《老齡化背景下中國養老保險體繫的長壽風險管理理論研究》針對基本養老保險制度和商業壽險中的長壽風險管理問題，采用定量化模型研究的方式，以長壽風險的識別、評估和管理為主線進行研究。

隨著人口平均壽命的延長，長壽風險已成為一種日益嚴重的社會風險，對我國養老保險體繫提出了嚴峻的挑戰，這是“十三五”規劃中民生問題所關注的重點領域。本書針對基本養老保險制度和商業壽險中的長壽風險管理問題，以長壽風險的識別、評估和管理為主線進行研究。首先，從風險識別的角度，研究構建中國人口死亡率預測模型。其次，結合基本養老保險和商業壽險的險種特點和運行機制，分別研究兩者的長壽風險評估方法。最後，從長壽風險的風險控制和風險轉移兩種管理角度入手，分別針對基本養老保險和商業壽險進行研究：從風險控制的角度，針對基本養老保險主要研究延遲退休方案和個人賬戶基金投資策略，針對商業壽險主要研究自然對衝策略；從風險轉移的角度，研究將長壽風險轉移到資本市場，即研究長壽風險證券化方法，針對基本養老保險制度主要研究生存債券、生存互換的設計及定價。本書研究長壽風險管理的成果可為政府部門及保險監管機構提供對策和建議，以期為長壽風險的精算研究提供精算理論及數據支持。 本書可供高等院校的學生、教師、科研人員及相關研究機構的工作者參考。

高建偉，華北電力大學教授，博士生導師，教育部新世紀優秀人纔，北京市優秀人纔。

第1章長壽風險理論研究概述
11長壽風險概述
111長壽風險的定義
112長壽風險產生的原因
113長壽風險的影響
12我國長壽風險管理概況
121延遲退休政策推行現狀
122養老保障體繫的隱患
13**外研究現狀
131死亡率預測模型研究
132長壽風險評估問題研究
133基於風險控制的長壽風險管理
134基於風險證券化的長壽風險管理
14本章小結

第2章長壽風險下的死亡率模型
21趨勢外推死亡率預測模型
211靜態死亡率模型
212動態死亡率模型
22LC模型的參數擬合
221LC模型簡介
222LC模型的參數估計方法
223時間序列k（t）的預測
23基於不確定性理論框架的死亡率預測模型
231什麼情況下概率論不適合？
232不確定生存指數模型
24不確定死亡率預測模型的求解：來自中國生命表數據
25本章小結

第3章長壽風險管理方法研究
31長壽風險對壽險公司經營的影響
311長壽風險對壽險產品定價的影響
312長壽風險對壽險公司利潤的影響
313長壽風險對產品責任準備金的影響
32我國壽險公司長壽風險管理的基本方法
321長壽風險的自然對衝
322再保險
323分紅保險與變額年金保險管理
324證券化管理方式
33基本養老保險計劃中的長壽風險管理方法
331社會統籌中的長壽風險估算方法
332個人賬戶中的長壽風險估算方法
333模擬分析
34本章小結

第4章基於風險控制角度的長壽風險管理
41社會統籌模式下的延遲退休策略研究
411基於個人效用*大化的*優退休年齡模型
412基於*優退休年齡模型的延遲退休決策分析
413計算結果分析
42分數布朗運動下的個人賬戶養老金動態投資模型
421經典養老基金管理模型
422分數布朗運動下的個人賬戶養老金
投資模型
423矩母函數
424仿真模擬
43基於貝葉斯隨機規劃方法的個人賬戶養老金
投資策略研究
431基於貝葉斯隨機規劃方法的投資組合模型
432基於貝葉斯隨機規劃的求解方法
433*優投資策略計算步驟及模擬分析
44基於損失厭惡的個人賬戶養老金投資策略研究
441個人賬戶養老金投資管理分析
442罰函數與線性損失厭惡函數
443基於損失厭惡的投資組合優化模型
444算例分析
45基於兩階段隨機規劃的個人賬戶養老金投資策略
451線性部分信息（LPI）
452基於LPI兩階段隨機規劃的模型
453算例分析
46基於前景理論的個人賬戶養老金區間直覺模糊
多準則投資決策方法
461前景理論
462區間直覺模糊數
463一種新的記分函數
464基於前景理論的區間直覺模糊隨機多準則
投資決策方法
465算例分析
47基於前景理論和雲模型的個人賬戶養老金
投資決策方法
471雲模型
472語言值轉化為雲模型的生成方法
473基於前景理論及雲模型的個人賬戶養老金
投資決策步驟
474算例分析

48商業壽險中的自然對衝策略研究
481長壽風險自然對衝模型
482動態死亡率模型
483隨機利率模型
484算例分析
49本章小結

第5章不確定性理論框架下的養老基金投資策略
51不確定性理論框架下DB養老金計劃的*優
投資組合策略
511隨機金融理論的悖論
512不確定性理論框架下的金融市場結構
513不確定性理論框架下的養老金優化模型
514不確定性框架下養老金優化模型的解析解
515數值運算
52不確定理論框架下DC養老金計劃的*優
投資組合策略
521金融市場的結構
522養老基金流程
523優化模型
524優化原則和*優方程
525優化模型的顯式解
53基於不確定跳躍擴散模型的年金合約*優控制策略
531優化模型
532*優原則和*優方程
533優化模型的顯式解
54基於不確定跳躍擴散模型的DC養老金計劃*優投資
組合策略
541優化模型
542*優原則和*優方程
543優化模型的顯式解
544數值模擬
55本章小結

第6章基於風險轉移角度的長壽風險管理
61概率論與隨機過程框架下的長壽債券的設計及定價
611長壽債券的設計原理和定價方法
612長壽債券的定價設計
613算例分析
62概率論與隨機過程框架下的生存互換的設計及定價
621生存互換的概念
622生存互換產品的設計
623生存互換的定價
624影響生存互換的因素分析
625生存互換產品在中國的市場前景和
存在的問題
63不確定性理論框架下的長壽債券定價設計
631不確定Vasicek利率模型
632不確定的長壽債券定價
633算例分析
64不確定性理論框架下的生存互換定價設計
641不確定的生存互換設計
642不確定的生存互換定價
643算例分析
65本章小結

參考文獻

附錄

第1章長壽風險理論 研究概述 11長壽風險概述 111長壽風險的定義 長壽風險是人們經濟生活中的風險之一，目前尚未有統一的定義，**外學者大多將其定義為由於個人或群體（聚合）的死亡率下降，預期壽命延長，造成養老金不足而產生的風險。本書分別從個體和聚合兩個角度來界定長壽風險。
（1） 個體長壽風險 個體長壽風險是指由於個人的實際壽命高於未來壽命的預期，而導致的養老金儲備不足的風險。個體長壽風險的產生原因主要有：人們並未參加任何養老金計劃，隻依靠個人儲蓄養老；提前退休，過早地使用養老金；自身積累的財富不足或低估自己的預期壽命，積累的財富使用過快。對於個體長壽風險的管理包括強制個人參加**基礎養老金計劃，不提前退休，為退休生活積累充足的財富，積極參加補充性的養老保障計劃。
（2） 聚合長壽風險 聚合長壽風險是由於人口死亡率群體性降低，預期壽命繫統性延長，年金或養老金計劃的提供者的養老金實際支出大於預期支出，管理成本上升，形成巨大的養老金缺口。聚合長壽風險是一種繫統性風險，它是整個養老群體壽命繫統性延長所產生的風險，不可能在該群體內實現風險分散。由於具有群體性，長壽風險的影響也是巨大的，會給社會發展造成嚴重後果。本書主要研究聚合長壽風險。
