很難簡單概括《平面國》這本書。
它可以是：解釋"維度"概念的科普讀物、腦洞大開的科幻小說、煞有介事的數學童話、劍走偏鋒的精神啟蒙、辛辣諷喻英國維多利亞時代的社會寓言。
這本一百年前橫空出世的小書，通篇在一本正經地胡說八道，散發著濃濃英式幽默，有趣、迷人，令人捧腹。
它啟發過很多大師，很大程度上影響了現當代科學。"平面國"已然成為文化符號。
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作者在平面宇宙設定基礎上，展開細節詳實的"平面國"生活畫卷。平面國的各形狀居民操心自己的國家社會，就像我們操心自己的日常生活。他們住在平面房子裡，通過霧氣和光線識別他人，靠彼此觸摸識別"角度"區分地位。平面國史上還發生通過染色消除階級而引發的大事件，比起空間世界的人類歷史也不遑多讓。
故事的主角，一位體面的正方形先生突然遇到了從三維國前來平面國傳福音的"球"。他決定跟隨這位導師向平面國傳播立體空間的真理，卻無法用平面國居民能理解的語言去解釋高度和上（而不是北）。被人當做瘋子後，他寫出了這部《平面國》。
作為讀者的我們，將在這個故事中獲得上帝視角，得以審視自身，以科學的態度，理解"科學的謙卑"
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***題獻***
寫給所有空間中的居民
特別獻給H·C
本書的作者是一位謙卑的平面國居民
他一開始隻知道兩二維的世界
後來纔有幸被引入三維的空間
作者把這本書獻給天空之國的臣民們
希望本書能激勵你們不斷立下更高的志向
去探索四維、五維、甚至六維的秘密
立體人，你們是比作者更高級的物種
願探索能拓寬你們的想像
並孕育出*少見、*卓越的美德--謙虛
--本書作者正方形

第1章：平面國的性質

我把我們的世界叫做"平面國"。

其實，我們並不真的這樣稱呼我們的世界，我這麼命名隻是為了更清楚地向你們解釋這個世界的本質。各位快樂的讀者，你們能夠生活在立體空間中可真是一件非常幸運的事情。

你們可以把我們的世界想像成一張巨大的紙。在這張紙上，線段、三角形、正方形、五邊形、六邊形以及其他各種圖形都可以自由移動。但是，這些圖形既不能從紙面上浮起來，也不能沉到紙面以下，它們隻能在這張紙所代表的平面中移動（我們平面國的人會說"平面中"而不是"平面上"，因為我們沒有"上"或"下"的概念。我們隻有這一個平面，所有東西都在這個"平面中"）。
平面國中的這些圖形很像你們空間國中的影子--但它們不是虛影，而是邊緣發光的實際物體。如果你們能想像這種情況，就已經基本知道我們的國家以及我國居民大概是怎麼回事了。啊！幾年前我恐怕還會把我們的"國家"說成我們的"宇宙"，但現在我已經有了更深的見解。
相信你們已經意識到，平面國中不可能存在任何你們稱之為"立體物"的東西。但是我敢說，有些讀者肯定覺得，既然平面國中有各種不同的圖形，那麼我們至少應該可以區分三角形、正方形、以及其他形狀吧？
你們要是這麼想可就錯了。事實上，平面國的居民不可能憑視覺區分不同的形狀，因為除了線段以外，我們看不見、也不可能看見任何其他東西。接下來就讓我解釋一下為什麼會這樣。
請各位讀者在你們的空間國中找一張桌子，然後把一枚硬幣放在桌面上。
這時，如果你彎腰俯視桌面，就會看到桌子上的硬幣呈一個圓形。
接下來，請向後退幾步，並逐漸降低視線，直到目光和桌面邊緣齊平。隨著視線的降低，一開始呈圓形的硬幣在你的眼中會變成橢圓形，並且這個橢圓形會變得越來越扁。在這個過程中，你看到的情形越來越接近平面國的居民們每天看到的情形。
終，當你的視點完全與桌面邊緣齊平時，你眼中的硬幣將不再是一個橢圓，而會變成一條線段--恭喜你，現在你已經在用平面國居民的視角觀察事物了。
其實，你放在桌上的東西不一定非得是圓形的硬幣，也可以放三角形、正方形、或者用硬紙板剪出來的任何形狀。不管什麼圖形，隻要你的視角從俯視逐漸變為沿桌面平視，就一定會經歷以上的變化。一旦視線與桌面平行、並且視點恰好與桌子邊緣一樣高，你就會發現你眼中的圖形不再具有二維的形狀，此時任何圖形看起來都是一條線段。下面，讓我來舉一個等邊三角形的例子--在我們的國家中，等邊三角形是受人尊敬的商人。現在，一位平面國的商人在你的桌子上躺好了。
首先，你彎腰俯視桌面，此時商人的樣子會像圖1那樣。接著，你變換視角，不斷降低視線的高度，於是你看到的商人會逐漸從圖1的樣子變為圖2的樣子。後，你的視線基本與桌面平行，此時商人變成了圖3裡的樣子。
不難想像，如果你的視線能與桌面完全齊平的話，這位可敬的商人（即這個等邊三角形）在你眼中就會變成一條線段。在平面國中，我們看到的商人正是一條這樣的線段。
當我在你們的空間國中遨遊時，我聽說你們世界中的水手在航海時也會遇到類似的情況。當你們的水手瞭望遠處地平線上的島嶼和海岸線時，他們常常隻能看到一條連綿不斷的灰色線段。
那些遙遠的陸地實際上可能有著復雜的地形--海灣、海峽，數目不一、形狀各異的凸出和凹進，但遠處的水手無法憑肉眼分辨這些地形（除非此時陽光很強，水手們纔有可能通過光影的投射看出陸地的實際形狀）。
在平面國中，當一位熟人向我們走來，也正像空間國水手眼中的海岸線。平面國沒有太陽或其他光源，因此就沒有影子。因此我們無法像空間國的居民那樣，憑借光影辨別形狀。我們隻會看到對面來者所呈現的線段變得越來越長；而當他遠離我們時，這條線段則會越來越短。這位朋友的實際形狀可能是三角形、正方形、五邊形、六邊形、圓形、或者其他任何你能說得上來的形狀，但在我們眼中他永遠隻能是一條線段，而不可能是任何其他的形狀。
說到這裡，恐怕你們會產生這樣一個疑問：既然所有形狀在平面國居民眼中都是線段，那麼我們究竟要如何把朋友區分開來呢？
你們有這種疑問真是再自然不過了，但我現在還不能告訴你們這個問題的答案。等一會兒我會專門介紹平面國居民的性質，那時我就可以更準確、更方便地回答這個問題了。
現在，讓我們先把這個問題暫時放一放吧。在下一節中，我打算簡略談談我們國家的氣候和房屋的情況。
第2章：平面國的氣候和房屋

