１．加法
計數———一、二、三、四，或者 １（ｕｎｏ）、２（ｄｏｓ）、３（ｔｒｅｓ）、４（ｃｕａｔｒｏ）（或任何語言）；或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ或 １、２、３、４或任何符號———可能是人類的個理論數學活動．
它是理論性的，因為它脫離了實體，無論這些被計數的實體是什麼．牧羊人首先堆起鵝卵石，每塊石頭表示放
一隻羊出去喫草，然後當羊回到羊圈時，再把石頭一個一個地扔掉，這是在演示一種實用的數學行為———
創建一對一的對應關繫．但這一行為僅僅是實踐，沒有伴隨任何理論．
本書關注的是接下來可能被發現（或發明）的數學活動———加法．
我們 可能認為加法是原始的或簡單的，即使小孩子都能明白．然而，片刻的反思將使你相信，人類必須付出巨大的努力纔能構思出一個抽像的加法理論．在 數字出現之前，人們不能把兩個數相加，並且純數的形成是復雜的，因為它 涉及抽像的邏輯． 你可能想要直接學習數學意義上的加法並且跳過本節的其餘部分，或 者揣測出
一些與數學概念和實踐相關的哲學問題，正如本書的主題所示．那 些對這些哲學問題有鋻賞力的人可以享受以下極其簡短的概述． 也許這種純數的抽像概念是通過計數的經驗形成的．一旦有了一繫列 的數字詞彙，你就可以天數斧頭，第二天數綿羊，第三天數蘋果．過了一 段時間後，你隻需要列舉那些單詞，而不管任何特定被計數的事物，然後你 可能會無意中發現純數的概念．
更有可能的是，算術和抽像的數字概念是同時發展起來的．
一種理解數、計數和加法概念困難程度的方法是看數學哲學，直到今 天，數學哲學還沒有給“數”下一個能被人們普遍接受的定義．古希臘哲學家 甚至不認為數 １是一個數字，因為在他們看來，數字是我們數出來的，沒有人 會對數“１，句號”感到困惑．
除了提到的一類問題外，我們不會談更多非常困難的數學哲學．伊曼努 爾·康德和他的追隨者非常關注加法，以及如何在哲學上證明加法的運算． 康德聲稱有“先驗人造真理”，它們是真實的，我們可以在獲得任何可能的經 驗之前知道它是真的，但它的真實性並不依賴於詞語的純粹意義．例如，語 句“單身漢沒有妻子”是真的，無須任何經驗來保證它的正確，因為它是“單 身漢”的定義“沒有妻子”的一部分．這樣的真理稱為“先驗分析”．康德聲稱， “五加七等於十二”是毋庸置疑的真理，無須任何經驗來驗證它的真實性，但 它是“人工的”，因為（康德聲稱）“十二”的概念與“五”“七”和“加”的概念 在邏輯上並沒有關聯或暗示．通過這種方式，康德可以用算術來證明先驗存 在的人工真理，然後可以繼續考慮其他類似的真理，這些真理後來出現在他 的哲學中．
相反，其他哲學家，如伯特蘭·羅素認為，數學真理都是分析性的．這些 哲學家常常認為邏輯先於數學．這裡還有一種觀點認為數學真理是“後驗” 的，即它們依賴於經驗．這似乎是路德維希·維特根斯坦的觀點．顯然，在喬 治·奧威爾的小說《１９８４》中，統治者們也有這樣的觀點：他們能使戰敗的 英雄堅信二加二等於五．
數學哲學是極其復雜、專業和難以理解的．在 ２０世紀期間，它變得越來 越備受爭議．奎因對分析綜合的區別提出了全面質疑．真理的概念（這個概 念一直是一個很難解決的問題）變得越來越復雜．時至今日，對涉及數字及 其性質的任何事物，哲學家們達成一致的看法並不多．幸運的是，我們不需要選取這些哲學問題，而是去欣賞數學家們發展的一些關於數字的漂亮理 論．我們都對數字是什麼有一些直觀的理解，這種理解似乎就足以發展出關 於數字的既沒有矛盾又十分重要的定理的概念．通過人工或計算機做算術 來測試這些定理，就可以滿意地看到定理是有效的．
２．有趣的求和
