從一到無窮大
	定價	39.80
	出版社	印刷工業出版社
	版次	1
	出版時間	2019年03月
	開本	16
	作者	（ ）喬治·伽莫夫
	裝幀	平裝
	頁數	288
	字數	255000
	ISBN編碼	9787514225198

★愛因斯坦親寫推薦語的科普經典！

★《從一到無窮大》是聯合國教科文組織卡林伽科普獎得主喬治·伽莫夫的科普代表作品，是風靡SJ數十年的現像級科普書！

★ 院士、清華大學校長邱勇；中國工程院院士、四川大學校長李言榮；

國家文津圖書獎得主、硅谷投資人吳軍；暢銷科普書 《上帝擲骰子嗎？》作誠摯推薦。

★伽莫夫行文寓教於樂，本書不僅語言幽默生動，論述深入淺出，書中插圖也均為作者親筆繪制，

是FC適合廣大讀者，尤其是學生和科學愛好者閱讀的自然科學科普入門書。

《從一到無窮大》作為喬治·伽莫夫的科普代表作品，在D今SJ仍然具有重要影響力。作為自然科學科普經典名著之一，直接影響了眾多科研和科普工作者，是歷久彌新的自然科學入門讀物。

    在本書中，伽莫夫以通俗易懂的方式介紹了20世紀以來SJ範圍內自然科學領域中的重大進展。全書共分四個部分，先由漫談基礎數學知識入手，用豐富有趣的比喻闡明了時間、空間的相對性，講述了愛因斯坦的相對論及四維SJ結構，Z後全面討論了人類在微觀SJ和宏觀SJ等方面的成J。

    伽莫夫行文寓教於樂，本書不僅語言幽默生動，論述深入淺出，書中插圖也均為作者親筆繪制，是FC適合廣大讀者，尤其是學生和科學愛好者閱讀的自然科學科普入門書。

喬治·伽莫夫

    享譽SJ的物理學家和宇宙學家，傑出的科普作家。以倡導宇宙起源於“大爆炸”的理論聞名，對譯解遺傳密碼做出重要貢獻，提出了放射性量子論和原子核的“液滴”模型。同E．特勒一起確立了關於β衰變的伽莫夫—特勒理論以及紅JX內部結構理論。

伽莫夫一生正式出版的25部著作中，有18部是科普作品。他的科普著作深入淺出，對抽像深奧的物理學理論的傳播起到了積J的作用，《從一到無窮大》是他的科普代表作。由於在普及科學知識方面所做出的傑出貢獻，1956年，他榮獲聯合國教科文組織頒發的卡林伽科普獎。

D一部分  數字遊戲

D一章大數字

D二章自然數和人工數

D二部分  空間、時間與愛因斯坦

D三章空間的D特性

D四章四維的SJ

D五章時空的相對性

D三部分  微觀SJ

D六章下降的階梯

D七章現代煉金術

D八章無序定律

D九章生命之謎

D四部分  宏觀SJ

D十章拓寬視野

D十一章初創之日

自然數和人工數

1. Z純粹的數學

    數學通常被人們，尤其是數學家們，看作是科學中的女王，而作為女王，她自然要盡量避免屈J於其他學科。舉例來說，希爾伯特在參加一次“純數學與應用數學聯合大會”時，受邀發表一次公開演講，以打破這兩派數學家之間的敵對狀態，他是這樣說的：“經常有人說純數學和應用數學是彼此相對的。這句話不對，純數學和應用數學並不是互相對立的，這兩者之前沒有互相對立過，以後也不會互相對立，這是因為純數學和應用數學之間沒有任何共同點，根本沒有可比性。”

雖然數學家們希望保持數學的純粹性，對其他學科敬謝不敏，但是其他學科，尤其是物理學卻頗為青睞數學，竭力與其建立“友好關繫”。事實上，現在純數學的每一個分支幾乎都被用來解釋物理宇宙中的這個或那個特性。其中包括抽像群理論、非交換代數、非歐幾何這種一直被認為是JD純粹，不會有任何實用性的科目。

    然而，迄今為止，數學中還有一大體繫除了可以訓練思維外沒有任何實際應用，簡直可以被光榮地授予“純粹皇冠”了。這J是所謂的“數論”（這裡指整數），數學中Z古老的分支之一，也是純數學思維Z錯綜復雜的產物之一。

    不可思議的是，作為數學中Z純粹的一部分，數論從某個方面來說卻可以被稱為一門經驗科學甚至是一門實驗科學。事實上，數論中的大部分定理都是人們在處理不同的數字問題時構思出來的，正如物理學中的定律是人們處理與實物相關的問題得到的成果。而且也像物理學一樣，數論中的一些定理已經“從數學的角度”得到了證實，還有一些卻仍停留在純經驗階段，挑戰著ZYX的數學家的大腦。

