第1講數列的極限 :概念、證明、性質與計算 ………………………………………… 1 
第2講映射與函數 :一些補充觀點 ………………………………………………………15 
第3講函數的極限 :連續性、零點存在定理、介值定理和閉區間值定理 …………25 
第4講導數的概念和運算 …………………………………………………………………37 
第5講導數的應用 …………………………………………………………………………48 
第函數的不定積分與定積分 ……………………………………………………62 
第7講向量值函數與曲線論初步 …………………………………………………………75 
第8講數據的擬合 …………………………………………………………………………85 
第9講人口模型 ……………………………………………………………………………104 
第10講藥劑量模型 ……………………………………………………………………… 114 
第11講軍備競賽模型 …………………………………………………………………… 120 
第12講 SIR傳染病模型和歐拉近似法 ………………………………………………… 132 
第13講無限生態繫統的穩定性 ……………………………………………… 144 
第14講博弈與線性規劃 ………………………………………………………………… 157 
第15講矩陣與行列式的計算 …………………………………………………………… 171 
第16講精神疾病模型與離散有限馬爾科夫鏈 ………………………………………… 200 
第17講向量空間初步 :基底、維數和距離 …………………………………………… 217 
第18講非線性規劃的拉格朗日乘數法 ………………………………………………… 237 
第19講庫存問題與動態規劃 …………………………………………………………… 244 
第20講意見調和與層次分析法 ………………………………………………………… 256 
第21講數據的自組織分類與 K-Means聚類分析 ……………………………………… 264 
第22講有監督學習與支持向量機 ……………………………………………………… 279 
第23講信息論初步 :信息熵與編碼 ……………………………………………… 296 
第24講神經網絡與深度學習 …………………………………………………………… 310 
附錄參考文獻與推薦讀物 ……………………………………………………………… 343 

自序
國內外對數學建模有很多定義 ,數學教育界、數學科研領域和其他學科的科研領域對於數學建模的定義不盡相同。有學生問我 “數學建模到底是什麼 ”,我會跟他講 :如果說數學是在解決問題 ———學科內或學科外的問題 ,那麼數學建模就是想辦法 “多、快、好、省”地解決問題。 
“多”表征泛性 ,即一個模型可以用來解決基本假設相同或等價的一類問題 ; 
“快”表征時間效率 ,即模型解決問題的時間復雜度要盡可能低 ; 
“好”表征解決的效果 ,即模型的結果要有應用價值 ; 
“省”表征空間效率 ,即模型解決問題的空間復雜度也要盡可能低。
當然 ,一般來說 “多、快、好、省”這四件事不可能同時達到 ,這時候就要有一些數學上的協調。協調的策略依賴於解決問題時的觀點 ,不同的觀點在數學上可以理解為不同的公理 ,也就是所謂的 “基本假設 ”。有了基本假設 ,就可以選擇恰當的數學語言承載問題中的數學模式 ,並用適當的數學工具進行求解。求解得好 ,反過來還要用實證例子檢驗 ,通過了就可以拿去用在實事上 ;不通過 ,就得回溯修訂 ,看看是數學用錯了 ,還是模式看錯了 ,還是基本假設不合理。從這個角度來說 ,數學建模是過程、方法和意識 ,而非具體的學科分支。
數學建模在當今社會的重要作用無須多言 ,文明的飛速進步產生了大量的問題 ,這些問題大多需要 “多、快、好、省”的解決辦法 ———小到垃圾桶的擺放大到航天飛機的設計 ,都離不開數學建模。由於社會的普遍需求已經產生 ,所以按照歷史發展規律 ,數學建模的教育理應受到重視和發展。在中國 ,大學數學建模教育已經全面開花 ,但是中學數學建模教育還在初步探索階段。
