第0章動機1

0.1空間想像給我們帶來的直觀感受1

0.2有效利用線性近似的手段2

第1章用空間的語言表達向量、矩陣和行列式5

1.1向量與空間5

1.1.1直接的定義：把數值羅列起來就是向量6

1.1.2“空間”的形像9

1.1.3基底11

1.1.4構成基底的條件16

1.1.5維數18

1.1.6坐標19

1.2矩陣和映射19

1.2.1暫時的定義19

1.2.2用矩陣來表達各種關繫（1）24

1.2.3矩陣就是映射！ 25

1.2.4矩陣的乘積=映射的合成28

1.2.5矩陣運算的性質31

1.2.6矩陣的乘方=映射的迭代35

1.2.7零矩陣、單位矩陣、對角矩陣37

1.2.8逆矩陣=逆映射44

1.2.9分塊矩陣47

1.2.10用矩陣表示各種關繫（2）53

1.2.11坐標變換與矩陣55

1.2.12轉置矩陣=??? 63

1.2.13補充（1）：時刻注意矩陣規模64

1.2.14補充（2）：從素的角度看67

1.3行列式與擴大率68

1.3.1行列式=體積擴大率68

1.3.2行列式的性質73

1.3.3行列式的計算方法（1）：計算公式▽80

1.3.4行列式的計算方法（2）：筆算法▽87

1.3.5補充：行列式按行（列）展開與逆矩陣▽91

第2章秩、逆矩陣、線性方程組——溯因推理95

2.1問題設定：逆問題95

2.2良性問題（可逆矩陣） 97

2.2.1可逆性與逆矩陣97

2.2.2線性方程組的解法（繫數矩陣可逆的情況）▽97

2.2.3逆矩陣的計算方法▽ 107

2.2.4初等變換▽ 110

2.3惡性問題115

2.3.1惡性問題示例115

2.3.2問題的惡劣程度——核與像120

2.3.3維數定理122

2.3.4用式子表示“壓縮扁平化”變換（線性無關、線性相關）126

2.3.5線索的實際個數（秩） 130

2.3.6秩的求解方法（1）——悉心觀察137

2.3.7秩的求解方法（2）——筆算142

2.4良性惡性的判定（逆矩陣存在的條件）149

2.4.1重點是“是不是壓縮扁平化映射”149

2.4.2與可逆性等價的條件150

2.4.3關於可逆性的小結151

2.5針對惡性問題的對策152

2.5.1求出所有能求的結果（1）理論篇152

2.5.2求出所有能求的結果（2）實踐篇155

2.5.3小二乘法166

2.6現實中的惡性問題（接近奇異的矩陣）167

2.6.1問題源於哪裡167

2.6.2對策示例——提克洛夫規範化170

第3章計算機上的計算（1）——LU 分解173

3.1引言173

3.1.1切莫小看數值計算173

3.1.2關於本書中的程序174

3.2熱身：加減乘運算174

3.3LU分解176

3.3.1定義176

3.3.2分解能帶來什麼好處178

3.3.3LU分解真的可以做到嗎178

3.3.4LU分解的運算量如何180

3.4LU分解的步驟（1）一般情況182

3.5利用LU分解求行列式值186

3.6利用LU分解求解線性方程組187

3.7利用LU分解求逆矩陣191

3.8LU分解的步驟（2）意外發生的情況192

3.8.1需要整理順序的情況192

3.8.2重新整理順序也無濟於事的狀況196

第4章特征值、對角化、Jordan標準型——判斷是否有失控的危險197

4.1問題的提出：穩定性197

4.2一維的情況202

4.3對角矩陣的情況203

4.4可對角化的情況205

4.4.1變量替換205

4.4.2變量替換的求法213

4.4.3從坐標變換的角度來解釋215

4.4.4從乘方的角度來解釋219

4.4.5結論：關鍵取決於特征值的值220

4.5特征值、特征向量220

4.5.1幾何學意義220

4.5.2特征值、特征向量的性質225

4.5.3特征值的計算：特征方程232

4.5.4特征向量的計算▽ 240

4.6連續時間繫統246

4.6.1微分方程247

4.6.2一階情況250

4.6.3對角矩陣的情況250

4.6.4可對角化的情況252

4.6.5結論：特征值（的實部）的符號是關鍵252

4.7不可對角化的情況255

4.7.1首先給出結論255

4.7.2就算不能對角化——Jordan標準型256

4.7.3Jordan標準型的性質257

4.7.4利用Jordan標準型解決初始值問題（失控判定的終結論）264

4.7.5化Jordan標準型的方法271

4.7.6任何方陣均可化為Jordan標準型的證明279