    以質數問題為例，所謂質數，J是不能用兩個或兩個以上比其更小的數字的乘積來表達的數字。像 1， 2， 3， 5， 7 等這樣的數J是質數，而 12 J不是質數，因為 12 可以被寫成 2×2×3。

    質數的數量是無限的，還是存在一個Z大質數，所有比之大的數都可以用我們已知的幾個質數的乘積來表示？這個問題是歐幾裡得 a Z早提出並研究的，他給出了一個簡潔明了的論證方法，證明了質數的數量是無窮的，因此並不存在所謂的“Z大質數”。

    為了驗證這個問題，我們假設所有已知質數的數量是有限的，並用字母 N來表示已知的Z大質數，現在讓我們計算所有已知質數的乘積並加 1，用以下算式表示：

    （1×2×3×5×7×11×13×…×N） +1

    這個數D然比我們所提出的Z大質數 N 要大得多，但是，這個數顯然不可能被我們已知的任何質數（Z大到 N，也包括 N）整除，因為從它的結構來看，用其他任何質數來除這個數都會留下餘數 1。

    因此，這個數字要麼本身J是個質數，要麼J必須能被比 N 還大的質數整除，但這兩種情況都與我們Z開始的假設“N 為已知的Z大質數”相矛盾。

    這種檢驗方法叫作歸謬法，也叫反證法，是數學家們Z喜歡用的方法之一。

    既然我們已經知道質數的數目是無窮的，我們J要自問，是否有什麼簡便方法能把所有的質數一個不落地挨個寫下來呢？古希臘哲學家兼數學家埃拉托斯特尼 a Z早提出了能做到這一點的方法，被稱為“埃拉托斯特尼篩法”。你需要做的J是寫下完整的整數序列， 1， 2， 3， 4 等，然後刪掉其中所有的 2的倍數，再刪掉所有 3 的倍數、 5 的倍數，等等。通過埃拉托斯特尼篩法篩選前 100 個整數，其中有 26 個質數。通過用這種簡單的篩選法，我們已經得到了 10 億以內的所有質數。

    但是，如果能提煉出一個隻能演算出質數的公式，並且能快速且自動地演算出所有的質數，那J更加簡便了。然而經過了多少世紀的努力，人們還是沒有得到一個這樣的公式。 1640 年，ZM的法國數學家費馬 b 曾以為他推導出了隻能算出質數的公式。

    在他的公式2 2n +1 中， n 指代 1， 2， 3， 4，… 這樣的連續自然數。

    但是自費馬的結論公布了一個世紀以後，德國數學家歐拉 c 發現費馬公式的D 5 個算式 +1 的結果 4 294 967 297 不是一個質數，而是 6 700 417 和 641 的乘積。因此，費馬的推算質數的經驗公式被證明是錯誤的。

    還有一個可以推算出很多質數的公式也值得一提： n2-n+41。

    其中， n 也是指 1， 2， 3 等這樣的數。人們已經證實，D n 在取 1 到 40之間的數時，以上公式的結果都是質數，然而不幸的是，D n 取 41 時，這個公式J失效了：事實上，（41）?-41+41=（41）?=41×41，這是一個平方數，而不是質數。

    還有一個失敗的公式是：

    n?-79n+1601

    D n 取 79 及以下數值時得到的都是質數，但 n 取 80 時J無效了。

    因此，找到一個能隻推算出質數的通用公式的問題仍然是一個未解之謎。數論中還有一個有趣的理論至今既沒有被證實也沒有被推翻，這J是哥德巴赫 1742 年提出的“哥德巴赫猜想”，其聲稱：“任何一個偶數都可以表示成兩個質數之和。”以一些簡單的數字為例，你不難發現這句話是對的，如 12=7+5， 24=17+7， 32=29+3。雖然數學家們在這個問題上做了大量工作，但還是沒能給出一個決定性的證據證明這一陳述是JD無誤的，也沒能找出一個反例證明其是錯的。J在 1931 年，蘇聯數學家施尼勒爾曼 a 朝著決定性證據邁出了關鍵性的一步。他成功地證明了“任何一個偶數都可以表示成不超過 300 000 個質數之和”。再往後，“300 000 個質數之和”與“兩個質數之和”之間的差距被另一個人維諾格拉托夫（ViDgradoff）大大地縮小了，他將前者減少到了“4 個質數之和”。然而從維諾格拉托夫的 4 個到哥德巴赫的兩個質數之間的Z後兩步看來是Z為艱難的，誰也不能肯定還要多少年或者幾個世紀纔能證實或推翻這一難解的命題。