從2014年年末開始我在高中各個年級嘗試過一些不同的數學建模教育教學方式 ,從大的類別來看 ,無非是兩種 :“學以致用 ”和“用以致學 ”。我們對 “學以致用 ”強調得很多 ,因為歷史上我國數學的發展基本上就是拿數學作為工具來做實效性強的事情。“用以致學 ”提得少,它強調的是通過 “用”的嘗試來了解知識的建立過程 ,從而 “學”到知識的來龍去脈 ———隻有體會到一項理論在用的時候怎麼用好怎麼用不好 ,纔能真正體會為什麼這個理論會被這樣建立。我們的數學課喜歡布置很多的練習題 ,其實這本身並沒有壞處 ,但是如果僅限於做練習 ,這裡面隻有對 “學以致用 ”的訓練 ;當我們追問學生 “通過練習來思考一下為什麼采用這個算法 ?為什麼這個公式這樣建立比較好用 ?”纔會有 “用以致學 ”的效果。
面向建模的數學 
“學以致用 ”和“用以致學 ”不可分割 ,學了東西當然是要拿來用 ,但是用得好不好 ,順不順手 ,是否還能夠有所改進 ,則要看 “用以致學 ”是否扎實。近有個理念十分時髦 ,叫 PBL (即項目式學習 ,或問題式學習 ),其實就是想把 “學以致用 ”和“用以致學 ”結合起來 ,邊用邊學,不僅學到 “是什麼 ”“怎樣用 ”,還要學到 “為什麼不是別的 ”“能不能換一種用法 ”。
本書起名 “面向建模的數學 ”,意味著本書並非隻是本 “數學建模教材 ”,更是一本 “數學教材 ”,隻不過講數學時采用數學建模的觀點 ,以問題的解決作為線索。這樣的設計就是為了能將 “用以致學 ”和“學以致用 ”結合起來。
具體來說 ,本書各講的行文結構大致如下。
首先 ,基於學科內外的自然需求提出一個問題。
其次 ,尋找解決這個問題的辦法 ,在解決的過程中構建相應的數學理論和方法。這中間故意安插了一些 “彎路 ”,就是為了展現 “為什麼這樣構建而非那樣構建 ”。
再次 ,基於構建出的理論和方法 ,解決進一步的問題。這中間必然會遇到現有方法的局限性 ,基於對現有局限性的突破 ,來尋求理論和方法的精進。
後 ,在思考習題中設置基礎和進階問題 (進階問題為標 “*”的題目 ,標“**”的題目難度更大 ),以幫助讀者加深對已有材料的理解 ,並嘗試推廣範圍。
為了更好地與讀者對話 ,本書在每講的正文中安插了較多的圖示 ,也在容易混淆、忽視或關鍵的步驟處設置了思考點。
本書既適合作為數學建模課程教材 ,也適合學生自學 ,還可以用作教師培訓教材。
如果是學生讀者 ,在使用本書前好已經具備這樣一些準備知識 :集合與簡易邏輯、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、數列、平面向量。這大約是現行高一年級所學的課內知識。如果是教師讀者 ,在使用本書時好輔以參考文獻與推薦讀物 (見附錄 ),這些材料可以看作對本書內容的延展和補充。
本書的另一個特點在於容納了關於機器學習基礎方法 (K-Means聚類方法、支持向量機、神經網絡 )的數學基礎材料 ,從中可以體會兩件事 :首先 ,人工智能需要以數學作為基礎 ,神經網絡其實就是幫助小二乘法尋找適當的擬合函數型 ,也和微分方程密切相關 ;其次 ,智能的來源在於幾何 ,正所謂 “啟智維新出幾何 ”。
本書在審校和出版過程中得到了很多人的幫助 ,其中包括首都師範大學的王尚志老師、內蒙古工業大學的崔繼峰老師以及澳門培正中學的何威威老師。尤其要感謝我的愛人張玲。在本書成書期間 ,除了寫作的事情 ,還有包括教學任務在內的大量公務需要處理 ,時間和精力兩方面的壓力往往壓得人喘不過氣 ,如果沒有我的同事兼愛人張玲的支持、督促和鼓勵,本書不可能順利完成。經由這件事情 ,我也深刻地體會到 :唯有愛 ,纔是數學乃至一切科學終的歸宿。
在本書中 ,我嘗試建立數學和真實世界之間的橋梁 ,希望書中的素材可以越來越多地被用在數學日常教學中。由於編著者水平有限 ,書中的疏漏與不足在所難免 ,請讀者朋友不吝指教。
朱浩楠 2019年10月23日於北京