●第1章  熱傳導方程11.1  引言11.2  一維杆中熱傳導方程的推導21.3  邊界條件111.4  平衡溫度分布141.4.1  給定溫度141.4.2  絕熱邊界161.5  二維或三維熱傳導方程的推導19第2章  分離變量法322.1  引言322.2  線性性質322.3  在有限端處具有零溫度的熱傳導方程352.3.1  概述352.3.2  分離變量352.3.3  時變常微分方程372.3.4  邊值問題382.3.5  乘積解和疊加原理432.3.6  正弦函數的正交性462.3.7  實例482.3.8  小結502.4  有關熱傳導方程的例子：其他邊值問題552.4.1  絕熱端杆中的熱傳導552.4.2  細絕熱圓環中的熱傳導592.4.3  邊值問題小結642.5  拉普拉斯方程：求解和定性性質672.5.1  矩形區域內的拉普拉斯方程672.5.2  圓盤內的拉普拉斯方程722.5.3  繞過圓柱體的流體流動（升力）762.5.4  拉普拉斯方程的定性性質79第3章  傅裡葉級數863.1  引言863.2  收斂定理883.3  傅裡葉餘弦級數和傅裡葉正弦級數923.3.1  傅裡葉正弦級數923.3.2  傅裡葉餘弦級數1023.3.3  用正弦級數和餘弦級數表示f(x)1053.3.4  偶部和奇部1063.3.5  連續傅裡葉級數1073.4  傅裡葉級數的逐項微分1123.5  傅裡葉級數的逐項積分1233.6  傅裡葉級數的復形式127第4章  波動方程：振動弦與振動膜1304.1  引言1304.2  弦振動方程的建立1304.3  邊界條件1334.4  端點固定的振動弦1374.5  振動膜1434.6  電磁波與聲波的反射與折射1454.6.1  斯涅耳折射定律1464.6.2  反射波與折射波的強度（振幅）1484.6.3  內部全反射149第5章  施圖姆–劉維爾特征值問題1515.1  引言1515.2  例子1515.2.1  非均勻杆內的熱流1515.2.2  圓對稱熱流1535.3  施圖姆–劉維爾特征值問題1555.3.1  一般分類1555.3.2  正則施圖姆–劉維爾特征值問題1565.3.3  定理的舉例和說明1575.4  例子：非均勻杆中的無熱源熱流1635.5  自伴算子和施圖姆–劉維爾特征值問題1675.6  瑞利商1845.7  例子：非均勻弦的振動1895.8  第三類邊界條件1925.9  大特征值（漸近行為）2075.10  逼近性質211第6章  偏微分方程的有限差分數值法2176.1  引言2176.2  有限差分與截斷泰勒級數2176.3  熱傳導方程2246.3.1  概述2246.3.2  偏差分方程2246.3.3  計算2266.3.4  傅裡葉–馮·諾伊曼穩定性分析2286.3.5  偏差分方程的分離變量和常差分方程的解析解2356.3.6  矩陣記號2386.3.7  非齊次問題2426.3.8  其他數值格式2426.3.9  其他類型的邊界條件2436.4  二維熱傳導方程2476.5  波動方程2506.6  拉普拉斯方程2536.7  法2606.7.1  非正交函數逼近（偏微分方程的弱形式）2606.7.2  最簡三角263第7章  高維偏微分方程2687.1  引言2687.2  時間變量的分離2697.2.1  振動膜：任意形狀2697.2.2  熱傳導：任意區域2717.2.3  小結2727.3  振動矩形膜2727.4  特征值問題?