第1章非線性繫統的穩定性、分岔與混沌動力學理論簡介
1.1概述
對於受控的非線性動力學繫統，繫統的穩定性、分岔與動力學行為是至關重要的。因此，為了方便讀者理解本書後續各章的內容，先對非線性繫統的穩定性與動力學理行簡要介紹。
穩定性是控制繫統*重要的特性之一，穩定性問題實質上是控制繫統自身屬性的問題。不穩定的繫統是實際方面無用的繫統，隻有穩定的繫統纔有可能獲得應用。例如，一個自動控制繫統要能正常工作，它先須是一個穩定的繫統，即繫統應具有這樣的性能：在它自身結構與參數產生變化或受到外界擾動後，雖然其原平衡狀態會被打破，但在擾動和自身變化消失之後，它有能力自動地返回原平衡狀態或者趨於另一個新的平衡狀態繼續工作。
在經典控制理論中，對於單輸入、單輸出線性繫統，基於特征方程的根是否分布在根平面左半部分，采用勞斯-赫爾維茨代數判據和奈奎斯特頻率判據等方法，即可得出穩定性的結論。這些方法的特點是不求解方程，也不求出特征根，而直接由方程的繫數或頻率特性曲線得出穩定性的結論，可稱為直接判據。當然，也可以通過求解方程，根據解的變化規律得出穩定性的結論。相對於前一種方法，這種方法是非直接的，可稱為間接判據。但是，上述的直接判據法，僅適用於線性定常繫統，對於時變繫統和非線性繫統，這種直接判據法就不能適用了。若利用求解方程的方法判定穩定性，非線性繫統和時變繫統的求解通常是很困難的，一般難以獲得解析解。雖然在經典控制理論中，可以利用頻率分析的描述函數法和基於時域分析的相平面法來分析受控非線性繫統的穩定性，但一般隻能對特定的非線性繫行穩定性分析，其結果也隻能似性的，因而有很大的局限性。
在現代控制理論體繫中，無論調節器理論、觀測器理論還是濾波預測、自適應理論，都不可避免地要遇到繫統穩定性的問題。在控制領域內，無論控制理論分析，還是絕大部分控制技術的實現，幾乎都與穩定性有關，同時由於不穩定的繫統一般不能應用於工程實踐，所以在控制工程和控制理論中，穩定性問題一直是一個需要解決的*基本和*核心的問題。隨著控制理論和工程所涉及的領域由線性定常繫統擴展為時變繫統和非線性繫統，穩定性分析也日益復雜，需要新的理論分析工具。
1892年，俄國學者李雅普諾夫在《運動穩定性的一般問題》一文中，提出了的李雅普諾夫穩定性理論，該理論是控制繫統穩定性理論分析、應用研究的重要基礎。李雅普諾夫穩定性理論作為繫統穩定性判據的一般方法，不僅適用於線性繫統，也適用於非線性繫統和時變繫統。由於20世紀50年代以前的控制繫統在結構上相對來說比較簡單，采用經典控制理論的一些穩定判據已能解決工程應用中的問題，所以在相當長的時間裡李雅普諾夫穩定性理論沒有受到人們的足夠重視。隨著科學技術和社會工業化、信息化和航空航天技術的發展，控制繫統的結構日益復雜，經典控制理論的一些穩定性判據已不適用於現代控制繫統的分析。在20世紀60年代以後，狀態空間分析法的理論迅速發展，致使李雅普諾夫穩定性理論又受到人們的極大重視，而且取得了豐碩的成果，並成為現代控制理論的一個重要組成部分。
李雅普諾夫的穩定性理論，主要有兩種判斷繫統穩定性的方法。**種方法的基本思路是先求解繫統