研究方法 ,這樣便於掌握事物的變化規律 .理論性研究與前面的研究方法完全不同 ,是以前面的研究結論為基礎 ,進行理論研究 .在理論性研究中一個重要方法是利用傳染病調查所得數據 ,建立有關的數學模型並利用計算機進行仿真 .通過對模型性態的分析和計算機仿真來顯示疾病的發展過程 ,預測疾病的流行規律和發展趨勢 ,分析疾病流行的原因和風險因素 ,並對風險因素進行風險評估及敏感性分析 ,尋求對其進行控制和防治的最優策略 ,為人們防治決策提供理論基礎和數量依據 .

常見的傳染病數學模型主要有基於數據建立的概率統計模型和基於機理分析建立的動力學模型 .對於動力學模型 ,有針對具體疾病的倉室模型 ,也有針對一般傳染病的倉室模型；從使用的數學方法上看 ,有確定性倉室模型 ,如常微分方程模型、偏微分方程模型、時滯微分方程模型、積分方程模型、差分方程模型、脈衝方程模型等 ,也有隨機性的倉室模型 ,如隨機動力學模型、網絡動力學模型 (規則、復雜網絡 )、細胞自動機模型等 .發展趨勢：向具體疾病與確定和隨機混合模型發展 ,向高維繫統發展 .通過動力學模型建立和分析 ,預測疾病流行的最終規模、流行的高峰和最終時間 ,結合統計學方法進行參數估計和敏感度分析 ,根據實際數據預測疾病流行的趨勢 ,並進行預警 .

傳染病的傳播有四種基本特征：病原體、有傳染性、流行病學特征、感染後免疫,以及三個基本條件：傳染源 (病原體在體內生長繁殖並將其排出體外的人和動物)、傳播途徑 (病原體離開傳染源到達易感人群的途徑 )、易感人群 (對某一傳染病缺乏特異性免疫的人稱為易感人群 ).因此 ,建立動力學模型必須考慮這些特征及傳播過程 .

利用動力學方法對傳染性疾病進行建模的一般步驟：

(1)根據具體疾病

,進行傳染病學機理分析 ,主要包括確定易感人群或者動物群體 ,確定傳染源及疾病傳播途徑 ,流行特點等；

(2)確定變量及參數 ,做必要的假設 ,並進行動力學建模；

(3)

對建立的動力學模型進行理論分析 ,確定基本再生數 ,對參數進行敏感性分析 ,以此判斷不同因素對疾病流行的影響；

(4)利用具體的數據對模型的參數進行估計 ,在此基礎上 ,對模型進行檢驗 ,進

而進行預測和預警及干預措施評估 .利用動力學方法研究傳染病的一般流程如圖 1.1.2所示 .

圖 1.1.2傳染病建模一般流程

1.1.2均勻混合傳染病動力學模型基本概念

在傳染病模型裡 ,一般把總人口 N分為易感者類 S,染病者類 I和恢復者類 R.一個 SIRS類模型 ,它表示易感者被染病者傳染成為染病者個體 ,染病者具有免疫後從感染者類移出變為恢復者 .恢復者漸漸失去免疫力後又變為易感者類 (圖 1.1.3).

假設在 t時刻易感者類、染病者類和移出者類數量分別為 S(t), I(t)和 R(t),三者之和等於總人口 N(t),即 S(t)+I(t)+R(t)= N (t),易感者、染病者和恢復者是均勻分布.傳染病模型裡有一個非常重要的項 ,稱之為傳染率 ,它的一般形式為 βC(N) SI.

N

這裡 βC(N)稱為接觸率 (每次接觸必傳染 )即單位時間內一個染病者與他人接觸的次數 C(N)乘以每次接觸被傳染的概率 β. S 是易感者在總人口中所占的比例 ,

NβC(N) NS 是一個染病者在單位時間內傳染病人的平均數量 ,從而在單位時間內所

有染病者傳染的患者總數為 βC(N) SI即傳染率 . C(N)通常有四種不同的形式 .