φ+φ= 0的定理敘述和說明2827.5  格林公式、自伴算子和多維特征值問題2877.6  瑞利商和拉普拉斯方程2937.6.1  瑞利商2937.6.2  依賴時間的熱傳導方程與拉普拉斯方程2947.7  振動圓形膜和貝塞爾函數2957.7.1  概述2957.7.2  分離變量2967.7.3  特征值問題（一維情形）2977.7.4  貝塞爾微分方程2997.7.5  奇異點和貝塞爾微分方程2997.7.6  貝塞爾函數及其漸近性質（在z=0附近）3017.7.7  涉及貝塞爾函數的特征值問題3027.7.8  振動圓形膜的初值問題3047.7.9  圓對稱情形3057.8  貝塞爾函數的進一步討論3127.8.1  貝塞爾函數的定性性質3127.8.2  特征值的漸近公式3137.8.3  貝塞爾函數的零點和結點曲線3147.8.4  貝塞爾函數的級數表示3167.9  圓柱體上的拉普拉斯方程3197.9.1  概述3197.9.2  分離變量3207.9.3  側面及頂部或底部為零溫度的情形3227.9.4  頂部和底部為零溫度的情形3237.9.5  修正貝塞爾函數3267.10  球內的問題和勒讓德多項式3307.10.1  概述3307.10.2  分離變量和一維特征值問題3307.10.3  連帶勒讓德函數和勒讓德多項式3327.10.4  徑向特征值問題3357.10.5  乘積解、振動模式和初值問題3357.10.6  球內部的拉普拉斯方程336第8章  非齊次問題3418.1  引言3418.2  有源熱流與非齊次邊界條件3418.3  帶齊次邊界條件的特征函數展開法（微分特征函數的級數）3478.4  利用格林公式的特征函數展開法（帶或不帶齊次邊界條件）3538.5  受迫振動膜與共振3588.6  泊松方程366第9章  定常問題的格林函數3749.1  引言3749.2  一維熱傳導方程3749.3  常微分方程邊值問題的格林函數3799.3.1  一維穩態熱傳導方程3799.3.2  參數變易法3799.3.3  格林函數的特征函數展開法3829.3.4  狄拉克δ函數及其與格林函數的關繫3849.3.5  非齊次邊界條件3919.3.6  小結3929.4  弗雷德霍姆擇一性與廣義格林函數3989.4.1  概述3989.4.2  弗雷德霍姆擇一性4009.4.3  廣義格林函數4029.5  泊松方程的格林函數4099.5.1  概述4099.5.2  多維狄拉克δ函數與格林函數4109.5.3  用特征函數展開法表示格林函數與弗雷德霍姆擇一性4119.5.4  格林函數的直接解法（一維特征函數）（可選）4139.5.5  用格林函數解帶非齊次邊界條件的問題4159.5.6  無窮空間格林函數4169.5.7  用無窮空間格林函數得到有界區域的格林函數4199.5.8  用無窮空間格林函數求半無窮平面（y>0）的格林函數：像源法4209.5.9  圓的格林函數：像源法4239.6  擾動特征值問題4309.6.1  概述4309.6.2  數學例子4319.6.3  擬圓膜振動4329.7  小結435第10章  無窮域問題：偏微分方程的傅裡葉變換解法43710.1  引言43710.2  無窮域上的熱傳導方程43710.3  傅裡葉變換對44110.3.1  傅裡葉級數恆等式的啟示44110.3.2  傅裡葉變換44210.3.3  高斯函數的傅裡葉逆變換44310.4  傅裡葉變換與熱傳導方程45010.4.1  熱傳導方程45010.4.2  傅裡葉變換熱傳導方程：導數的變換45510.4.3  卷積定理45710.4.4  傅裡葉變換性質小結46110.5  傅裡葉正弦和餘弦變換：半無窮區間上的熱傳導方程46310.5.1  概述46310.5.2  半無窮區間上的熱傳導方程Ⅰ46310.5.3  傅裡葉正弦和餘弦變換46510.5.4  導數的變換46610.5.5  半無窮區間上的熱傳導方程Ⅱ46710.5.6  傅裡葉正弦和餘弦變換表46910.6  應用變換求解的例子47310.6.1  無窮區間上的一維波動方程47310.6.2  半無窮帶上的拉普拉斯方程47510.6.3  半平面上的拉普拉斯方程47910.6.4  四分之一平面上的拉普拉斯方程48210.6.5  平面上的熱傳導方程（二維傅裡葉變換）48610.6.6  二重傅裡葉變換表49010.7  散射和逆散射495第11章  波動方程和熱傳導方程的格林函數49911.1  引言49911.2  波動方程的格林函數49911.2.1  概述49911.2.2  