目錄
第1章天賦還是勤奮
1.1沒什麼特別的人類
1.2難以測量的直覺
第2章想像力是最大的武器
2.1哥貝克力石陣
2.2規天矩地
2.3數字崇拜
第3章數字背後的邏輯
3.1誰更有錢
3.2一一映射
3.3快速計算比賽場次
3.4漢字簡化
3.5基數與序數
第4章區分抽像與還原
4.1抽像的數學處理
4.2生動的數學還原
4.3抽像與還原之爭
第5章文明的進步
5.1古巴比倫數字
5.2古埃及數字
5.3古代中國的算籌
5.4印度人的貢獻
5.5一場生物學制造的意外
第6章背離經驗的科學
6.1相對論的拼圖
6.2缺損棋盤問題
6.3失效的經驗
第7章數學應該怎樣學（I）
7.1邏輯感
7.2一道解三角形題的本質
7.3計算三角函數值的標準做法
7.4“三段式”論證
7.5你知道有幾隻病狗嗎
第8章數學應該怎樣學（II）
8.1結構感知力
8.2回歸求知的本心
第9章史上最大的“邏輯漏洞”
9.1真相是什麼
9.2阿基米德的證明
9.3數學走上神壇
第10章無窮的困境
10.1芝諾悖論
10.2阿基裡斯與烏龜
10.3飛矢不動
10.4理性與感觀
第11章第一次嘗試
11.1伽利略的悖論
11.2抽像與演繹的衝突
11.3伽利略的選擇
第12章無法回避的難題
12.1封閉的疆域
12.2幾何能做的也有限
12.3數學界的思想解放
第13章探尋之路
13.1實數的模型
13.2混亂的狀況
13.3柯西與極限
13.4柯西收斂準則
第14章實數軸的重生
14.1康托爾的實數模型
14.2 1.000等於0.999嗎
14.3堅實的基礎
第15章芝諾悖論的數學終結
15.1可數無窮集合
15.2不平凡的可數集
15.3實數集合不可數
15.4遲到的榮耀
第16章給長度一個交代
16.1長度的數學本質
16.2升級版長度
16.3勒貝格測度
第17章分析學的三條路徑和一種範式
17.1從有限到無窮
17.2從局部到整體
17.3以簡單代替復雜
第18章歸結原則和兩個重要極限
18.1第一個重要極限：
18.2從數列過渡到函數
18.3第二個重要極限：
18.4“收斂速度”可以求出來嗎
18.5怎樣跑贏通貨膨脹
18.6第二個重要極限的證明
第19章連續性的陷阱
19.1狄利克雷函數
19.2無窮振蕩曲線
19.3不可求長曲線
19.4魏爾斯特拉斯函數
第20章微分的前世今生
20.1切線與微分
20.2導數：差商的極限
20.3微分在今天的含義
20.4導數等於微商嗎
第21章自然的數學法則
21.1函數[ex]的特性
21.2指數函數與等角螺線
21.3自然界中的等角螺線
21.4等角螺線與地圖投影
第22章分割的藝術
22.1黎曼積分
22.2性質與實用的平衡
22.3黎曼積分的性質
22.4可積性判定準則
22.5勒貝格積分
第23章微分與積分的統一
23.1面積如何求導
23.2變限積分：連續函數的原函數
23.3牛頓-萊布尼茲公式
23.4增強版微積分基本定理
23.5微分中值定理與積分中值定理的統一
第2函數的世界
24.1方向導數
24.2空間直線有斜率嗎
24.3偏導數——方向導數衍生品
24.4從切線到切平面
24.5梯度
24.6積分也有方向
24.7斯托克斯公式
第25章泰勒展開
25.1微分法
25.2密切法
25.3插值法
25.4冪級數的春天
第26章傅裡葉展開
26.1最小二乘法
26.2正交投影法
26.3三角級數的魅力
第27章最小作用量原理
27.1光的折射定律
27.2笛卡兒的解釋
27.3費馬最小時間原理
第28章最優逼近——泰勒展開的第四張面孔
28.1局部與整體的再一次擁抱
28.2最優逼近多項式
28.3逆矩陣的秘密
28.4最優逼近多項式的極限
第29章最佳近似——超定方程組的現實選擇
29.1純代數的方案
29.2利用費馬定理求極值點的方案
29.3造福人類的CT技術
第30章最小損失——人工智能的決策法門
30.1直線擬合的損失函數
30.2梯度下降
30.3梯度下降法的變體

無窮多個數相加應該怎麼求？0.99999……為什麼等於1？導數和微分有什麼區別？微積分基本定理的本質是什麼？數學到底是一種發現還是發明？
各位讀者朋友，大家好！很高興和大家相逢在《從零開始讀懂微積分》這本書中。本書的基礎是我為北京國家應用數學中心制作的應用數學與數據科學通識基礎課程——《高等數學導覽》的講義。我曾經在“知乎”上寫過一個專欄，名叫《奇葩數學史·中學篇》，寫那個專欄的初衷是想為中學數學的教學內容補充一些課堂上大家可能沒有機會了解的知識背景和專業延伸。專欄完結之後，我收到一些讀者的來信，詢問什麼時候推出大學篇。我想，為北京國家應用數學中心制作的視頻課程可以看作對這個問題的正面回答。
