章Mathematica 概述

1.1 軟件簡介

Mathematica 是一款科學計算軟件，由美國科學家史蒂芬.沃爾夫勒姆(Stephen Wolfram)
主持的科研小組開發。自1988 年Wolfram Research 公司推出Mathematica

1.0 版本以來，公司對軟件不斷改進，在2008 年發布了7.0 版本，又於2010 年年底推出8.0
版，這也是Mathematica
的版本。有關公司及產品的信息可從官方網站上獲得，地址為：www.wolfram.com 。

Mathematica
初是一個主要用於數學和科技計算的繫統，影響主要限於物理、工程和數學領域。隨著時間的變化，Mathematica
在工程、物理、生物、社會學、藥學、計算機科學和軟件開發等諸多領域得到了廣泛的應用，並已成為許多機構的規範工具。世界上許多重要的新產品在它們的某一設計階段或其他階段都依靠Mathematica
的幫助。Mathematica 還被廣泛地用於教學，從高中到研究生院的很多課程都在使用它。Mathematica
以功能強大、應用面廣、易學易用等優點得到了科研人員、工程技術人員、教師和學生的高度認同。

Mathematica 的主要特點可以概括為以下兩個方面：

1. 集數值計算、符號演算、圖形功能於一身，功能豐富

Mathematica
是一個集成化的數學軟件，不但可以解決數學中的數值計算問題，還可以解決符號演算問題，並且能夠方便地繪出各種函數圖形。

Mathematica 可以完成許多符號演算和數值計算的工作。例如，Mathematica
不僅可以進行多項式的計算、因式分解、展開、三角函數運算、求解方程等初等運算，還能處理微積分、微分方程、線性代數和規劃優化等各類復雜問題的數值計算和符號演算。在數值計算方面，Mathematica
可以進行任意精確度的精確計算，而且與一般的程序設計語言不同，Mathematica
的處理對像不僅限於數值，它還能處理一般的符號表達式，進行各種復雜的符號演算。Mathematica
以符號演算見長，強大的符號演算功能給數學公式的快速準確推導帶來極大的方便，大大提高了工作效率，使許多以前隻能靠紙和筆解決的推理工作可以用計算機處理。例如，求不定積分：∫
x 4 e .2x dx，隻要運行命令Integrate[x^4*Exp[.2x], x]即可。

Mathematica 也有強大的圖形功能，能夠方便地畫出各種函數圖形、美觀的曲

線、曲面，並可以根據需要自由地選擇畫圖的範圍和精確度。例如，要繪制函數圖形：y = e .x cos x，x ∈
[0，π]，隻要運行命令Plot [ Exp[.x]*Cos[x],{x, 0, Pi}] 即可。Mathematica
甚至還可以進行動畫設計。

Mathematica 不僅具有上述這些功能，更重要的是它把這些功能有機地融合在一個集成環境裡。用戶在使用Mathematica
的過程中，可以根據自己的需要在數值計算、符號演算和圖形繪制之間自由地轉換，進行不同的操作，這種靈活性為使用者帶來很大的方便。

2. 語法規則簡單，操作方便，能夠和其他語言交互

和其他高級語言相比，Mathematica 的語法規則簡單，更接近數學運算的思維和表達方式。Mathematica
的命令易學易記，運行也非常方便。用戶可以通過與繫統進行交互式的“對話”來逐個執行命令。在Mathematica
中，一句簡單的命令常常可以完成其他語言很多條語句的工作。例如，解方程：x 4 + x 3. 12 =
0，隻要運行命令Solve[x^4 +x^3-12==0, x] 即可。另外，Mathematica
在數值計算、符號演算和圖形顯示等方面的命令句法非常一致，這個特性也使得其很容易使用。