    好吧，看來想要導出一個能自動計算出所有的以及任意大的質數的公式，我們還任重而道遠，更何況我們還不能保證這樣的公式一定存在呢。

    我們可以問一個稍微簡單點的問題—關於在給定的數值區間內質數所占的比例的問題。隨著數字變大，這個比例是否會一直保持不變呢？如果變的話，是會增大還是減小呢？我們可以通過統計在不同區間內的質數的個數，從經驗主義的角度試著來解決這個問題。我們發現，取值在 100 以內有 26 個質數、1000 以內有 168 個質數、 1 000 000 以內有 78 498 個質數、 1 000 000 000 以內有 50 847 478 個質數，用這些質數的數量除以與其對應的數值區間裡整數的

數量，隨著數值區間變大，質數所占的比例減少了，但並不存在一個質數的終止點。

    數學上有沒有一種簡單的方法來描述這一隨著數值增大而減小的比例呢？不僅有，而且質數平均分布的規律是整個數學領域Z了不起的發現之一。簡單來說，J是“從 1 到任何大於 1 的數字 n 之間質數所占的比例約等於 n 的自然對數” a，並且 n 越大，這兩個值越接近。

    上表中D四列J是 n 的自然對數。如果你將其與D三列的數值對比一下，J會發現這兩列的值很接近，並且 n 越大，J越接近。

    正如數論中的很多其他理論一樣，上述質數理論Z開始是從經驗主義的角度提出的，在其後很長一段時間裡都無法用嚴格的數學方法加以證實。直到19 世紀末，法國數學家阿達馬 b 和比利時數學家德拉瓦萊普森纔終於用一種J其復雜的方法將其證實，三言兩語難以說清，此處不贅述。

    既然討論到整數，J不得不提一提ZM的“費馬大定理”，這可以作為討論與質數特性無關的問題的一個例子。這個問題的根源要追溯到古埃及，D時所有YX的木匠都知道，一個邊長之比為 3 ∶ 4 ∶ 5的三角形一定有一個直角。他們J用這樣的三角形，現在被稱為埃及三角形，

作為自己的角尺。 

    3 世紀時，丟番圖 b 開始琢磨，除了 3 和 4 以外，是否還有其他兩個整數的平方和等於D三個數的平方。他也確實發現了一些（實際上有無數個）具有這種性質的組，並且給出了找出這些數的基本規則。這種三條邊長均為整數的直角三角形現在被稱作“畢達哥拉斯三角形”，埃及三角形J是其中的一個典型。畢達哥拉斯三角形的構建問題可以被簡單地視為一個方程等式，其中 x、 y、 z 都必須是整數 c： x?+y?=z?。

    1621 年，費馬在巴黎買了一本丟番圖的著作《算術》的新法語譯本，書中J討論了畢達哥拉斯三角形。他閱讀時在旁邊做了一處簡短的筆記，其大意是，雖然等式 x?+y?=z? 有無數個整數解，但與其形似的等式 xn+yn=zn，D n 大於 2 時，則是永遠無解的。

    “我已經找到了一個絕妙的證明方法，”費馬寫道，“但是這裡太窄了，寫不下。”

    費馬逝世後，人們在他的資料室裡發現了這本丟番圖的著作，留白處的筆記內容纔得以問世。那是三個世紀以前的事了，自那時開始，全SJZZY的數學家們都曾試著重現費馬在筆記中提到的他所想到的證明方法，但至今仍沒有定論。但毋庸置疑，朝著這個Z終目標，人們已經取得了巨大的進步，同時，在試圖證明費馬理論的過程中，還誕生了一門被稱為“理想數理論”的全新數學分支。歐拉證明了方程 x3+y3=z3 和 x4+y4=z4 不可能有整數解，狄利克雷 a 證明了方程 x5+y5=z5 也無整數解，其後，經過幾位數學家的共同努力，我們已經可以證明，D n 小於 269 時，費馬方程都是無解的。但是至今仍然沒有找到能證明指數 n 取任何值時該結論都成立的總結性論證方法，越來越多的人懷疑，要麼費馬自己也沒有證明方法，要麼J是他哪裡弄錯了。後來有人懸賞 10 萬馬克尋找答案，這個問題更是成了熱門話題，D然那些隻為求財的業餘人士並

沒有取得任何進展。D然，這個理論仍然有可能是錯誤的，隻要找出一個例子，其中兩個整數的 n 次冪之和等於D三個整數的 n 次冪J可以了。但是要找到一個指數 n 必須是大於 269 的數字這樣的研究可不簡單。