提起高等數學，這可能是大學裡最令人頭疼的一門課程，它有趣卻又難解，深刻卻又復雜，想敬而遠之，它偏偏應用廣泛、無處不在，不管是物理、計算機這樣的理工類專業，還是經濟、管理這樣的社科類專業，都逃不開以高等數學作為進一步學習的基礎。然而，高等數學似乎與我們之前學過的數學完全不同，學著學著就找不著北了；一開始大家都還興致勃勃，向著理解宇宙最深刻奧義的夢想出發，到後來，大部分人都隻能疲於奔命，考研上岸成了最後的願望。
高等數學的主要內容是微積分，我們為廣大數學愛好者準備了這樣一本伴讀手冊，它既是微積分課堂教學的有益補充，也是一次輕松愉快的數學之旅。通過精講一批重要的數學地標和風景，將課本中若干重要的概念、方法及其背景和延伸做一個梳理和總結。它既包含課堂上沒有時間講授的數學通識內容，又包含對一些復雜知識點的細致拆解，以及微積分在現實生活中的實際應用。希望通過對本書的研讀，大家可以對微積分從理論到實踐有一個初步的認識，提高大家學習後繼專業課程的興趣和能力。
坦白講，編寫這樣一本伴讀手冊並非易事，在組織材料的時候，我們需要考慮三個邏輯：一是數學本身的邏輯；二是數學理論發展的邏輯；三是課程講授的邏輯。課程講授的邏輯決定了課程最終的呈現方式，它受課程的目的、目標聽眾、教師的個人偏好等因素影響。盡管情況比較復雜，但大多數數學課程往往是前兩種邏輯的簡單組合。
在高等數學課堂上，我們更多地接觸到的是遵循第一種邏輯的教材，從數列極限講到函數極限，從導數講到微分，從不定積分講到定積分函數微積分函數微積分，從概念引入到性質推導，從定理證明到例題演算，循序漸進。為什麼大家都這麼做呢？因為它清晰準確、易於標準化，適合大範圍應用和推廣，在教育普及的過程中能夠發揮巨大的作用。
隨著時代的發展，這種處理方式也暴露出一些問題。我們經常聽數學老師說：“我現在講的是思路，你們寫答案的時候要反過來寫！”都聽過吧？什麼意思呢？從某種意義上說，數學知識本身的邏輯是一種“反思考”的邏輯，它與人們從“拆解問題”到“組裝答案”的習慣性思考過程是不一致的，掌握起來勢必要克服額外的阻力。從宏觀角度來看，一本教材或一門課程其實也是如此。從定義1、2、3出發，之後是性質4、5、6，然後是定理7、8、9，最後是例題A、B、C、D、E、F、G，這種流水線式的講授方式並不是從思考的邏輯出發的；盡管這種講授方式很準確，卻給學生消化和理解知識制造了障礙。
在這本書裡，我希望遵循思考的邏輯，用30章的篇幅為大家梳理微積分理論中一繫列重要概念和知識點，以及它們的背景和拓展應用，內容共分為以下四篇。
第一篇是數學通識，大家將從這裡了解一些關於數學的基本觀點和事實，如絕大部分人的數學天賦都不怎麼樣，人類發展出偉大的數學能力是因為想像力；數學是一種自洽的語言，在語言的抽像與還原之間需要求得一種恰到好處的平衡；數學的發展依賴經驗，但數學不是經驗科學，數學的本質是求真而非證偽；學好數學可以嘗試把握三個要素：邏輯感、結構感知力、求知的本心。有了這些認識，大家就能對數學進行更加深入的思考。
第二篇是原理鋪墊，我將回答以下兩個基本的問題：高等數學何以稱為高等？高等數學與中學數學相比，是否存在一個明確的分水嶺？如果這個分水嶺真的存在，了解它在哪裡，可以避免大家在一開始就被完全不一樣的思維方式“打趴下”。
第三篇是本書的核心，我將以“局部—整體”為主線討論微積分理論的核心要義和基本框架，包括函數極限、連續性、無窮小及其比較、導數與微分、微積分基本定函數微積分等，大家將充分領略高等數學中最為華美的一篇樂章。
第四篇是微積分的實踐之路，內容包括泰勒展開、傅裡葉展開、最小作用量原理，以及極值問題在數學、工程學、人工智能等領域的應用。例子雖然不多，但力求簡潔深刻，講通講透，希望研讀這個板塊之後，大家會對“高數”有一種完全不同的觀感。
由於本書的基礎是已有課程的講義，盡管做了必要的整理和修訂，部分內容與“知乎”專欄還是存在重合。為了課程的完整性，我將這些重合的內容保留在本書中，希望不會給已經看過專欄的小伙伴們帶來困擾。最後，我還想強調，這是一本幫助大家修習高等數學的伴讀手冊，它不能代替正式的課堂教學，如果大家想在“高數”這門課上取得不錯的成績，看完本書之後記得回到課堂好好學習。
好了，親愛的讀者朋友，歡迎來到《從零開始讀懂微積分》，祝願大家在這裡能夠收獲一份美好的體驗。