本書分為 ３部分：部分需要你懂得高等代數和笛卡兒坐標的基本知 識，除了少數幾個地方，基本上沒有超出這個範圍．在這一部分，我們將提出 以下問題：
- １＋２＋３＋… ＋ｋ的和有沒有一個簡短公式？
- 如何求 １２ ＋２２ ＋３２ ＋… ＋ｋ２的和？
- 我們可以更大膽地提出，若 ｎ為任意整數，求 １ｎ＋２ｎ＋３ｎ＋… ＋ｋｎ的 簡式．
- 如何求 １＋ａ＋ａ２ ＋… ＋ａｋ的和？
- 一個給定的整數 Ｎ是否可以寫成完全平方數、立方數、ｎ次方數、三 角形數、五邊形數的和？
- 顯然，大於 １的整數可以寫成更小的正整數之和．我們可以問：有多 少種方法可以這麼做？
- 如果一個數可以寫成 ｋ個平方數的和，那麼可以用多少種不同的方 法來完成？
我們為什麼要問這些問題？因為這些問題本身是有趣的和有歷史原因 的，這些問題的答案也會產生漂亮的探究方法和令人驚奇的證明． 在本書的第二部分，你需要知道一些微積分的知識．我們將研究“無窮 級數”，它們是無限長的求和，隻能用極限的概念來定義．例如，
１＋２＋３＋… ＝？
這裡的圓點表示把求和繼續下去直到“永遠”．很明顯，這個總數是沒有答案的，因為總數隻會越來越大．如果我們願意，可以把這個和定義為“無窮大”， 但這也隻是上一句話的更簡短的表達方式．
１＋１＋１＋… ＝？
這個和也顯然是無窮大．
該如何計算
１－１＋１－１＋１－１＋１－… ＝？
現在你可能會猶豫．歐拉說它加起來的後結果是 １/２．
１＋ａ＋ａ２ ＋… ＝？ 我們會發現，如果 ａ是一個嚴格處在－１和 １之間的實數，這個問題就有一個 很好的答案．在學習到“幾何級數”時，你可能已經知道這個答案．我們將擴 展代數運算，這樣 ａ就可以為復數． 然後可以問 １＋２ｎ ＋３ｎ ＋… ＝？
這裡的 ｎ是任意復數．這個答案（一些 ｎ值）給出了一個關於 ｎ的被稱為 ζ 函數的函數． 回到前一步，可以添加繫數：
ｂ０ ＋ｂ１ａ＋ｂ２ａ２ ＋… ＝？
這就是引入生成函數概念的背景，這裡的 ａ本身是一個變量．
我們也可以對 ζ函數級數添加繫數並考慮如下級數
ｃ１１ｎ ＋ｃ２２ｎ ＋ｃ３３ｎ ＋… ＝？
它被稱為狄利克雷級數． 這些問題和答案促使我們在這本書的第三部分中定義和討論模形式． 令人驚訝的是，模形式如何將前兩部分的主題緊密聯繫在一起．第三部分 將需要你了解一點群論和一些幾何學知識，並且比前兩部分要復雜一些． 本書的目標之一是解釋模形式，它是現代數論中不可或缺的部分． 在之前的兩本書中，模形式出現得很少，但對結果卻是至關重要的．在本 書中，我們想花些篇幅解釋一些關於模形式的內容，盡管隻會觸及這一非 常廣泛和深奧的主題的表面．在本書的結尾，我們將回顧如何在阿什和格 羅斯（２００６）中使用模形式來聯繫伽羅瓦表示理論並證明費馬大定理，以 及阿什和格羅斯（２０１２）用迷人的 ＢｉｒｃｈＳｗｉｎｎｅｒｔｏｎＤｙｅｒ猜想來描述三次 方程的解． 作為本書的主題，我們從“平方數的和”開始，因為它是一個古老而漂 亮的問題，其解是理解模形式的好方法．現在可以稍微描述一下這個 問題．考慮一個整數 ｎ，稱 ｎ是一個平方數，如果它等於 ｍ２，這裡 ｍ也是一個 整數．例如，６４是一個平方數，因為它等於 ８乘以 ８，但 ６３不是平方數．注意， 我們將 ０＝０２定義為一個平方數，類似的還有 １＝１２．從列出的 ０，１，２，… 開 始，然後依次對每個數進行平方，就很容易列出所有平方數（因為負數的平 方與它的值平方是一樣的，所以隻需要使用非負整數），從而可以列出 所有平方數 ０，１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，１００，… 正如你所看到的，越往後面，平方數之間的間距就越大（證明：相鄰的兩個平 方數之間的距離為 （ｍ＋１）２ －ｍ２ ＝ｍ２ ＋２ｍ＋１－ｍ２ ＝２ｍ＋１，所以距離 會隨 ｍ變大而變大．注意到這點使我們有更精確的信息：相鄰兩個平方數的 差是依順序遞增的正奇數）．如果用一點不合語法的話，我們可以很學究地 就說平方數的列表是“一個平方數的和”的列表。