N 第一種形式為 C(N)= N,總人口數量不大時它是適合的 .此時的傳染率為 βSI,稱之為雙線性傳染率 .第二種形式為 C(N)=常數 ,它適用於性病中的性伙伴的接觸情形 ,記 λ = βC(N),此時的傳染率為 λIS ,稱之為標準傳染率 .第三種形式為

N C(N)= k1 + Nk2N ,它反映了當人口數量 N不很多時接觸數與 N近似成正比 ,然後

隨著 N的增加而逐漸飽和為一個常數 ,此時傳染率為 βN SI = β SI ,

k1 + k2NN k1 + k2N 稱之為飽和傳染率 .第四種形式為 C(N)= 1+ bN + bN √ 1+2bN ,它反映了易感者

和染病者的隨機混合 ,即把易感者和染病者看作分子運動 ,易感者和染病者接觸是一個隨機踫撞 ,顯然當 N很小時 , C(N) ～ bN,當 N很大時 , C(N) ～ 1,也稱飽和傳染率 ,關於該類型的詳細討論見文獻 [7].

圖 1.1.3 SIRS傳染病模型示意圖

在傳染病模型裡 ,一般設染病者在單位時間內恢復到恢復者類的比例為 γ,因而染病者的恢復率為 γI,染病者在單位時間內因病死亡的比例為 α,即因病死亡率為 αI,恢復者類在單位時間內失去免疫的比例為 δ,即恢復者類失去免疫率為 δR,這些項在微分方程裡都是線性項 .當總人口在變化時 ,總人口 N(t)一般滿足連續動力學模型

N'(t)= B(N) . D(N), (1.1.1)這裡 B(N)和 D(N)是 N的連續函數 ,它們取不同的表達形式反映不同的人口動力學情況 .如取 B(N)= bN, D(N)= dN,它表示人口的出生和死亡都與人口的數量成正比 ,比例繫數分別為 b和 d.此時相應的人口動力學模型稱為指數出生和指

數死亡模型 .如取 B(N)= A, D(N)= dN,它表示人口中有一個常數移民率 A和一個與人口成正比的死亡率 dN,相應的人口動力學模型我們稱之為常數移民和指數死亡模型 .取 B(N)= bN (1 . N 引 , D(N)= dN (1 . N 引 ,其中 b稱為出生率

KK

繫數 , d為死亡率繫數 ,而 r = b . d稱為內稟增長率 ,則相應的人口動力學模型稱為滿足 Logistic方程的人口動力學模型

其中 b + 可以理解為在有環境容納量的情況下 ,死亡的增加更有利於出生 ,而

N '(t) = (b . d)N (1 . N 引 . K (1.1.2)

方程 (1.1.2)可以變形為

N'(t) = N (b + dN 引 . N K (d + bN K引, (1.1.3)

dN

K

出生的增加更有利於死亡 .在傳染病中 ,若考慮到因病死亡 ,則相應的人口動力學方程 (1.1.1)變為

N'(t)= B(N) . D(N) . αI. (1.1.4)

有了以上的分析就可以根據不同的傳染率 ,不同的人口動力學以及有無因病死亡等因素建立不同的傳染病模型 .如具有常數出生和指數死亡 ,傳染率是雙線性且無垂直傳染有因病死亡的 SIRS,模型框圖為

其動力學模型為

S' = A . dS . βSI + δR, (1.1.5a)

I' = βSI . (γ + α + d)I, (1.1.5b)

R ' = γI . (δ + d)R, (1.1.5c)

這裡 , A代表單位時間出生的人數 ,即自然出生率 , d是死亡率繫數 , dS是單位時間易感者的死亡人數 ,即自然死亡率 , αI是因病死亡率 , α是因病死亡繫數 , β是傳染率繫數 ,而 βSI是傳染率 ,即單位時間發病人數 , γ是從染病者到恢復者的恢復

繫數 , γI是恢復率 , δ是失去免疫繫數 , δR是失去免疫率 .根據指數分布可計算出 d1 是平均壽命 , γ1 是平均恢復時間 ,1 δ是平均免疫時間 .

基本再生數 (the basic reproduction number)是刻畫傳染病發病初期的一個重要量 ,它表示在一個全部是易感者的人群中 ,進入一個染病者 ,在其病程內傳染的平均患者數 ,通常用 R0代表 .在均勻混合傳染病模型中 ,基本再生數的計算可以用正平衡點 (地方病平衡點 )的存在性或者是無病平衡點的穩定性求出 ,通常方法是基於無病平衡點的穩定性並借助下一代矩

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