格林公式50011.2.3  互反性50211.2.4  使用格林函數50411.2.5  波動方程的格林函數50611.2.6  格林函數的另一個微分方程50611.2.7  一維波動方程的無窮空間格林函數和達朗貝爾解50711.2.8  三維波動方程的無窮空間格林函數（惠更斯原理）50911.2.9  二維無窮空間格林函數51111.2.10  小結51111.3  熱傳導方程的格林函數51411.3.1  概述51411.3.2  熱傳導方程的非自伴特性51511.3.3  格林公式51611.3.4  伴隨格林函數51711.3.5  互反性51811.3.6  用格林函數表示解51811.3.7  格林函數的另一個微分方程52011.3.8  擴散方程的無窮空間格林函數52111.3.9  熱傳導方程的格林函數（在半無窮域上）52211.3.10  熱傳導方程的格林函數（在有限區域上）523第12章  線性和擬線性波動方程的特征線法52712.1  引言52712.2  一階波動方程的特征線52812.2.1  概述52812.2.2  一階偏微分方程的特征線法52912.3  一維波動方程的特征線法53412.3.1  通解53412.3.2  初值問題（無窮區域）53612.3.3  達朗貝爾解54012.4  半無界弦和反射54312.5  定長振動弦的特征線法54812.6  擬線性偏微分方程的特征線法55212.6.1  特征線法55212.6.2  交通流量55312.6.3  特征線法(Q=0)55512.6.4  衝擊波55812.6.5  擬線性舉例57012.7  一階非線性偏微分方程57512.7.1  由波動方程推導出的短時距方程57512.7.2  求解均勻介質中的短時距方程和反射波57612.7.3  一階非線性偏微分方程579第13章  偏微分方程的拉普拉斯變換解法58113.1  引言58113.2  拉普拉斯變換的性質58113.2.1  概述58113.2.2  拉普拉斯變換的奇點58213.2.3  導數的變換58613.2.4  卷積定理58713.3  常微分方程初值問題的格林函數59113.4  波動方程的信號問題59313.5  有限長度振動弦的信號問題59713.6  波動方程及其格林函數60013.7  用復平面上的圍線積分計算拉普拉斯逆變換60313.8  利用拉普拉斯變換求解波動方程（復變量）608第14章  色散波：緩變、穩定性、非線性性和擾動法61114.1  引言61114.2  色散波和群速度61214.2.1  行波和色散關繫61214.2.2  群速度Ⅰ61514.3  波導61714.3.1  對f頻率集中周期性源的響應62014.3.2  模式傳播的格林函數62014.3.3  模式不傳播的格林函數62114.3.4  設計思路62214.4  光纖62314.5  群速度Ⅱ和穩定相位法62714.5.1  穩定相位法62814.5.2  對線性色散波的應用63014.6  緩變色散波（群速度和焦散曲線）63414.6.1  色散偏微分方程的近似解63414.6.2  焦散曲線的形成63614.7  波包絡方程（集中波數）64214.7.1  薛定諤方程64314.7.2  線性化KdV方程64514.7.3  非線性色散波：KdV方程64714.7.4  孤立子與逆散射65014.7.5  非線性薛定諤方程65214.8  穩定性和不穩定性65614.8.1  常微分方程和分歧理論簡介65614.8.2  偏微分方程穩定平衡解的基本例子66314.8.3  偏微分方程的典型不穩定平衡點和模式形成66414.8.4  不適定問題66714.8.5  微不穩定色散波和線性化復金茨堡–朗道方程66814.8.6  非線性復金茨堡–朗道方程67014.8.7  長波的不穩定性67

本書討論偏微分方程在工程技術科學與自然科學中的應用，以傅裡葉方法（傅裡葉級數、傅裡葉變換和拉普拉斯變換）作為講授的主線，講授的內容是高級工程數學、自然科學範疇的數學方法中非常重要的部分。