這裡產生了一個更有趣的問題：什麼是“兩個平方數的和”的列表？你 可以寫一個計算機程序，把這個列表輸出到某個極限 Ｎ，你的計算機程序至 少可以用兩種不同的方式生成列表．首先，列出直到 Ｎ的所有平方數；其次：
方法 １：添加你清單上的所有可能的方式．然後按升序排列答案．
方法 ２：把 ｎ從 ０取到 Ｎ並構成一個環，對每一個 ｎ，把所有平方數 之和小於或等於 ｎ的數對加起來看是否能得到 ｎ．如果能， 把 ｎ加入列表，並繼續轉到 ｎ＋１；如果不能，把 ｎ從列表中 刪除，然後轉到 ｎ＋１．
注：我們定義 ０是一個平方數，所以任何一個平方數也是兩個平方數的和．例 如，８１＝０２ ＋９２．同樣，也允許一個平方數被重復使用，所以任意平方數 的兩倍都是兩個平方數的和．例如，１６２＝９２ ＋９２．
運行你的程序或者手工添加平方數．無論哪種方式，你都會得到一個像 下面的兩個平方數的和的列表：
０，１，２，４，５，８，９，１０，１３，…
正如你所看到的，並不是每一個數字都在列表中，我們也不清楚如何預測給 定的數字是不是兩個平方數的和．例如，是否有一種方法可以在不運行計算 機程序的情況下判斷 １２３４５６７８９８７６５４３２１是否在列表中？現在，你的程序可 能隻需要一轉眼的工夫就能把所有的平方數加到 １２３４５６７８９８７６５４３２１，但是 我們可以很容易地寫出一個足夠大的數字來減慢計算機得出結果的速度． 更重要的是，我們希望對問題有一個理論上的回答，它的證明能使我們對列 表上的數字和哪些不在列表上的數字有所了解． 皮埃爾·德·費馬在 １７世紀提出了這個問題，他一定列出了這樣一 個清單．在 １７世紀時沒有計算機，所以他的清單不可能那麼長，但他能猜出哪個數字是兩個平方數的和的正確答案．在第 ２章中，我們將提供答案， 並用粗略的方式討論證明．因為這本書不是教科書，我們不想提供完整的證 明．而是更喜歡講一個更容易讀懂的故事．如果你願意，你可以參考我們的 參考資料並找到完整的證明． 一旦你對這種問題感興趣（正如費馬那樣，他對數論的研究有巨大的 推動作用），那麼就很容易創造出更多的結論．哪些數是三個平方數的和？ 四個平方數的和？五個平方數的和？這個特定的拼圖列表繼續下去將失 去意義，因為，０作為平方數，任意四個平方數的和也將是五個、六個，或任 何更多個平方數的和，事實上，我們將看到，任意一個正整數都是四個平方 數的和．你也可以問：哪些數是兩個立方數的和？三個立方數的和？四個立方 數的和？等等．然後可以用更高的冪代替立方數． 你還可以問（和歐拉一樣）：任何數都是四個平方數的和．正方形有 ４條 邊．每一個數都是 ３個三角形數的和、５個五邊形數的和嗎，等等．柯西證明 了答案為“是”． 在數學發展歷史上的某個時期，發生了一些非常有創意的事情．數學家 開始問一個似乎更難的問題．而不是隻想知道 ｎ是否可以寫成 ２４個平方數 的和（例如），我們問：有多少種不同的方法可以把 ｎ寫成 ２４個平方數的和？ 如果方法數為 ０，則 ｎ不是 ２４個平方數的和．但是，如果 ｎ是 ２４個平方數的 和，我們得到的信息比僅僅是“是”或“不是”的答案要多．事實證明，這個更 難的問題導致了強大的數學工具的發現，這些工具是非常漂亮的，它們的重 要性超越了關於冪和的難題，它們是生成函數和模形式理論中的工具．這是 本書涉及的另一個主題．
