●章Sturm-Liouville問題的物理背景1
1.1有限長均勻細管的熱傳導問題1
1.2非均勻弦的自由振動問題4
1.3杆的軸向振動與扭轉振動問題6
1.4微博傳輸問題9
1.5一維定態Schr6dinger方程11
1.6KdV方程的Lax對12
第2章Sturm-Liouville問題14
2.1Sturm-Liouville算子及其特征值的定性分析14
2.1.1Sturm-Liouville算子與Liouville變換14
2.1.2Sturm-Liouville算子的特征函數與廣義特征函數17
2.1.3Sturm-Liouville算子特征值的定性分析23
2.1.4預解式與Green函數27
2.2Sturm-Liouville算子特征值的定量分析31
2.2.1基本解的積分方程表達形式31
2.2.2基本解的變換算子表達形式32
2.2.3基本解和m-函數的漸近式45
2.2.4特征值的定量分析50
2.2.5特征值？對應特征函數及規範常數的漸近式55
2.3特征函數繫的完備性與特征展開62
2.4特征值的交錯性與特征函數的振動性65
2.4.1特征值的交錯性65
2.4.2特征函數的振動性66
2.4.3與直和問題特征值的交錯性72
第3章Sturm-Liouville逆問題78
3.1基本78
3.2唯一性的基本定理79
3.2.1Ambarzumian定理79
3.2.2整函數H(A)80
3.2.3Borg-Levinson定理86
3.3部分區間上的唯一性89
3.3.1半逆譜問題89
3.3.2部分譜逆問題90
3.3.3具有相同下標的逆特征值問題99
3.4確定勢函數的封閉性條件100
3.4.1封閉性充分條件100
3.4.2封閉性條件的應用104
3.4.3封閉性必要條件108
3.5直和空間上的逆譜問題116
3.6缺少有限個特征值時勢函數的差異121
3.7逆譜數據問題和逆結點問題136
3.7.1逆譜數據問題136
3.7.2逆結點問題137
3.8勢函數的重構139
3.8.1Gelfand-Levitan方程139
3.8.2由譜數據重構Sturm-Liouville問題147
3.8.3由兩組譜重構Sturm-Liouville問題148
第4章離散Sturm-Liouville問題及逆問題150
4.1Jacobi矩陣150
4.1.1Sturm-Liouville問題的離散化150
4.1.2簡單振動繫統151
4.2Jacobi矩陣的特征值問題153
4.2.1Jacobi矩陣特征值的性質153
4.2.2Jacobi矩陣特征向量的變號數155
4.2.3Jacobi矩陣的m-函數158
4.2.4Jacobi矩陣特素的連續依賴性162
4.2.5與Sturm-Liouville算子的比較164
4.3Jacobi矩陣的逆問題164
4.3.1兩組譜的逆特征值問題165
4.3.2廣對稱情形的逆特征值問題169
4.3.3Jacobi矩陣的逆譜數據問題173
4.3.4Jacobi矩陣的半逆特征值問題178
4.3.5優選和最小特征值的逆問題180
4.3.6關於Jacobi矩陣逆特征值問題的小結與猜想182
4.4逆問題的算子描述183
參考文獻186
附錄A復分析196
A.1整函數的階196
A.2Phragmen-Lindelof定理197
A.3積199
A.4Hadamard因子分解定理201
A.5Mittag-Leffler展式209
A.6指數函數繫的封閉性211
A.6.1Jensen公式212
A.6.2指數函數繫封閉的充分條件213
A.7Herglotz函數215
附錄B雙曲微分方程220
索引224
內容簡介
本書介紹了Sturm-Liouville問題誘導出的常微分算子（Sturm-Liouville算子），及其譜的定性和定量分析、特征函數繫的完備性、按特征函數展開、特征函數的振動性，以及Sturm-Liouville逆問題，包括Ambarumian定理、Borg-Levinson定理、半逆譜問題、確定勢函數的封閉性條件、逆譜數據問題、逆節點問題及勢函數的重構等。詳細討論了特征函數的漸近式、Weyl-Titchmarshm-函數及逆譜問題中的專享確定性。
