為什麼時空有幾何


盡管時空圖、事件圖和2維平面圖明顯存在著細節上的區別，但它們也有一些迷人的相似。這裡存在兩個問題：（1）它們真的是同類事物嗎？（2）“同類事物”是什麼意思？



旋轉的數學（旋轉變換方程）說明了平面存在幾何的事實。有一個不容破壞的有序的距離關繫，任何描述距離的方法都必須與那個基本的幾何實在相容。旋轉數學不過是我們必然遭遇的冰山的一角，幾何纔是那巨大而實在的冰山。



那麼洛倫茲變換呢？它下面也藏著冰山嗎？洛倫茲變換也許隻是事件背後的幾何所決定的一種關繫的描述？這一點還沒有答案，因為數學背後的實在性沒有明確的意義。就算我們有了旋轉的數學，知道它準確描述了不同參照繫（橋上的不同觀測者）所進行的測量之間的關繫，形而上學家也可能會板著臉說，幾何的存在不過是幫助我們記憶旋轉數學的一種精神構造。沒有必要把幾何當成真實的東西。



多數物理學家都沒有耐心去爭論。在平面幾何的情形，“假裝說”幾何不是真實的，就像一個毫無意義的遊戲。但是，為幾何的實在性辯護的，並不全在於像“我知道我看見的東西”那樣的說法，而更多地在於，幾何存在的觀念是非常有用的。它不但幫我們記憶旋轉的數學，還幫我們把握那些數學，發現新的關繫。如果說幾何不是真實的，那麼，它的巨大作用也使它成為真實的了。



當愛因斯坦次提出洛倫茲變換描寫了不同參照繫下事件的坐標之間的關繫時，他沒有特指任何幾何。在1905年建立相對論的原始論文中，愛因斯坦是把洛倫茲變換作為惟一的實在而提出的。後來，閔可夫斯基（Itermann
Minkowski）纔向他指出這些變換可以作為一個基礎的幾何的表達形式，那就是我們現在所說的“事件時空的閔可夫斯基幾何”。閔可夫斯基的幾何基於他定義了一種新的分隔事件的距離，一個結合了時間與空間的距離。在不同的參照繫中，兩個事件可能有不同的時間間隔，也可能有不同的空間距離，但它們的閔可夫斯基距離是相同的。



起初，閔可夫斯基幾何似乎不過是一個有趣的結構，但那結構很快就發揮了作用，“不過是一個結構”的觀點也煙消雲散了。今天，我們普遍認為愛因斯坦的相對論是關於具有閔可夫斯基幾何的事件時空的描述，而洛倫茲變換隻是那個時空幾何裡的一種旋轉。


為什麼時空幾何“彎曲”了


閔可夫斯基引進時空幾何的思想，是一件重要的事情，原因之一是，它讓愛因斯坦用彎曲的時空幾何來描述引力。“彎曲時空”這個詞令人感覺神秘，人們常常躲它遠遠的。然而，至少從某種意義說，引力彎曲了時空的說法，不但能夠理解，而且非常迷人。真正令我們“絕望”的，隻是不能像畫2維空間曲面那樣把彎曲的時空形像而清晰地畫出來。不要指望時空理論家中能產生什麼真能畫4維彎曲時空的大師。我們畫不了。（我想我在這兒說的不僅是我自己。）說到底，那可是時空啊！而且還是4維的！我們是要畫圖的，不過隻是示意性的，通常是一些比喻，有時還可能引起誤會。畫不出彎曲的時空，耽誤了我們對它的理解，但不會限制我們的認識。我們還有數學，而且還有語言。



時空思想首先考慮的是世界線，即代表物體在時間中向前運動的事件的曲線。圖6和圖7是不同參照繫的兩列火車的世界線。兩條世界線的傾角（偏離垂直方向的角度）相同。這意味著它們在單位時間裡改變的距離總是相同的：它們是常速度的世界線。如果在力的作用下，物體就不會以常速度運動。假定在圖1l的時空區域裡存在著強大的電力的作用，為明確起見，我們可以說那電力是隱藏在圖右邊的某個地方的大量正電荷引起的。


帶電體在圖11的區域裡會因為電力的影響而加速
（即改變速度）。速度的改變（加速）在這個時空圖裡表現為世界線的傾向的改變。圖中世界線1是直線，說明物體沒有變化，從而也沒有加速。（它不僅是直線，還是垂直的，意味著物體不僅沒有加速，而且還一直停留在參照繫的同一個地方。）世界線2的形態告訴我們，它代表的粒子一定帶著正電荷，因為它在加速離開隱藏在右邊發生作用的正電荷。同樣，世界線3一定說明了一個負電荷粒子的事件。仔細看看，我們可以發現世界線3比世界線2偏轉更大，它的粒子經歷著更大的加速。世界線2和世界線3可能分別代表質子和電子。它們有大小相同、符號相反的電荷；電子質量比質子小得多，因而它的世界線3的偏轉也嚴重得多。



圖11說明的關鍵一點是，每一條世界線都能告訴我們一些它所代表的粒子的物理性質。現在我們拿它來跟引力作用下的世界線做比較。假定圖12的時空區域存在某個隱藏在圖右邊的巨大物體的引力作用。世界線1，2和3分別代表一隻保齡球、一張薄紗和一個“魔子”。沒有空氣阻力的時候，保齡球和薄紗在重力作用下的加速度是完全相同的；它們以相同的速度落下來。這裡所謂的“魔子”，我指的是“的任何東西”，不管它是什麼，也會以跟球和紗相同的速度下落。



圖12的意義在於，偏轉的世界線說明了引力在這個時空區域發生影響的一切事情；同樣的世界線也描寫了引力對任何物體的影響。愛因斯坦的那個合理觀點是，世界線形態本身--而不是什麼“力”--纔是引力的恰當描述。在愛因斯坦的圖景裡，僅受引力作用的物體隻沿著特殊的世界線運動。這些世界線的細節包含著引力作用的細節。



時空裡的那些特殊世界線是什麼呢？在沒有引力的時空區域（即閔可夫斯基的時空區域），不受其他作用的物體總是以不變的速度在固定方向上運動。它們的世界線是直線。這樣，我們有了特殊世界線的一個例子，它也啟發我們猜想我們需要明白的一般情形。結果證明，直線並不是任何一個幾何都存在的。假如我們想構造具有一切直線性質的曲線，通常是要失敗的。考慮一個尋常的例子（也是一個很好的例子）：理想球形的地球表面。我們能畫出兩條像平行直線那樣處處等距離間隔的曲線嗎？假如我們在任何方向通過任何一點都能畫出一條直線，我們就說自己處在“平直”的空間（或時空）。除此而外的任何情形，都定義為彎曲的。



在彎曲的空間或時空，直線的概念有了簡單的推廣：它是我們能畫出的可能直的曲線。這樣的曲線有一個奇特的名字：“測地線”。如果我們看彎曲幾何的一個微小局部，會發現它幾乎是平直的。如果經過那個小區域畫一條測地線，測地線幾乎是直線。


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