目錄
前言
第1章 金融中的反問題 1
1.1 反問題的基本概念 1
1.2 問題的不適定性 7
1.3 期權定價理論與數值方法 10
1.3.1 期權 11
1.3.2 期權定價模型 12
1.3.3 期權定價問題的數值方法 19
1.4 金融中的反問題 26
1.4.1 波動率 26
1.4.2 金融中的反問題 28
1.4.3 基於BS模型的波動率校準反問題 30
第2章 反問題的數值解法 32
2.1 正則化理論與方法 32
2.1.1 一般正則化方法 33
2.1.2 Tikhonov正則化方法 36
2.1.3 Landweber迭代正則化 38
2.1.4 TV正則化方法 40
2.2 化理論與方法 42
2.2.1 化理論 42
2.2.2 梯度型方法 46
2.2.3 Newton型方法 48
2.2.4 信賴域方法 50
2.3 統計反演方法 51
2.3.1 Bayes方法 52
2.3.2 Monte Carlo方法 53
2.3.3 極大似然估計法 53
2.3.4 非參數估計法 54
第3章 歐式期權反問題的Dupire方法與正則化方法 57
3.1 Dupire方法 57
3.1.1 問題的提出 57
3.1.2 Dupire方程 58
3.1.3 數值微分法計算波動率 61
3.1.4 數值試驗 63
3.1.5 結論 65
3.2 變分正則化方法 65
3.2.1 反問題的提出 65
3.2.2 變分正則化方法 66
3.2.3 計算梯度 70
3.2.4 數值試驗 73
3.2.5 結論 79
3.3 迭代正則化方法 79
3.3.1 波動率校準問題 79
3.3.2 Tikhonov正則化方法 84
3.3.3 雙參數的正則化 90
3.3.4 結論 94
3.4 TV正則化方法 95
3.4.1 引言 95
3.4.2 全變分正則化模型 96
3.4.3 解的存在性和優化必要條件 98
3.4.4 離散化及算法 102
3.4.5 數值試驗 106
3.4.6 結論 108
第4章 歐式期權反問題的化方法 109
4.1 信賴域方法 109
4.1.1 問題的提出 109
4.1.2 問題的求解 111
4.1.3 信賴域算法的有限維逼近 115
4.1.4 數值試驗 116
4.1.5 結論 122
4.2 非重組三叉樹模型 123
4.2.1 引言 123
4.2.2 非重組三叉樹定價模型 124
4.2.3 收斂率 128
4.2.4 優化算法 130
4.2.5 數值試驗 135
4.2.6 結論 139
4.3 投影梯度方法 140
4.3.1 反問題模型 140
4.3.2 非單調投影梯度法 144
4.3.3 投影技巧 145
4.3.4 尺度算子的選取 145
4.3.5 波動率曲面的數值試驗 146
4.3.6 結論 151
4.4 Neuberger-梯度型方法 152
4.4.1 波動率反問題提出 152
4.4.2 問題的轉化 153
4.4.3 交替N-梯度速下降算法 158
4.4.4 數值試驗 162
4.4.5 結論 166
第5章 美式期權定價問題及反問題的數值方法 167
5.1 有限差分方法 167
5.1.1 期權定價的隱-顯和顯-隱交替算法 167
5.1.2 期權定價的指數擬合差分方法 175
5.1.3 結論 183
5.2 美式期權波動率校準問題 183
5.2.1 校準問題 183
5.2.2 正則化算法 185
5.2.3 條件和可微性 187
5.2.4 數值算法 188
5.2.5 數值試驗和結論 189
5.3 美式期權重構光滑局部波動率的罰方法 190
5.3.1 引言 191
5.3.2 問題的提出 192
5.3.3 雙三次樣條逼近的正則化方法 193
5.3.4 成本函數Jacobi的數值計算 194
5.3.5 數值方法 195
5.3.6 數值試驗 197
5.3.7 結論 201
第6章 跳躍--擴散模型定價及反問題的數值方法 202
6.1 Kou跳躍-擴散模型定價的隱-顯三階SBDF方法 202
6.1.1 Kou跳躍-擴散模型下的美式期權定價 203
6.1.2 時間步長法及穩定性 204
6.1.3 數值試驗 208
6.1.4 結論 209
6.2 跳躍-擴散模型下單資產的清算策略問題 210
6.2.1 問題的提出 210
6.2.2 問題的轉化 212
6.2.3 離散化求解 213
6.2.4 計算方法 217
6.2.5 結論 222
6.3 跳躍-擴散模型下期權定價方法及參數校準 222
6.3.1 引言 223
6.3.2 指數Levy模型 224
6.3.3 跳躍-擴散模型下期權定價方法 226
6.3.4 參數校準 231
6.3.5 數值試驗 234
6.3.6 結論 239
6.4 跳躍-擴散模型的歐式期權波動率校準問題 239
6.4.1 問題的提出 239
6.4.2 校準問題的正則化方法 241
6.4.3 數值計算的有限差分法和復合梯形公式 243
6.4.4 迭代法求解Euler-Lagrange方程 250
6.4.5 數值試驗 250
6.4.6 結論 258
第7章 短期利率模型參數校準反問題 259
7.1 Hull-White模型中波動率的校準問題 259
7.1.1 校準問題的提出 260
7.1.2 正則化方法 261
7.1.3 數值試驗 266
7.1.4 結論 277
7.2 短期利率模型局部波動率的反演問題 277
7.2.1 局部波動率校準問題 278
7.2.2 線性化方法 279
7.2.3 線性反問題 282
7.2.4 數值試驗 284
7.2.5 結論 290
7.3 短期利率模型參數校準的極大似然方法 290
7.3.1 利率與債券定價模型 291
7.3.2 加權極大似然方法 293
7.3.3 數值試驗 299
7.3.4 結論 299
7.4 非高斯單因子短期利率模型正則化參數估計 299
7.4.1 引言 299
7.4.2 利率與債券定價模型 300
7.4.3 參數估計方法 301
7.4.4 數值算例 305
7.4.5 結論 308
第8章 隨機波動率模型及參數校準反問題 309
8.1 隨機波動率模型 309
8.2 隨機波動率模型下亞式期權的Monte Carlo模擬定價 312
8.2.1 引言 312
8.2.2 基本模型 313
8.2.3 亞式期權定價模型 313
8.2.4 Monte Carlo模擬定價 315
8.2.5 數值計算與分析 318
8.2.6 結論 320
8.3 隨機波動率模型校準的控制逼近 320
8.3.1 問題的提出 320
8.3.2 問題的轉化 322
8.3.3 控制法求解 326
8.3.4 數值試驗 328
8.3.5 結論 333
8.4 隨機波動率模型校準問題的統計方法 333
8.4.1 波動率樣本的構造 334
8.4.2 基於隨機設計非參數回歸模型的波動率估計 337
8.4.3 數值試驗 340
8.4.4 結論 340
參考文獻 341