（3） 長壽風險與人口老齡化的關繫 長壽風險和人口老齡化雖然存在密切的聯繫，但是二者是不同的概念，不能混淆。人口老齡化是人口在年齡結構方面發生變化，具體指某個地區或**老年人口增多，年輕人口減少，老年人口比例提高。它主要是由於人口生育率降低，人口實際壽命延長造成的。按照****的標準，一個地區60歲以上老年人口比例達到10%或65歲及以上老年人口占總人口的7%，則該地區進入老齡化社會。我國2010年人口普查中，60歲以上人口的比例達到1326%，中國已經步入老齡化社會。長壽風險是由於人口實際壽命延長高於預期壽命而導致的財務風險，表現為個人儲蓄不足及**養老金支付困難。一個地區或**的長壽風險是由於養老制度不完善造成的。
綜上所述，人口老齡化和長壽風險存在共同成因，即人口實際壽命延長，生育率降低，老年人口增多，形成老齡化社會，再加上社會養老保障制度的滯後性，造成了社會的長壽風險。
112長壽風險產生的原因 長壽風險是多方面因素共同作用的結果。人口預期壽命延長、社會老齡化以及社會保障制度的滯後性是長壽風險產生的主要原因。
（1） 社會和自然因素 人類社會文明的進步對延長壽命具有巨大的貢獻，良好的自然環境是人們保持身體健康的基本條件。自然環境的優良程度是決定人們身體健康的重要因素，隨著生產力的發展，人們的生存環境發生了巨大改變。雖然目前世界環境遠不如工業革命之前的年代，但是隨著世界各國人們環保意識和健康意識的增強，人類正在打造適合自己生存的生活環境，為預期壽命延長提供了良好的自然環境。和諧的社會環境、良好的人際關繫是人們延年益壽的必要條件。美國心理學教授霍華德·馬丁經過20年的研究發現，影響人類壽命的**因素是人際關繫，由此可見，和諧的社會環境對預期壽命延長是有所幫助的。此外，健全的法律制度和完善的社會保障制度也為老年人獲得基本生活保障提供了強有力的保證。
（2） 宏觀經濟因素 經濟技術的發展為人們的生活提供了經濟保障，是預期壽命延長的*主要因素。隨著生產力的提高，社會經濟迅速發展，生活質量得到改善，預期壽命不斷延長。科學技術的進步也為人民健**活提供了良好的醫療衛生條件，使人口死亡率大幅降低。社會的進步和經濟的發展為人類提供了*加良好的生存環境，抵御災害和疾病的能力提升，人口的平均壽命延長，養老金計劃的支付期大大延長，長壽風險由此產生。
（3） 社會保障制度因素 雖然人口預期壽命延長、老齡化是造成長壽風險的*直接、*表像的原因，但長壽風險的根本成因卻是社會保障體繫相對人口老齡化的滯後性。人口預期壽命延長，養老資源需求大大增加，給養老保險體繫造成了巨大的壓力。傳統的現收現付制養老保障制度在面對龐大的老齡化人口時，會出現嚴重的缺口；**積累制可能面臨嚴重的市場風險，又會失去政府的再分配功能；我國現行的統賬結合模式是一種世界**的養老金混合管理模式，雖然可以在一定程度上彌補前兩種保障制度的不足，但是我國養老金的管理仍處於轉制過渡階段，存在養老金缺口巨大、個人賬戶空賬運行現像嚴重、資金供應不足、管理體制不夠完善等問題。
（4） 逆向選擇因素 金融市場的發展為養老保障體繫提供了發展空間，保險公司已成為養老市場的主要成員。保險公司的養老保險產品是依據一定時期的生命表，計算出平均預期餘命來定價，其生命表是嚴格制定的，不能*改。由於生命表的滯後性，實際死亡率變化會導致精算預期壽命偏離實際值。如果實際值長期大於精算預期值，保險公司將收不抵支，出現長壽風險。而在出現長壽風險的狀態下又往往會出現逆向選擇的現像，即具有長壽可能的被保險人向保險公司投保，原則上為了規避風險，保險公司可以拒*接受申請，但是在預期壽命繫統性延長的情況下，保險公司的客戶群體都是高風險人群。由於這樣的逆向選擇，保險公司不斷接受高風險投保，長壽風險會不斷惡化。
113長壽風險的影響 隨著人口老齡化加深，長壽風險問題將越來越嚴重，對個人、家庭、養老保障體繫乃至社會的發展都會產生不利的影響。
（1） 長壽風險對個人的影響 對於個人來說，實際壽命大於預期壽命，往往會因為財富積累不足難以維持退休後的生活，從而隻能減少退休後的支出，這樣老年人的生活質量將大打折扣。“養兒防老”的傳統養老模式下，對於沒有任何養老保障計劃的老年人，其晚年生活隻能靠子女承擔，然而計劃生育的實施使我國人口結構呈現倒三角形態，獨生子女家庭在養育兒女的同時還必須負擔四位老人的生活資本，對年輕一代形成巨大的家庭壓力。嚴重的通貨膨脹使傳統的“儲蓄型養老”失去意義，即便是老年人參加了基本養老保障計劃，但是日益增長的消費壓力使養老金難以保障老年人退休後的生活。長壽風險嚴重影響個人及家庭的基本生活。
（2） 長壽風險對基本養老保險的影響 我國的基本養老保險是政府強制職工參與的一種養老保障制度，基本養老保險實行“統賬結合”的管理方式，由統籌賬戶和個人賬戶組成，統籌賬戶由政府收支，個人賬戶退休後歸個人所有。“統賬結合”的管理方式是改革後形成的模式，基本賬戶難以維持老題能避免效用函數帶來的缺陷，但該方法也存在不盡合理之處：其以預期收益與實際收益之差的平方作為優化目標，從而導致實際收益超過目標收益的部分也被視為風險，這與現實情況不符，至今這一問題仍未得到解決。此外，在養老基金或壽險基金投資中，尚未發現將長壽風險納入投資組合模型，研究通過投資組合消納長壽風險具有重要的理論意義和實際價值。
134基於風險證券化的長壽風險管理 長壽風險證券化的發展主要源於壽險業對長壽風險轉移的需求。近年來，長壽風險證券化已成為長壽風險管理領域中的重要創新，是壽險證券化中頗為活躍的領域。國外學者和機構對長壽風險證券化的研究主要集中在長壽債券、生存互換和遠期合約等衍生品的設計及定價方面。例如，Blake和Burrows（2001）**提出可以利用生存債券對長壽風險進行套期保值，開創了長壽風險證券化的先河。其後，人們研究了生存互換、q遠期等產品的設計及定價。長壽風險證券化市場通常是非**市場，其定價方法可歸為兩類：**類是風險中性定價方法；第二類是概率分布扭曲（distortion of distribution）定價方法。
風險中性定價方法本質上是基於測度變換，將原來的實際概率測度轉換為虛擬的風險中性測度，進而利用無套利理論進行定價。例如，Milevsk和Promislow（2001）運用死亡險產品和零息債券的資產組合對年金產品進行套期保值。然而，由於年金險業務和死亡險業務的投保人群存在差異，因此長壽風險的**自發套期保值很難實現。其後，Dahl和Mller（2006）將風險中性方法應用於長壽風險套期保值的金融產品定價的研究，但因風險中性測度為虛擬測度，因而在應用中很難進行驗證。Cairns等（2008）將風險中性定價方法應用於死亡率風險證券化產品定價，在理論上得出了較好的結果，但還未能進行實證研究。Li和Ng（2011）運用風險中性定價方法對EIB/BNP生存債券和蘊含的長壽風險進行了定價，為長壽風險的風險中性測度提供了應用案例。Cairn（2013）對生存互換的定價進行了研究，然而由於櫃臺交易的特點，很難獲得生存互換的交易信息。Wong等（2014）在非**市場條件下，分析了生存債券的設計及定價機制和模型，指出生存指數模型的構建是長壽債券設計的難點和關鍵點。目前現有研究中的生存指數大多利用經典的死力模型得到，不能充分體現生存概率的復雜性，沒有將模型的預測能力與計算性質較好地統一起來，導致長壽債券的定價研究與實際應用仍存在一定距離。