Mathematica
還是一個很容易擴充和修改的繫統，它的用於描述符號表達式和對其進行計算的一套記法構成了一個功能強大的程序設計語言，用戶可以通過編程或使用程序包讓Mathematica
一次性執行由多個命令組成的程序，完成用戶需要的各種工作。在Mathematica
中，隻需較少的語句就可以完成復雜的運算和公式推導等任務。繫統本身也提供了一批完成各種工作的程序包供用戶使用。

Mathematica 能和其他高級語言，如C 語言等，進行簡單的交互，可以調用C 語言的輸出並轉化為Mathematica
的表示形式，也可以將Mathematica 的輸出轉化為C 語言，在C 語言中甚至可以嵌入Mathematica
的語句。另外，Mathematica 還可以與Mathtype 和Latex 編譯器進行互動，這使Mathematica
的編程更為靈活方便，大大增強了繫統的功能。

自Mathematica 首次發布以來，它的用戶群一直在穩步增長，目前用戶總數以百萬計。Mathematica
已成為許多機構的標準工具, 使用範圍包括美國的大型公司、政府機構以及全球的五十多所大學。就技術面而言，Mathematica
被公認為軟件工程的一個重要成就，涵蓋大量各領域的的原始算法和重要創新，它的每一新版本均重新定義了某些計算領域的發展水平。由於具有獨特的符號體繫結構，自6.0
版本開始，Mathematica
以符號性的動態接口概念為中心，允許快速建立完全的動態接口，交互式操控任意表達式、圖形或其他對像，從而把所有功能結合起來，利於使用大規模的新的語言結構。Mathematica
將動態交互性引入到全新的即時界面，實現了一個前所未有的交互計算方式。Wolfram Research

公司一直致力於產品適用性的創新和突破，在Mathematica 8.0 中又引入了利用自

然語言操縱計算的概念，用戶可以使用自由格式語言輸入，然後進行建模或者創

建原型，終得到一個高性能的獨立程序或者程序庫。Mathematica 8.0 不僅在工

作流程的開始和終端提供了這些增強功能，而且更顯著的是它添加了用於許多新

領域和擴展應用領域的五百多個新函數，大幅度提高了用戶的工作效率。如今，

Mathematica 能做的已經遠超過符號計算，不僅能夠支持64 位技術、高性能計算

以及內置並行程序，還可以提供數學對像的即時 3D 模型，內置圖像處理和分析

功能等。Mathematica 還提供了基因組、化學、氣像、天文、金融、測地學數據的

完整支持，日益成為科學研究不可或缺的工具。

在金融工程領域，Mathematica 扮演著越來越重要的角色。在6.0 版本中，

Mathematica 已經內置金融數據；在7.0 版本中，進一步提供了股票、商品和貨幣

的當前和歷史市場數據，提供金融和經濟數據的程序式和交互式訪問，並支持對

其他數據源的導入；在8.0 版本中，繫統提供了關於資金價值、實際利率、債券、

金融衍生品的數百個與定量研究有關的內置算法，提供即時的交互式金融圖表，

並可顯示內置金融指標。本書試圖幫助讀者學習Mathematica 基礎知識、了解其

各種功能，並熟悉Mathematica 在金融工程中的基本應用，為以後理解復雜金融

建模和運算打下基礎。本書中的Mathematica 命令和語句是按Mathematica 7.0 編

寫的，絕大多數也適用於較為早期的版本。

1.2 Mathematica 的基本使用

1.2.1 啟動和運行

假設在Windows 操作繫統環境下已安裝好Mathematica 7.0，啟動Windows
後，在“開始”菜單的“程序”中單擊Mathematica 7.0，就啟動了Mathematica 程序。主程序會打開一個如圖1
所示的工作窗口(又稱為Notebook) ，繫統暫時取名Untitled-1，直到用戶保存時重新命名為止。

