了得網社會科學_數學雜談(典藏版院士數學講座專輯)/中國科普名家名作

現在來玩一種新鮮的石子遊戲。
石子隻有一堆，限定石子的顆數是奇數。
拿法也很簡單：甲乙兩人輪流拿，每人每次隻許拿l顆或2顆，不許多拿，也不許不拿。
這麼簡單的遊戲，有什麼奧妙呢？奧妙就在勝負的規則上。這規則是：當石子拿完之後，誰拿到手的石子總數是奇數，誰就是勝利者。
這樣，當你考慮該拿多少石子時，不但要看剩下多少石子，還要看手裡有多少石子。比方說，隻剩下2顆石子時，恰好該你拿，你怎麼做纔能摘取這近在眼前的勝利之果呢？數一數手裡的石子吧。手裡是奇數，你就拿2顆；手裡是偶數，當然拿1顆啦！怎麼找到取勝的訣竅呢？我們已經有經驗了：從*簡單的情形入手研究，是掌握石子遊戲規律的好辦法，也是解數學題的一條基本法則。
隻剩下1顆石子，先拿者勝。這說法對嗎？粗想似乎不錯。可是別忘了，勝負和手中的石子數還有關繫呢！如果你手中有偶數顆石子(沒有石子也算偶數顆石子)，輪到你拿時，隻有l顆石子，你當然勝了。如果不巧，你手中已有奇數顆石子，再拿1顆就成了偶數：而石子總數卻是奇數，你拿到偶數，對方當然拿到奇數而獲勝。
因此，不能把“隻剩1顆石子”的局勢簡單地定性為“先拿者勝”，而應當具體地說成是“偶勝奇敗”——先拿者手中有偶數顆石子則勝，有奇數顆則敗。
如果是2顆石子，先拿者便能控制全局，穩操勝券。道理剛纔已說過了：先拿者手中有偶拿1顆，手中有奇拿2顆。
這樣，“隻剩2顆石子”的情形，可以定性為“奇偶皆勝”。
進一步考慮剩3顆石子的局勢。如果輪到你拿，你千萬不要隻拿1顆；隻拿1顆，對方便面臨“奇偶皆勝”的幸運場面了。如果你拿2顆呢？對方面臨的是“偶勝奇敗”的境地。在剩3顆石子能情形下，兩人手中石子數之和為偶數，你手中石子數的奇偶性和劉方相同，所以對於你，便是“奇勝偶敗” 了。因此，隻有3顆石子的局勢，叫做“奇勝偶敗”。
4顆石子的局面，你當然不能拿2顆，以免對方占據“奇偶瞽勝”的制高點。拿1顆，對方是“奇勝偶敗”。對於你，是不是又可以說是“偶勝奇敗 ”呢？這回不行了。因為你已經拿了一顆石子改變了自己手中石子數的奇偶性，所以對於你也是“奇勝偶敗”。
剩下5顆石子時，你手裡石子數的奇偶性和對方是一致的。如果你是偶數，對方也是偶數。不管你拿1顆或2顆，對方總會陷入“奇勝偶敗”的*境。反之，如果你手中的是奇數，對方也是奇數不管你拿1顆或2顆，都要無可奈何地把“奇勝偶敗”的有利局面拱手讓人。
因此剩5顆石子的定性結論是“偶勝奇敗”，和剩l顆石子的局面相同。
剩6顆石子的局勢會不會又和剩2顆石子的局面一致呢？果然不錯。剩6顆時，兩人奇偶相反。你手中是偶數時，取l顆，對方陷入“偶勝奇敗”的境地；你拿到奇數時，取2顆，對方陷入“奇勝偶敗”的境地！所以剩6顆和剩2顆一樣，是“奇偶皆勝”！是不是要繼續分析還剩7顆、8顆、9顆石子的各種局面呢？看來不必了。剩5顆等於剩l顆，剩6顆等於剩2顆，剩7顆豈不是等於剩3顆了嗎？如此循環，規律不就找到了嗎？是不是真的循環呢？為了討論起來簡便，我們用字母代替語言。字母B代表“奇偶皆勝”(B 是both的**個字母)，0代表“奇勝偶敗” (O，即odd，奇數)，E代表“ 偶勝奇敗”(E，即even，偶數)。
我們已經弄清了，剩下石子為1、2、3、4、5、6顆時，順次出現的局勢是EBOOEB，所以猜想：接下去會繼續循環，成為一組很有規律的排列，即 EBOOEBOOEBOO…… 怎樣從開始的EBOOEB推斷出後面的一串呢？隻要證明下列幾條規律就夠了。
1)若EB前面的字母個數為偶數，EB之後必為O，則BO前面有奇數個字母。
2)若BO前面的字母個數為奇數，BO之後必為O，則00前面有偶數個字母。
3)若00前面的字母個數為偶數，00之後必為E，則0E前面有奇數個字母。
4)若0E前面的字母個數為奇數，OE之後必為B，則EB前面的字母個數為偶數。
一條接一條地應用這4條規律，周而復始，就能證實我們的猜想。
這4條規律證起來並不難。同學們不妨試著分析一下，這是很好的邏輯思維訓練呢！這樣一列符號，後面的每項由前面相鄰的幾項所確定，在數學裡叫做遞歸序列。這裡每項僅僅由前兩項確定，叫二階遞歸序列。由有限個符號組成的遞歸序列，*後一定會出現循環。
牢牢記住EB00這4個字母的順序，隻要你手中石子數的奇偶性符合面臨局勢的代表字母，你便能穩操勝券了。
什麼叫符合？比方說，現在輪到你拿石子了。剩下的石子數目是9，把9 用4除餘1，4個字母中**個是E，你面臨的局勢便為E，E代表偶數。如果你手中石子數恰是偶數，你便能勝利。
類似地，剩下的石子數目被4除餘2時，你面臨的局勢為B，奇偶皆勝！被4除餘3或除盡時，你手中的石子數為奇數時纔有取勝把握。P60-63

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