概率分布扭曲定價方法實際上是通過概率扭曲，變換概率測度實現了在不**市場中對風險進行定價。例如，Wang（2000，2002）利用概率分布扭曲的方法提出一類Wang定義的扭曲算子，定義為Wang變換，並將Wang變換與資本資產定價（CAPM）模型、BlackScholes期權定價公式進行了比較分析，結果表明Wang變換可以復制CAPM模型和BlackScholes期權定價公式的結果，因此Wang變換適用於金融和保險風險的定價。Lin和Cox（2005）在非**市場下，將Wang變換方法引入巨災死亡率風險定價研究，驗證了Wang變換方法在巨災死亡率債券定價研究中的可行性和有效性。Blake等（2006）在金融期貨發行的成功經驗和失敗教訓的基礎上，提出了死亡率期貨的實現方式，指出死亡率指數的選擇是影響生存期貨成功的關鍵因素。Denuit等（2009）在LeeCarter模型框架下，定義了一種新的死亡率指數，進而運用Wang變換研究了q遠期的定價問題，但其構建的死亡率指數的構造忽略了死亡率的跳躍性特征。McShane和Cox（2012）運用Wang變換對生存債券進行了定價，得出長壽風險的市場價格。Dawson等（2013）在定義一種新的死亡率指數的基礎上利用Wang變換研究了生存互換定價問題，但該Wang變換以及上述學者所用的Wang變換均為單因子Wang變換。單因子Wang變換假設真實分布已知，然而在構造死亡率指數時，隻能通過參數估計得到其分布情況，因此采用單因子Wang時無法規避由參數估計不確定性產生的誤差。針對該問題，Hamenoe和Babner（2015）利用雙因子Wang變換研究了長壽債券定價問題，但並未考慮長壽債券投資者的偏好。
**學者對長壽風險證券化的研究處於初始階段，至今，多數研究還僅處在定性討論和框架設計階段。例如，餘偉強（2006）**引入長壽風險概念，並對長壽風險的生存債券進行了探討。陳秉正和祝偉（2008）對長壽風險證券化的設計及定價機制進行了歸納總結。尚勤（2014）從投資者的視角對歐洲投資銀行和法國巴黎銀行聯合發行長壽債券的失敗案例進行了研究。目前，中國證券市場發展還不完善，如何科學設計長壽風險證券化是一個重要的理論研究問題。
長壽風險證券化實質是利用金融衍生品定價理論和生存指數模型研究長壽定價問題，因為金融衍生品定價理論已日臻完善，目前**上對於長壽風險證券化的研究主要是研究生存指數。在定價方法上，Wang變換比風險中性定價方法*具有優勢。Wang變換分單因子和雙因子兩種方法，雙因子Wang變換方法可以降低由參數估計不確定性產生的誤差，可克服單因子Wang變換方法的不足。
14本 章 小 結 本章從長壽風險的定義、產生的原因及影響等方面對長壽風險進行了分析。結合我國延遲退休政策的現狀，分析了現行養老保障體繫存在的隱患，對我國長壽風險的管理概況進行了梳理，分別從死亡率預測模型研究、長壽風險評估問題研究、長壽風險控制和長壽風險轉移四個方面對**外研究現狀進行了深入分析。
第2章長壽風險下的 死亡率模型 死亡率的預測不僅對於人口科學的研究十分重要，同時也是人壽保險產品定價、養老產品定價和養老金財務計劃的關鍵部分。隻有依賴較為準確的未來死亡率預測，纔能推測出未來人口的變化情況，為社會保障部門和保險公司提供依據。自**個死亡率預測模型出現以來，人類在關於死亡率的研究道路上就沒有停止過腳步。在世界各國，依據過去的經驗數據和模型對未來死亡率做出的預測大多低於實際結果。死亡率的降低和預期壽命的延長，特別是死亡率的非預期性降低，給養老金制度安排和養老年金財務核算帶來無法預期的財務壓力。死亡率預測作為養老金財務規劃的基礎，對政府養老金制度、雇主職業年金、保險公司的團體和個人養老金業務等都有重要的影響，關繫到各類養老計劃的財務安全和可持續發展，因此，人口死亡率的準確預測對經濟社會的持續穩定發展，顯得尤其重要。
預測人口死亡率的模型主要可以從生物醫學、社會統計和精算三個方面分為三類：**類是基於生物醫學進展的模型；第二類是基於社會統計領域的因果因素模型；第三類是趨勢外推模型。死亡率預測模型的體繫如圖21所示。
死 亡 率 模 型1基於生物醫學進展的模型 2因素因果模型微觀因素模型弱點模型 機體老化模型 DNA修復模型 宏觀因素模型 3趨勢外推模型靜態死亡率模型De Moivre模型 Gompertz模型 Makeham模型 Weibell模型 動態死亡率模型離散時間死亡率模型LeeCarter模型 LeeCarter模型擴展形式 年齡—時期—隊列（APC）模型 連續時間死亡率模型短期死亡率模型 遠期死亡率模型 死亡率市場模型 圖21死亡率模型分類示意圖 **類模型主要考慮重大醫學和生物學發現對人類壽命延長的貢獻。第二類模型體現了社會經濟因素，主要是在死亡率與社會經濟水平因素之間建立回歸等統計計量關繫。該類模型包含各種外部信息因素，把死亡率分解成各個獨立的部分，進而對每個部分單獨進行預測，*後歸總得到死亡率的預測值。該類模型涉及流行病學和生物醫學研究，除了性別、年齡因素外，模型會使用各種指示變量來描述健康、生活方式、衛生保健、生存環境、社會支持及社會經濟狀況。這些因素和變量可以分為微觀變量（影響個體生存的因素）和宏觀變量（影響社會群體生存的因素），從而因果因素死亡率預測模型可被分為微觀因素死亡率模型和宏觀因素死亡率模型。微觀因素死亡率模型主要運用於個體老化過程和疾病過程等方面的研究，是從個體角度去探尋與死亡率相關的因素。Yashin曾介紹過一些個體老化與死亡率相關聯的模型，如弱點模型、機體老化模型和DNA修復模型等。該研究是依賴隨機變換個體生存機會的協變量對被觀察者和沒有被觀察者的影響建立模型的，這樣纔能結合弱點的老化模型進行死亡率的預測。微觀因素死亡率模型中也含有許多用於描述發病率的，如傳染病發作及蔓延模型、PHM（Population Health Model）模型和莫頓隨機風險因素變化模型等。微觀因素死亡率模型對數據要求過高，很少應用於實際死亡率預測中。宏觀因素死亡率模型主要是從一個社會群體的角度去探尋對死亡率產生變化的影響因素。該類模型通常為統計回歸模型，也有運用時間序列把死亡率指示變量作為非獨立變量，吸煙行為、受教育程度、收入作為協變量，這樣的模型將*加**。但是需要注意的是，一些風險因素之間是有相互影響的，如吸煙行為與身體素質指標、飲食習慣與血壓、經濟收入與受教育程度等，所以在考慮這些風險因素對死亡率的影響時往往會高估各風險因素的作用。