第5章計算機上的計算（2）——特征值算法299

5.1概要299

5.1.1和筆算的不同之處299

5.1.2伽羅華理論300

5.1.35×5以上的矩陣的特征值不存在通用的求解步驟！302

5.1.4有代表性的特征值數值算法303

5.2Jacobi方法303

5.2.1平面旋轉304

5.2.2通過平面旋轉進行相似變換306

5.2.3計算過程的優化309

5.3冪法原理310

5.3.1求值的特征值310

5.3.2求值小的特征值311

5.3.3QR分解312

5.3.4求所有特征值316

5.4QR方法318

5.4.1QR方法的原理319

5.4.2Hessenberg矩陣321

5.4.3Householder方法322

5.4.4Hessenberg矩陣的QR迭代325

5.4.5原點位移、降階327

5.4.6對稱矩陣的情況327

5.5反冪法328

附錄A希臘字母表330

附錄B復數331

附錄C關於基底的補充說明336

附錄D微分方程的解法341

D.1dx/dt = f(x) 型341

D.2dx/dt = ax g(t) 型342

附錄E內積、對稱矩陣、正交矩陣346

E.1內積空間346

E.1.1模長346

E.1.2正交347

E.1.3內積347

E.1.4標準正交基349

E.1.5轉置矩陣351

E.1.6復內積空間351

E.2對稱矩陣與正交矩陣——實矩陣的情況352

E.3埃爾米特矩陣與酉矩陣——復矩陣的情況353

附錄F動畫演示程序的使用方法354

F.1執行結果354

F.2準備工作354

F.3使用方法355

參考文獻357

相信手捧本書的讀者，對“線性代數”這個詞一定不陌生。不管當你回想起這四個字時心裡是什麼滋味，我相信通過本書，你一定會對這門數學（同時可能也是你的工具）產生新的認識。

其實，譯者在初學習線性代數的時候，也經歷過一段曲折的過程。在沒有問題導向的學習方式下，學習的過程既枯燥又效率低下。但是後來在數學專業課的學習過程中，無時無刻不在使用微積分和線性代數作為基本工具，經過這種“居高臨下”的訓練，纔悟出線性代數的本質是什麼。當時很多數學繫的同學都有這樣的感悟：“學過數值代數，纔知道線性代數是多簡單，多純粹。”（本書就會帶領大家快速進入數值代數領域！）工科的讀者可能沒有這樣的經歷，也就漸漸忘記了大一時學過的數學。然而，在信息科學、計算機科學的研究開發領域，向量、矩陣已經是“基本單位”了。如果你正因為“向量、矩陣”而在研究中放不開手腳，或者因為“數值算法的實現”而在工作中畏首畏尾，那麼本書正是為你準備的。關於本書的內容和風格，這裡就不多說了，請看後面的前言吧！

說起來，譯者也是偶然與本書結緣的。在“脫離”數學繫後，寫了不少年的程序，直到譯者赴日本繼續數學學習和研究，無意間見到本書原版，這時纔發現，原來可以通過這樣的方式來講解、學習線性代數。本書不僅直接從本質意義出發對所有核心概念都給予了直觀的解釋，還能帶領讀者“快速直達”數值代數領域！

同樣也是機緣巧合，在發現圖靈公司打算引進本書時，譯者幾乎是一瞬間就決定了要嘗試翻譯本書。在投身翻譯工作之後，纔意識到僅有數學、計算機知識以及日語閱讀能力是遠遠不夠的。因此，在翻譯中可能會有表達不到位的情況出現，歡迎大家批評指正。這裡也要特別感謝圖靈的編輯在翻譯過程中給予的幫助和支持。

正文中原作者多次提到了參考文獻和擴展閱讀書目，但是據譯者所知，原書的參考文獻目前都沒有中譯本。為此，譯者在這裡鬥膽推薦一些中文的參考文獻。

關於第2 章中提到的“張量”“外積”等概念，建議有興趣的讀者參考柯斯特利金的《代數學引論（第二卷）：線性代數》的第6 章“張量”。另外，對於在數學的抽像性和嚴密性上有較高要求的“數學派”的讀者，特別推薦龔昇先生的《線性代數五講》。這本很薄的小冊子，從現代數學的觀點（模理論）出發，對線性空間、線性變換進行了全新的詮釋。由於龔先生書寫得非常精煉，如果閱讀起來感覺喫力的話，不妨看看戈德門特的《代數學教程》。通過我們這本書，讀者可以對線性變換（包括坐標變換）有直觀感受，而通過更高階的閱讀，則能從一般線性群等更抽像的角度去理解“變換”，這對從事信息科學、數據科學等研究工作的讀者來說是頗有裨益的。從[1] 和[2] 中，讀者也可以略微感受到老牌數學強國俄羅斯和法國的數學風格。如果不打算深究“純數學”的話，讀者可以在本書的基礎上，根據自己的需要，參考《數值分析》《矩陣論》等教材。

後，由衷希望大家能從本書中有所收獲，喜歡本書，並推薦給親友。謝謝！

盧曉南

2015 年11 月於名古屋