工作窗口實際上是Mathematica 提供給用戶的終端界面，用戶在終端界面上

輸入指令，則Mathematica 的計算引擎――內核(Kernel)在後臺工作，終內核給

出反饋的結果，結果可以是各種格式，如數字、圖形、矩陣或其他形式。

在主工作窗口輸入各種運算表達式或鍵入命令語句， 通過按組合鍵“Shift+Enter
”執行運算。例如，在工作窗口中輸入“5+6”再按“Shift+Enter” 執行這個運算，這時在工作窗口中會顯示如圖2
所示的計算結果。在圖2 中，In[1]:= 與Out[1]= 分別是Mathematica
繫統內核自動賦予的輸入標簽和輸出標簽。如果再輸入第二個表達式，執行計算後，繫統分別將其標識為

In[2]:= 和Out[2]= ，即In[i] 表示第i 次輸入，Out[i] 表示對第i
個計算結果的輸出，它們均由計算機自動給出，不需要使用者輸入。由於內核的運算順序並不一定與指令在工作窗口的實際位置一致，因此，這些標簽可以方便用戶跟蹤內核運算指令的順序。

有時候輸入的指令可能需要很長的計算時間，或者由於不小心造成死循環，
或者用戶意識到某種錯誤，這時用戶可以中斷計算。在Notebook 界面下，Mathematica 計算可以采用鍵盤命令“Alt
+，”來中斷。如果不能中斷，就必須用

“Evaluation”下拉菜單中的“Quit Kernel”命令退出Mathematica
內核計算程序，強行中斷Mathematica 的當前任務，此時工作窗口的內容並不會改變，但所有的計算結果將會從內存中清除。

在Mathematica 的一次運行中，可以同時處理幾個Notebook 。然而，如果使

用的隻是一個內核，那麼在一個Notebook 內改變變量值，將會對所有Notebook

產生作用。

完成各種計算後，可單擊標題欄上的“退出”按鈕，或在菜單“File”中選擇“Exit”，即可結束本次運行。如果要保存下來，以便下次繼續計算，可點擊“File

→Save” 保存文件，文件名以“.nb”作為後綴，稱為Notebook
文件。以後想使用本次保存的結果時可以通過“File”菜單讀入，也可以直接雙擊它，繫統自動調用Mathematica 將它打開。

1.2.2 表達式的輸入

按照Mathematica 的語法要求，把表達式輸入到Notebook
窗口中就可以按“Shift+Enter”組合鍵執行運算了。表達式有兩種基本的輸入方式：一種是直接利用鍵盤進行輸入，另一種是利用輸入面板進行輸入。對於一般的表達式，可以采用鍵盤輸入的方法。例如，要輸入表達式

5 2

+ 8 . 4 × (2 + 3)

2 ，可從鍵盤輸入(5/2+8^2-4*(2+3))/4。

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對於一些復雜的表達式或者帶有特殊字符的表達式，也可以從輸入面板輸入。在啟動Mathematica
後，如果沒有顯示輸入面板，可從“Palettes”菜單中點擊“Basic Math Assistant”或“Classroom
Assistant”，將分別出現如圖3 和圖4 所示的面板窗口。

該面板不僅提供了數字、運算符和常數的輸入，還包括了各種函數以及開方、

積分等各種計算的輸入。它並不僅僅隻是一個輸入工具，對於很多函數，這裡還

能顯示其用法以及與之相關的各種函數信息。如果從“Palettes”菜單中點擊“Special

Characters”，將出現一個供輸入特殊字母、符號的面板，其中，字母和符號都按

類別進行了分類，如圖5 和圖6 所示。

表達式的輸入可以直接用輸入面板來實現，也可以僅用於輸入特殊符號或特

殊計算，隻要單擊對應的按鈕即可輸入。下面通過一個實例來說明其使用方法。

例如，我們要計算定積分∫ 130x 1 + 1dx 的值，輸入該表達式的步驟如下：

(1) 先在工作窗口的空白處單擊鼠標的左鍵，確定輸入的位置。

(2) 單擊輸入面板上“Basic Commands”的

標簽，該標簽下會顯示求導、

求積分的各種命令按鈕，如圖7 所示。再點求定積分的符號

，在工作窗口

中就會出現圖8 所示的輸入提示。