第三類模型屬於精算類型，趨勢外推死亡率預測模型主要通過對過去的死亡率數據的分析建模，外推未來的死亡率，其基本假設是過去的死亡率數據包含了未來死亡率變化趨勢的信息。趨勢外推模型是我們真正關心和重點研討的，其研究進展和實踐價值也是相對比較有成效的，近幾十年來興起的隨機死亡率預測模型的研究進展尤為突出，很多**的統計理論和方法不斷被引入該領域，給該領域帶來了***的發展空間。
21節將詳細介紹第三類趨勢外推死亡率預測模型的相關研究進展。此外，由於高齡人口樣本數據少，死亡率預測計算的結果可信度低，采用傳統的死亡率外推方法容易產生偏差，高齡人口死亡率的預測是不容忽視的難題，因此也特別補充了幾種高齡人口死亡率預測模型。22節將詳細介紹LeeCarter模型的四種參數估計方法。23節將構建基於不確定性理論的生存指數模型。24節則將給出不確定生存指數模型的求解算例。
21趨勢外推死亡率預測模型 趨勢外推死亡率預測模型主要是基於歷史死亡率數據包含未來死亡率持續變化趨勢的基本假設，運用歷史的死亡率數據，構建對未來死亡率的預測模型。從是否考慮時間因素的角度來看，趨勢外推死亡率預測模型主要可分為靜態死亡率模型和動態死亡率模型兩種。本節將分別介紹幾種常用的靜態、動態死亡率預測模型。
211靜態死亡率模型 靜態死亡率模型假設死亡率不隨時間的變化而變化。*早的靜態死亡率模型是Abraham de Moivre提出的直線死亡率模型，即De Moivre模型，它是**個連續死亡率模型，模型假設死亡率服從均勻分布，即隨著年齡的增長，死亡概率呈現直線變化，這種假設顯然是不切實際的。Compertz提出了指數Compertz模型，擬合效果較好，得到了廣泛的應用。Makeham對Compertz模型進行改進，加入了背景死亡率的因素。Weibell提出了死亡率的冪函數模型。
1De Moivre模型 De Moivre模型也稱為均勻分布模型，由Abraham de Moivre於1724年提出，是表示死亡率模型的**個連續性模型。模型假設死亡在人的整個壽命中服從均勻分布且生存概率是年齡的線性函數。De Moivre模型如下所示： F（x）=1w-x，0≤x≤w（21） 其中，F（x）表示x歲的人的死亡概率，w表示極限年齡。我們知道該模型假設死亡在人的整個壽命中服從均勻分布是不符合現實情況的。
2 Gompertz模型 自1825年Benjamin Gompertz提出指數Gompertz模型以來，由於其對死亡率數據擬合的效果很好，一直備受推崇，Gompertz模型甚至被稱為Gompertz死亡率法則。盡管Bogaarts研究表明應用該模型預測死亡率使40歲以下人群的死亡率被低估，但是作為迄今為止*有影響力的死亡率預測模型之一，該模型一直被廣泛應用。
u(x)=Bcx（22） 其中，u（x）為x歲的人的死亡率，B和c為模型參數。
3 Makeham模型 Makeham於1867年對Gompertz模型進行了修正，在模型中加入了一個常數項，這個常數項通常被稱為背景死亡率。Makeham模型如下所示： u（x）=A+Bcx（23） 其中，u（x）為x歲的人的死亡率；A為常數項，也就是加入的背景死亡率。
4 Weibell模型 1939年，Weibell給出了死亡率的冪函數形式，它是一個具有靈活形式的死亡率模型。該模型*早用於機器設備由於損耗而產生故障的情況，其形式如下： u（x）=rθxθ（24） 其中，u（x）為x歲的人的死亡率，r和θ為模型參數。之所以說Weibell模型的形式靈活，是因為當θ>1時死亡率是遞增的；當θ=1時死亡率是不變的；當θ<1時死亡率是遞減的。
綜上所述，靜態死亡率模型都是從參數出發，依據死亡率經驗數據，擬合不同的數學或統計曲線來描述死亡率變化的趨勢，這種方法沒有考慮死亡率在時間上變化的不確定性。近20年來，陸續有學者提出動態的隨機死亡率模型，主要分為離散時間隨機死亡率模型（discretetime stochastic mortality models）和連續時間隨機死亡率模型（continuous stochastic mortality models），廣泛用於對未來死亡率的預測。
212動態死亡率模型 動態死亡率模型是依據死亡率歷史數據的變化，考慮了死亡率數據隨時間變化的不確定性，運用時間序列的分析方法，提取時間因素對死亡率的影響，預測未來死亡率的隨機變動。在通過隨機不確定性推算未來的趨勢時，動態模型不必假設未來的變化遵循歷史數據的變化趨勢。時間序列模型可能是隨機預測模型中*復雜的技術，應特別指出的是，具有很長時間觀測點的時候，時間序列模型對死亡率的擬合和預測效果*好。目前，已有很多研究運用時間序列模型推算未來死亡率，本節將具體介紹幾種常用的動態隨機死亡率預測模型。
2121離散時間隨機死亡率模型 1 LeeCarter死亡率模型 LeeCarter死亡率模型（簡稱LC模型）被**為隨機預測方法中*典型的一個，也是死亡率預測應用*廣泛的動態模型之一。LC模型是Lee和Carter在考慮到死亡率變動的不確定性及死亡率變動與年齡、時間的相關性後，於1992年對1900—1989年美國人口死亡率數據進行分析的過程中提出的一種動態死亡率模型。LC模型的主要特征是對數表達形式和時間序列模型預測方式。該模型簡潔，擬合效果好，揭開了死亡率預測研究的新篇章。雖然*初該模型的提出是針對美國的人口死亡率，但是大量相關研究表明，該模型同樣適用於其他**的死亡率。因為其預測效果的可靠性，LC模型死亡率預測結果從此成為美國統計局對人口死亡率預測的基準。
LC模型考察了年齡和日歷年兩種指標變量，是一種時間序列趨勢外推模型。該模型的主要思路是將年齡別的死亡率的變化分解成兩個部分：一個是隨著時間而變化的時間因子；另一個是不隨著時間而變化的年齡因子。模型的公式為 mx（t）=exp［αx+βxk（t）+εx（t）］或ln（mx，t）=αx+βxk(t)+εx(t)（25） 其中，x表示x歲的人群；mx（t）表示在t時刻年齡為x歲的人群的中心死亡率，是死亡人數與平均年人數的比值；k（t）為時間因子，主要是描述t時刻死亡率水平的變化，反映對應年份死亡率的相對影響強度，即死亡率受時間的影響程度；αx為年齡因子，是依賴年齡因子的參數，主要是描述死亡率年齡模式的時間趨勢，反映死亡率受年齡變化的影響，它是年齡別死亡率取自然對數以後的平均值；βx為對數死亡率的時間變化繫數，從模型形式中得出它是k（t）的繫數項，反映該年齡組的對數死亡率對時間因素的敏感度，主要描述各年齡別死亡率隨時間t的變化；εx（t）表示在t時刻x歲死亡率的殘差，即為隨機擾動項或者誤差項，反映與年齡相關的其他歷史影響，它的均值為0，方差為σ2s。
雖然LC模型被廣泛應用於死亡率預測，但仍然有其缺陷性：①模型是單因素的；②通常用（x）平均死亡變化率測度年齡效應βx，由於βx還可以確定（x）未來死亡率的波動水平，從而不能消除未來死亡率不確定性和死亡率變化率之間的相互影響；③原始的LC模型中年齡效應βx缺乏光滑性。數據分析表明，如果年齡效應βx缺乏光滑性，則與獨立同分布標準正態假設相矛盾。