在你們的空間國中，指南針上共有東、西、南、北四個方向。在我們的平面國中也是這樣。
由於平面國中沒有太陽或其他天體，我們不可能用你們的方式來判斷方向，但我們自有我們的辦法。
自然規律導致平面國中始終存在一股向南的引力。如果氣候溫和，這種引力是很弱的，隻要健康狀況良好，即使是女人也能輕松地向北走上幾個弗隆。這種微弱的引力雖然多少有點妨礙我們行動，卻能為平面國大部分地區的居民指明方向。
除了引力之外，雨水也能幫我們辨明方向。在平面國中，雨水定期降臨，並且總是來自北方。在城鎮中，我們能靠房屋分辨方向。絕大部分房屋的側牆都沿南北方向修建，這樣屋頂纔能擋住從北方來的雨水。在沒有房屋的鄉村地區，樹干能給我們提供一定程度的方向指引。
總的來說，在平面國中分辨方向並不像你們想像的那般困難。然而平面國的有些地方氣候特別溫和，人們幾乎感受不到向南的引力。在那種地方，我們有時確實會遇上迷失方向的麻煩。
我曾有幾次走在既沒有房屋、也沒有樹木的荒涼平原上，結果完完全全地迷了路。我不得不在原地待上幾個小時，直到天開始下雨，我纔能找準方向繼續前進。
平面國中的引力對健康有力的男性來說算不上什麼大問題，但對年老體弱的人、特別是對嬌弱的女性而言，引力卻可能產生不小的影響，因此紳士們必須接受禮讓婦女的教育。
如果你在街上遇到一位女士，那麼將道路的北側讓給她是紳士們在任何時候都必須遵守的禮儀規範。
可是在有些情況下，給女士讓路並不那麼容易--當你身強力壯走得太快時，或者當你身處那種很難分辨南北的溫和氣候中，都可能出現來不及給女士讓路的情況。
平面國的房屋沒有窗戶。因為對我們來說，不管是屋內還是屋外，不管是白天還是夜晚，不管在任何時候、任何地點，光線都是一樣的。至於這些光線是從哪兒來的，我們也不知道。
"光線的源頭究竟在哪裡？"過去這個有趣的問題常常引起飽學之士的興趣。他們進行了無數次研究，可是沒有一次取得結果。探究這個問題的人都快把平面國的瘋人院擠滿了。
過去，為了阻止人們做這種研究，立法機構向所有探索光源問題的人征收重稅。然而人們依然前赴後繼地研究光源問題，所以近立法機構干脆將光源研究列為嚴格禁止的行為。
其實，我知道這個神秘問題的真正答案--在整個平面國中，隻有我一個人知道！
我在空間國中找到了空間的真相和關於光之來源的理論。可是在平面國中，沒有一個同胞能理解我知道的東西，人們隻會嘲笑我是所有瘋子中瘋的那個。這些痛苦的題外話暫且不表，現在還是讓我們回到房屋的話題上來吧。
在平面國中，常見的房屋是五邊形的，就像下面這張圖中畫的那樣。
此處插入第5頁圖片：
men'sdoor：供男士進出的門
women'sdoor：供女士進出的門
北側的兩條邊--RO、OF--構成了屋頂，屋頂上一般沒有門。房屋的門開在東西兩側：東側的小門供女士進出，西側的那扇大得多的門供男士進出。南側的那條邊上通常也沒有門，這條邊是房屋的地面。
平面國中不允許修建正方形和三角形的房屋。和五邊形相比，正方形的角太尖銳了（等邊三角形的角就更尖銳了）。在我們國家裡，構成無生命物體（比如房屋）的線條比構成男男女女的線條顏色更淺，因此如果一位粗心大意或心不在焉的人突然撞上正方形或三角形房屋的角，此人便會面臨受重傷的風險。
出於上述考慮，在平面國歷史上的11世紀，三角形的房屋就被法律全面禁止了。法律隻允許把防御工事、火藥庫、兵營、以及其它政府建築修成三角形的，因為當局不希望公眾不經考慮就隨便接近這些建築。
那時，正方形的建築在全國各地仍然合法，隻是政府會向修建正方形建築的人征收特殊的稅費。又過了3個世紀，出於公共安全的考慮，當局決定出臺新的規定：在人口超過1萬人的城鎮中，所有房屋都必須至少有5個角。而社會也表現出良好的判斷力，對這項新法積極支持。
如今，即使在鄉村地區，五邊形的房屋也已取代所有其他形狀的房屋。隻有在非常偏遠、落後的農村地區，文物工作者纔能偶爾找到一座正方形的房屋。