2多因素年齡―時期模型 2003年，Renshaw和Haberman提出了多因素年齡―時期模型（簡稱LC2模型）： mt，x=exp［αx+β（1）xκ（1）t+β（2）xκ（2）t］（26） 其中，κ（1）t和κ（2）t為相依的時期效應。
3 年齡―時期―隊列（ageperiodcohort）模型 年齡―時期―隊列模型，簡稱APC模型，*早由Frost（1939）提出並應用於結核病的分析研究中。其中，年齡（age）效應指的是不同年齡組之間的變化，這些年齡組反映生理變化、社會經驗和地位變化等；時期（period）效應指的是隨時間的變化；隊列（cohort）效應指的是橫跨不同出生年的人之間的變化。Greenberg（1950）**將年齡、時期和隊列三個因素量化，並采用統計學上的廣義線性模型來描述。2006年，Debon，Martinez和Montes用APC模型預測西班牙、瑞典和捷克三個**人口的死亡率變化，取得了良好效果。模型公式為 lnqx（t）1-qx（t）=αx+k（t）+γt-x（27） 其中，qx（t）表示t時刻x歲的人的死亡概率，αx表示年齡效應，k（t）表示死亡年效應，γt-x表示出生年效應。
APC模型有其自身的缺點：APC模型一般假設年齡效應、時期效應與隊列效應兩兩相互獨立，這與實際是有一定衝突的。例如，從統計角度看，時期效應考慮了人口健康狀況、醫療服務等同時代因素，隊列效應量化了戰爭、吸煙習慣等歷史因素，顯然時期效應和隊列效應都會影響死亡率改善，死亡率改善也必然影響年齡發生變化。因此，APC模型用於死亡率擬合和預測的適用性還需要進一步的研究。
4 RenshawHaberman出生年效應模型 2006年，Renshaw和Haberman對LC模型進行了改進，加入了出生年效應。我們將該模型稱為包含出生年效應的LC模型，其公式為 mx（t）=exp［αx+β（0）xτt-x+β（1）xk（t）+εx（t）］（28） 其中，t-x表示出生時的年份，則τt-x表示加入的出生年效應；β（0）x為依賴出生年因子的參數，主要是用來描述當出生年因子變化時，各個年齡組死亡率相對變化的繫數。當β（0）x=0時，模型就回歸到了初始的LC模型。
5RenshawHaberman隊列效應模型 Renshaw和Haberman（2006）*早提出了考慮隊列效應的隨機死亡率模型： mt，x=exp［αx+β（1）xκt+β（2）xγt-x］（29） 其中，t-x表示出生年，γt-x表示隊列效應，κt表示時期效應。在實際中，RenshawHaberman隊列效應模型進行數據模型的似然函數可能不止一個，即穩健性較差。
2122連續時間隨機死亡率模型 一些學者借鋻金融領域廣泛應用的連續模型，提出了類似於遠期利率模型和市場利率模型的隨機死亡率模型，即連續時間隨機死亡率模型。CairnsBlackDowd（2006）提出了三種常用的連續時間隨機死亡率模型：①短期死亡率模型；②遠期死亡率模型；③死亡率“市場”模型。
1短期死亡率模型 短期死亡率模型是比較成熟的新型模型，它是關於年齡x瞬時死亡率μ（t，x）的一維模型，其形式如下所示： dμ（t，x）=a（t，x）dt+b（t，x）TdW～（t）（210） 其中，a（t，x）表示漂移項，b（t，x）表示n×1維的向量，W～（t）表示風險中性測度Q下的n維標準布朗運動。在無套利市場中的風險中性生存概率如下所示： pQ（t,T,x）=Eexp-∫T0u（u,u+x）du|Mt（211）年人養老金支付，隻能暫時以在職職工個人賬戶資金補充不足的部分。長壽風險的出現使統籌賬戶養老金實際支付大於預期支付，進一步加劇了基本賬戶收不抵支的狀態。個人賬戶難以做實，養老金將長期存在資金缺口，這將失去“統賬結合”管理模式的優勢，養老保險制度改革的進度也將受到影響。
（3） 長壽風險對壽險業發展的影響 保險公司舉辦的養老保險是一種補充性養老保險，可以彌補基本養老金的不足。隨著經濟水平的快速提高再加上通貨膨脹等因素，物價持續上漲，消費水平不斷提高，加之高額的醫療費用，使老年人退休後的基本生活難以單靠基本養老保險來維持，而商業保險提供的各種壽險產品是人們養老的*佳選擇。隨著我國金融體繫的不斷完善，保險業得到了快速發展，商業保險逐步成為整個社會保障體繫中的重要部分。從長壽風險的定義來看，長壽風險是一種非預測的繫統性的風險，難以通過被保險人群體內部分散。從長壽風險的成因來看，由於壽險產品的定價機制的內部滯後性，以及逆向選擇問題的存在，保險公司又不得不接受高風險的投保。如果不采取任何防範措施，保險公司的壽險產品必定長期面臨虧損狀態，嚴重阻礙壽險業乃至整個保險業的發展，從而影響整個社會保障體繫的發展。
12我國長壽風險管理概況 121延遲退休政策推行現狀 自從中共十八屆三中全會正式提出“研究制定漸進式延遲退休年齡政策”以來，“延退”政策就在輿論的爭議下堅定推進。其中一個重要原因就是決策層對未來養老壓力的擔憂。在2016年的全國**上，工會界以《積極穩妥推進“延遲退休政策”實施》為題，進行政協委員大會書面發言。工會界認為延遲退休或意味著每年會減少約700萬個就業崗位，建議我國探索試行彈性退休制度，*好地滿足職工多元化需求。人力資源和社會保障部部長***表示，2016年拿出延遲退休方案，並向社會廣泛征求意見。不過就現行情況來看，政策的真正落地還有段時間。從方案的出臺到具體實施，至少還要經過廣泛征求意見、按程序報批、各地出臺細則三道程序。延遲退休政策涉及面廣，各方觀點、意見尚不統一，因此政策方案制定後，必須經過向社會廣泛征求意見進行完善修改，纔能凝聚社會共識，確保政策出臺後能夠快速落地。當前男干部、男工人60歲，女干部55歲，女工人50歲的退休年齡，是根據國務院1978年制定的《國務院關於工人退休、退職的暫行辦法》和《國務院關於安置老弱病殘干部的暫行辦法》確定的，當時經全國人大常委會批準。此外，中組部和人社部2015年出臺政策，明確正、副處級女干部，具有**職稱的女性專業技術人員年滿60歲退休，如本人申請可在55歲時自願退休。此外，勞動法、社會保險法等法律對退休年齡並未有其他詳細規定，因此延遲退休政策可能不涉及法律修改，但是方案完成修改後，還需經過相應程序報經批準後纔能*終出臺。參考養老並軌政策實施過程，延遲退休政策出臺後，各地還將結合實際情況，在**政策的基礎上出臺具體實施細則，以便基層執行落實。
122養老保障體繫的隱患 當未來人口的實際死亡率低於預期死亡率時，就會發生長壽風險，因此目前我國養老保障體繫的三個組成部分都面臨這一隱患。
雖然目前政府制定的社會養老保險籌資模式已實現由現收現付制到部分積累制的轉變，長壽風險發生的可能性得到一定程度的緩和，但同樣不可輕視。在現收現付部分，當未來領取養老金的人群超預期增加時會使未來職工的繳費負擔變大，盡管其並非理論意義上的長壽風險，但卻是因為長壽所引起的風險；而在向**基金制發展時，長壽風險同樣會進行轉移。若養老基金采用確定收益型（defined benefit，DB）計劃，則無疑會面臨長壽風險；若養老基金采用確定繳費型（defined contribution，DC）計劃，當個人達到退休年齡時通常會購買商業年金保險，因此長壽風險將會轉移至商業保險公司。我國個人養老金賬戶采取的運作形式*接近後者。尤其當個人對自身面臨的長壽風險進行管理成為社會趨勢時，往往會加劇提供管理手段者的總體長壽風險敞口。
企業年金同樣存在DB計劃與DC計劃的選擇問題，而其所面臨的長壽風險分析思路亦同上。國務院宣布的養老金並軌決定方案提出了機關、***在參加基本養老保險的基礎上，還應為其員工建立職業年金。根據《證券時報》推算，這或將每年為職業年金增加繳費1 600億元。雖然當前企業年金在中國的養老保障體繫下尚屬少數，但會是大勢所趨。而隨著企業年金的壯大，也將不可避免地遭遇英國企業年金所處的負債現狀。在實際中，企業年金的長壽風險通常通過購買商業保險實現風險規避。
個人儲蓄性養老保險相對導致未來商業養老保險產品的需求的增加，並且目前中國的中高收入人群也傾向於購買商業養老保險產品，這對保險公司的產品準確定價的能力是個考驗。此外，目前保險公司的年金業務在提取準備金時使用的是由保監會頒布的《中國人壽保險業經驗生命表》，而生命表的*新以十年為期。鋻於人口死亡率的改善趨勢，十年的期限同樣會帶來部分的長壽風險，會產生準備金不足的問題。
綜上所述，聚合長壽風險存在於基本養老保險計劃和商業保險公司。我國保險業整體起步較晚，壽險業的長壽風險管理尚在起步階段，也沒有得到政府的足夠重視以及財政及稅收優惠政策的支持，政府在現階段可能*關注我國居民的個人養老問題。
13**外研究現狀 **上，自Milevsk和Promislow（2001），Olivieri（2001），Blake和Burrows（2001）提出長壽風險的套期保值和證券化思路之後，長壽風險的研究纔逐步引起國外學者及研究機構的關注。**研究中，餘偉強（2006）**引入長壽風險概念，此後，**學者逐漸關注這一問題。隨著人口老齡化問題日益嚴重，長壽風險已成為基本養老保險制度面臨的主要風險之一，也是當前理論和實務研究的重點。
131死亡率預測模型研究 長壽風險源自未來死亡率改善趨勢的不確定性，因此建立死亡率模型是研究長壽風險的基礎。死亡率模型*初采用的是靜態模型，該類模型主要包括Gompertz（1825）提出的指數模型（Gompertz模型）、Makeham（1860）在Gompertz模型的基礎上的改進指數模型（Makeham模型）、Helligman等（1980）針對不同年齡人群提出的分年齡靜態死亡率模型（HP模型）以及Carriere模型（1992）等。靜態模型僅考慮死亡率與年齡的關繫，忽略了死亡率隨時間變化的趨勢，不能準確預測死亡率的變化，因此需研究動態死亡率模型。動態死亡率模型可分為兩類：**類是離散型隨機死亡率模型；第二類是連續型隨機死亡率模型。連續型隨機死亡率模型的建模思路是借助隨機分析理論對死亡率進行建模，這與隨機利率建模原理類似。離散型隨機死亡率建模的特點是該類模型均建立在年度死亡率數據的基礎上，依據統計分析，預測未來的死亡率。
經典的離散型隨機死亡率模型主要有APC模型、LeeCarter模型、PB模型、RH模型、CBD模型五種。這五種離散型模型均有各自的優點及不足，代表性文獻可參見［9］～［21］。例如，Frost（1939）提出的年齡—時期—隊列（ageperiodcohort，APC）模型主要用於流行病導致的死亡率預測，但用於人口死亡率預測時適用性較差。LeeCarter（1992）考慮了死亡率波動的隨機性，以及與時間和年齡的相關性，給出了一個簡潔的死亡率預測模型，該模型的參數包括年齡組別的平均死亡率（反映分年齡人口死亡率自然對數平均水平）、時間效應因子（反映死亡率整體波動水平的指標）、年齡因子（用來描述對時間效應因子的敏感度）和誤差項。LeeCarter模型彌補了靜態模型的不足，具有對死亡率歷史數據擬合較好、外推簡便等優點，但LeeCarter模型的誤差項不存在異方差，這與實際不符。針對這一不足，Brouhns等（2002）假定死亡人數服從泊松分布來代替LeeCarter模型的誤差項，提出了**的泊松對數雙線性（PB）模型，這是目前較常用的一類LeeCarter模型。Brouhns等（2005）進一步將Bootstrap方法應用於泊松模型中來量化長壽風險。Delwarde等（2007）通過實證發現LeeCarter模型通常在五齡組數據下預測效果較好。Renshaw和Haberman（2003）**提出了利用單齡組數據來估計模型的參數，進而使用三次樣條方法進行光滑處理。此外，Delwarde等（2007）使用Brouhns等（2002）中提出的懲罰對數似然方法來光滑LeeCarter模型中的參數。關於LeeCarter模型的擴展方面，Renshaw和Haberman（2006）**提出包含出生年效應的擴展LeeCarter模型，簡稱RH模型。Currie（2006）提出了RH模型的簡化形式，簡稱Currie模型。Cairns等（2006）針對高齡人群（60～89歲）提出了基於年齡、世代效應的兩因素死亡率模型（CBD模型）。Cairns等（2009）提出了含有世代效應的擴展CBD模型，在該擴展模型中，作為年齡效應的二次項，隨時間的推移，世代效應將消失。與LeeCarter模型和CBD模型相比，RH模型擬合後產生的殘差和出生年無相關關繫，但該模型的穩健性較差。針對上述經典模型，有些學者做了對比分析或改進，例如，Sharon和Wang（2013）將Cairns等（2009）模型推廣為不同地區死亡率相依的隨機模型。Hanewalda等（2013）在CBD模型的基礎上考慮低年齡人群和高年齡人群在時間效應上的差異，通過引入兩個時間效應因子使模型具有*好的解釋力。Jarner和Moller（2015）比較了LeeCarter模型、APC模型和CBD模型，指出LeeCarter模型具有相對優勢。
連續型隨機死亡率模型也是一類重要的死亡率預測模型，該類模型通常借鋻金融經濟學領域中的連續利率模型，用布朗運動來模擬死亡率變化，也有采用跳躍過程代替布朗運動或者作為補充。例如，Dahl（2004）基於死亡率與連續利息率的相似性，給出了死亡率的期限結構，將隨機利率模型應用於死亡率建模中。Chen和Cox（2009）進一步探討了含繫統性死亡率風險的壽險產品負債的評估和對衝問題。Biffis和Blake（2015）根據死亡率的期限結構，分析了如何將利率模型平移為隨機死亡率模型的思路和方法，並探討了英國和美國死亡率發展的趨勢。然而，連續型死亡率模型的研究重點放在死亡率模型的形式和對歷史死亡率數據的擬合上，很少關心模型的實際應用。此外，該類模型的穩健性較差。
**關於死亡率預測模型的研究起步較晚，大多關注離散時間隨機死亡率模型。例如，陳秉正和祝偉（2008）梳理了死亡率預測研究由靜態模型向動態模型轉變的發展脈絡。李志生和劉恆甲（2010）基於1992―2007年我國分年齡組人口死亡率數據，利用LeeCarter模型對中國人口死亡率數據進行擬合和預測的適用性，分別采用奇異值分解法、*小二乘法、加權*小二乘法和極大似然估計法估計LeeCarter模型的參數，得出加權*小二乘法具有*好的擬合和預測效果。韓猛和王曉軍（2010）通過一個雙隨機過程對LeeCarter模型中的時間項進行建模，得出改進後的LeeCarter模型*適合預測目前中國的人口死亡率。王曉軍和任文東（2012）利用有限數據下LeeCarter模型和雙隨機過程確定中國人口死亡率模型，對商業保險公司采用死亡率改善因子進行了實證分析。金博軼（2012）依據The Human Mortality Database數據庫中27個**的人口死亡率數據，利用貝葉斯方法通過MCMC抽樣對Currie模型的參數進行估計。段白鴿（2015）基於LeeCarter模型擬合和預測全年齡段人口死亡率、計算平均預期壽命和構造動態生命表中的應用。姜昱汐等（2007）基於*小叉熵（minimum cross entropy）原理，以叉熵函數作為目標函數，以被保險人的預期壽命作為約束條件，通過*小化叉熵預測被保險人的死亡率。何大義、黃啟與高建偉（2012）利用*小叉熵理論給出構建動態生命表的新方法，該方法可在已知某基期生命表數據結構下，以待求死亡率的統計矩為約束條件，通過*小化叉熵函數，使獲得預測期死亡率數據與基期死亡率*大限度地保持相似的數據分布結構。利用*小叉熵方法的難點在於很難獲得待求死亡率的統計矩。此外，汪榮明、張奕、鄧穎璐、周斌、吳述金、王傳玉、盧芳先、謝世清、崔世傑等**學者結合中國數據利用LeeCarter推廣模型、CBD模型預測了中國人口死亡率。**專家學者研究死亡率模型時通常忽略了我國人口死亡率數據的來源差異。在實際應用中，中國人口死亡率數據分別來源於人口普查數據、1%人口抽樣數據、1‰變動人口抽樣數據，所以數據的質量並不一致。數據質量的差異很可能對模型估計產生影響，導致預測不準確。
綜上分析，靜態模型忽視了死亡率隨時間變化的趨勢，因此需研究動態死亡率預測模型。連續隨機死亡率模型能很好地描述死亡率的隨機波動性，但缺乏參數意義的解釋。離散型隨機死亡率模型中，APC模型用於人口死亡率預測時適用性較差。LeeCarter模型及其推廣具有參數易於估計和解釋、外推簡便等優點。
132長壽風險評估問題研究 國外學者和機構評估長壽風險主要是針對商業壽險公司，常用度量指標有**指標和相對指標。**指標是以生存年金的精算現值來度量長壽風險；相對指標是通過定義長壽風險的資本要求（LCR）作為計算依據，其實質是通過計算兩種死亡率下生存年金精算現值的相對變化率來評估長壽風險。針對人口死亡率下降導致的長壽風險，國外一些學者和機構研究了該風險的度量問題，主要涉及生存年金精算現值、度量長壽風險的風險價值和資本需求、保險公司負債折現值的概率分布等。
例如，Olivieri（2001）**采用生存年金的精算現值對長壽風險進行度量，但該指標僅僅反映死亡率改善後的生存年金現值，不能反映由於長壽風險所導致的年金支付的缺口。Olivieri和Pitacco（2003）通過計算長壽風險的償付能力資本要求（SCR），度量了美國企業年金繫統的長壽風險。Milevsky和Young（2007）利用壓力趨勢（stressedtrend）方法研究了長壽風險對年金精算現值的影響，該方法的特點是利用人口死亡率外推模型，模擬不同置信水平下死亡率的臨界值，這些臨界值構成死亡率的壓力趨勢線，壓力趨勢線與死亡率均值回歸線之間的差距，即為死亡率被低估的可能。在LeeCarter模型框架下研究負債精算現值的分布是*常見的一種方法。例如，Brouhns等（2002）假定時間因子服從泊松分布，給出負債現值的解析解。Brouhns等（2005）進一步將Bootstrap方法應用於泊松模型中來量化長壽風險。Renshaw和Haberman（2008）假定死亡率為泊松LeeCarter模型得出了負債現值的迭代式。Richard（2011）通過利用一年期在險價值（VaR）方法，計算了死亡率被低估的長壽風險的償付能力資本要求，並采用壓力趨勢法、標準公式法和隨機模擬法比較了保險公司的長壽風險。Bellessampera等（2014）提出了一個GlueVaR風險度量方法，該方法是一致性風險度量方法，他們將GlueVaR方法運用在資產配置的風險度量中，探討了風險度量的尾部次可加性。在LeeCarter框架下，由於死亡率的時間變化趨勢是通過一個隨機過程建模，在這一隨機過程給定後，保單組中所有保單持有者的餘壽作為隨機變量就不再獨立，而是條件獨立，進而會導致年金現值之間也存在相關性，這一點相悖於精算中獨立性的假設，會導致負債現值預測中繫統風險的增加。針對這一問題，Post和Hanewald（2013），Lemoine（2015）等學者研究了這一條件下的負債現值的近似分布。負債折現值法的不足之處在於該方法僅從負債角度考慮，忽略了金融風險對長壽風險的潛在影響。
我國關於長壽風險量化與管理的理論研究起步較晚，繫統性綜述見陳秉正和祝偉（2008）。近年來的長壽風險量化研究主要關注保險公司年金產品定價和準備金評估存在的風險問題，涉及長壽風險對年金淨保費的影響，度量長壽風險的風險價值和資本需求以及長壽風險的市場價格等。
例如，李志生等（2011）提出了一個以死亡率和財富短缺概率為參數的長壽風險量化模型。祝偉和陳秉正（2012）在動態死亡率建模框架下，分析了長壽風險對個人年金產品定價的影響，並引入基於Wang轉換的風險定價方法來度量長壽風險的市場價格。金博軼（2012）使用貝葉斯方法對Currie死亡率模型的參數進行了估計，並對年金產品的長壽風險進行度量。韓猛和王曉軍（2014）使用改進後的LeeCarter模型度量了長壽風險對未來年金淨保費的影響，指出年金購買者現在購買延期年金比未來購買即期年金劃算。趙明和王曉軍（2015）利用Bellessampera等（2014）提出的GlueVaR風險度量方法，選取1994—2012年**統計局公布的死亡率數據，采取LeeCarter模型對人口死亡率進行時間外推，運用Gompertz模型對我國缺失的高齡人口死亡率數據進行插補，計算得到GlueVaR方法下的養老金繫統長壽風險度量的資本需求。
綜上分析，**外學者利用生存年金精算現值度量長壽風險存在不足，因為該指標不能反映長壽風險的規模。利用長壽風險的相對指標（長壽風險的資本要求，LCR）時，在隨機模擬中無論是采用VaR還是CVaR方法均存在一定的缺陷。例如，VaR方法隻關注*壞情形下的損失，未考慮尾部損失；CVaR方法彌補了VaR方法的缺陷，但該方法靈活性較差。基本養老保險為****，目前**外尚缺乏研究基本養老保險制度中長壽風險的評估方法。因為基本養老保險與商業養老保險兩種年金產品的精算原理相似，僅給付方式不同，故研究基本養老保險制度中的長壽風險評估方法可借鋻度量商業保險中長壽風險的成果。
133基於風險控制的長壽風險管理 長壽風險的精算管理一般分為風險控制和風險證券化，在基本養老保險中前者包括研究延遲退休和基金投資策略以控制長壽風險，後者主要是將長壽風險轉移到資本市場。
針對延遲退休問題，國外學者和機構的研究主要集中在確定*優退休年齡以及分析退休年齡變化對養老金收支的影響上。
例如，Stock和Wise（1990）**提出了選擇價值（option value，OV）模型，該模型衡量了因延遲退休帶來的額外工作收入和延遲退休造成的養老金收益的增減變化。此後經過許多學者的檢驗和優化，該模型成為研究退休行為的重要研究工具之一。Borshsupan（1998）使用這一工具探討德國社會保障對退休行為的影響效應。Belloni和Alessie（2010）則用其探討意大利勞動者的退休決策問題。Shoven和Goda（2008）研究了如何使用預期壽命指數以保持美國、新西蘭等**的養老金收支平衡。Heeringa和Bovenberg（2009）分析了在長壽風險影響下如何調整退休年齡以使養老金保持平衡。Kremer等（2014）從勞動者個體出發，利用選擇價值模型，度量了延遲退休後的養老金財富，指出養老金財富是衡量養老保險制度拉動退休的基礎，但這一概念未考慮延遲退休後的工作收入的積累，導致其具有內在缺陷。也有學者利用跨期迭代模型（OLG）研究*優退休年齡問題，例如，Weil和Pomp（2013）在跨期迭代模型（OLG）的框架下分析了個體的退休決策問題，研究發現：美國現有的養老金體制導致了所謂的*早退休陷阱問題（early retirement trap），即死亡率的變化不會對*優退休年齡產生影響，個體會在*早退休年齡退休。因此，為應對人口老齡化帶來的養老金收支壓力，政府隻能選擇提高法定退休年齡。Delprat等（2015）研究了死亡率變化對*優退休年齡的影響，研究發現：在**競爭市場上，預期壽命的增加會導致退休年齡的增加和存儲率的降低，隻是退休年齡增加的幅度要低於預期壽命增加的幅度。
2013年11月，中共十八屆三中全會正式提出“決定建立漸進式的延遲退休年齡政策”，使延遲退休年齡成為社保領域問題中關注的焦點。在2015年“**”新聞發布會上，人力資源和社會保障部負責人表示，將從2017年推出延遲退休方案征求意見稿，預計在2020年逐步實施。這說明目前延遲退休在全國推行似乎還未到*佳時機，依然處於征求意見與學術探討階段。
**一大批知名學者提出延長退休年齡的觀點，例如，鄧大松、申曙光、王曉軍、穆懷中、張奕、何文炯、陳秉正、劉昌平、柳清瑞、褚福靈和金博軼等從緩解養老保險基金支付壓力或個人角度論證了延長退休年齡的可行性。有些學者從統計角度分析了延長退休年金的策略。
例如，鄧大松等（2008）定量化分析了死亡率的變化對*優退休年齡的影響。駱正清等（2010）利用精算方法建立養老保險基金收支預測模型，定量化刻畫了推長退休年齡對減少基礎養老金基金收支缺口的影響，提出**應當鼓勵延遲退休。胡仕強和許謹良（2011）利用福利經濟學理論，從人口紅利的角度研究了延長退休年齡對國民經濟的影響。曾燕和郭延峰（2013）運用兩期OLG模型考慮長壽風險暴露下延遲退休對個人與社會整體效用所產生的影響，發現在長壽風險暴露下，延遲退休是個人的*優決策，同時也使社會效用*大化。林熙和林義（2015）利用選擇價值（OV）模型，發現延遲退休可能對男性勞動者和低收入勞動者造成明顯的經濟損失。
**外學者研究延遲退休通常從某一方面入手，如有些學者研究了延長退休年齡對國民經濟的影響，也有學者研究了延長退休年齡對基本養老保險基金收支平衡的影響，還有學者從個人角度探討了人力財富和退休決策之間的互動關繫。但目前尚未出現綜合人口紅利、養老保險制度和個人三個層面研究的退休年齡策略。當前較常用的模型是選擇價值（OV）模型或跨期迭代（OLG）模型。從模型適用性角度而言，選擇價值（OV）是從精算角度出發，邏輯*嚴謹，是目前研究養老保險對退休行為的經濟影響的重要研究工具。
個人賬戶基金實現積累後，可通過投資應對個人賬戶中的長壽風險，因此如何有效投資是一個重要問題。近年來，國外學者利用精算和隨機控制理論（stochastic control theory）研究養老金投資成為主流趨勢。研究方法有兩類：一是效用*大化方法；二是損失函數方法。利用期望效用*大化方法的思路是沿襲Merton（1969，1971），Cox和Huang（1989）研究*優投資消費問題的方法。但該方法具有一定的局限性：當決策主體的偏好結構采用效用函數測度時，因為效用函數刻畫風險的方式是隱式的，不利於決策主體對收益與風險的權衡；效用函數形式多樣，導致決策主體選擇效用函數具有一定的主觀性。
針對效用函數在實際應用中存在的局限性，有些學者提出利用損失函數研究投資策略，其思路是將基金的實際收益與目標水平的期望偏離程度的平方為目標函數，通過嵌套技術將問題劃歸為隨機控制問題，運用貝爾曼動態規劃原理尋求原問題*優解。例如，Devolder等（2003）以實現實際投資收益與預期收益之差的*小化為目標，在風險資產價格服從對數正態分布及無風險資產收益為常數時，利用動態規劃技術研究了養老金*優組合。Hainaut和Devolder（2007）假定風險資產價格波動服從隨機波動—收益和波動跳躍（SVCJ）模型及無風險收益為CIR（CoxIngersolRoss）利率模型時，考察了投資期限為無限期的*優策略。Huang和Lee（2010）考察了風險資產價格變化服從隨機波動（stochastic volatility，SV）模型，無風險利率滿足Vasicek模型時的*優策略。Wu和Li（2012）分別在現金流為固定和隨機的情況下，研究了均值―方差框架下的投資組合問題。Lim和Wimonkittiwat（2014）在交易成本*小化下將預估損失視為負債，得到*優投資策略。Jevtic和Regis（2015）針對保險公司的償付風險，以二次損失函數*小化為目標，在無風險資產收益為常數而風險資產價格波動滿足隨機微分方程時，利用動態規劃理論給出*優策略表達式。
**學者研究個人賬戶養老金投資策略主要以宏觀定性為主，定量化研究較少。郭磊和陳方正（2008）以CRRA效用函數為目標函數，研究了個體投資者的*優策略。肖建武等（2007）在風險資產價格波動服從CEV模型下，利用Legendre變換得到對數效用函數下的*優投資策略。筆者（2009，2010）在肖建武等（2007）研究的基礎上，分別考察了冪效用和對數效用下的*優投資問題，並提出一種ECEV模型，該模型克服了CEV模型的不足。韓立岩等（2013）建立了動態資產配置模型，研究了我國養老保險基金在**資本市場的戰略性配置問題。費為銀等（2014）在奈特（Knight）不確定的基金管理者區分含糊（ambiguity）和含糊態度（ambiguity attitude）下，用α極大極小期望效用刻畫其對無限區間上養老基金財富的效用，給出了*優投資策略的顯式解。李仲飛等（2015）在模型含糊不確定和錯誤定價下研究了*優投資策略。
利用損失函數方法研究個人賬戶養老金投資問