●第一函數及其導數 1
1.1 平面和空間的點和點集 1
a.點的序列:收斂性 1
b.平面上的點集 3
c.集合的邊界.閉集與開集 5
d.閉包作為極限點的集合 7
e.空間的點與點集 8
練習1.1 9
問題1.1 9
1.2 幾個自變量的函數 10
a.函數及其定義域 10
b.最簡單的函數 11
c.函數的幾何表示法 11
練習1.2 13
1.3 連續性 14
a.定義 14
函數的極限概念 16
c.無窮小函數的階 18
練習1.3 20
問題1.3 22
1.4 函數的偏導數 22
a.定義.幾何表示 22
練習1.4a 25
問題1.4a 27
b.例 27
c.偏導數的連續性與存在性 29
練習1.4c 30
d.微分次序的改變 31
練習1.4d 33
問題1.4d 34
1.5 函數的全微分及其幾何意義 34
a.可微性的概念 34
練習1.5a 37
問題1.5a 37
b.方向導數 37
練習1.5b 39
c.可微性的幾何解釋.切平面 40
練習1.5c 42
d.函數的微分 42
練習1.5d 45
e.在誤差計算方面的應用 45
練習1.5e 46
1.6 函數的函數(復合函數)與新自變量的引入 46
a.復合函數.鏈式法則 46
練習1.6a 50
問題1.6a 51
b.例 51
c.自變量的替換 53
練習1.6c 55
問題1.6c 56
1.函數的中值定理與泰勒定理 57
a.關於用多項式作近似的預備知識 57
練習1.7a 58
b.中值定理 58
練習1.7b 59
問題1.7b 60
c.多個自變量的泰勒定理 60
練習1.7c 62
問題1.7c 62
1.8 依賴於參量的函數的積分 63
a.例和定義 63
b.積分關於參量的連續性和可微性 65
練習1.8b 70
c.積分(次序)的互換.函數的光滑化 70
1.9 微分與線積分 72
a.線性微分型 72
b.線性微分型的線積分 75
練習1.9b 80
c.線積分對端點的相關性 80
1.10 線性微分型的可積性的基本定理 83
a.全微分的積分 83
b.線積分隻依賴於端點的必要條件 84
c.可積條件的不足 85
d.單連通集 88
e.基本定理 90
附錄 92
A.1 多維空間的聚點原理及其應用 92
a.聚點原理 92
b.柯西收斂準則.緊性 93
c.海涅–博雷爾覆蓋定理 94
d.海涅–博雷爾定理在開集所包含的閉集上的應用 95
A.2 連續函數的基本性質 96
A.3 點集論的基本概念 97
a.集合與子集合 97
b.集合的並與交 99
c.應用於平面上的點集 101
A.4 齊次函數 103
第二章 向量、矩陣與線性變換 105
2.1 向量的運算 105
a.向量的定義 105
b.向量的幾何表示 106
c.向量的長度, 方向夾角 108
d.向量的數量積 111
e.超平面方程的向量形式 113
f.向量的線性相關與線性方程組 115
練習2.1 120
2.2 矩陣與線性變換 121
a.基的變換, 線性空間 121
b.矩陣 125
c.矩陣的運算 128
d.方陣.逆陣.正交陣 130
練習2.2 135
2.3 行列式 136
a.二階與三階行列式 136
b.向量的線性型與多線性型 139
c.多線性交替型.行列式的定義 142
d.行列式的主要性質 146
e.行列式對線性方程組的應用 150
練習2.3 151
2.4 行列式的幾何解釋 155
a.向量積與三維空間中平行六面體的體積 155
b.行列式關於一列的展開式.高維向量積 161
c.高維空間中的平行四邊形的面積與平行多面體的體積 163
d.n 維空間中平行多面體的定向 168
e.平面與超平面的定向 171
f.線性變換下平行多面體體積的改變 172
練習2.4 173
2.5 分析中的向量概念 175
a.向量場 175
b.數量場的梯度 176
c.向量場的散度和旋度 179
d.向量族.在空間曲線論和質點運動中的應用 181
練習2.5 184
第三章 微分學的發展和應用 187
3.1 隱函數 187
a.一般說明 187
練習3.1a 187
b.幾何解釋 188
練習3.1b 189
c.隱函數定理 189
練習3.1c 192
d.隱函數定理的證明 193
練習3.1d 195
e.多於兩個自變量的隱函數定理 196
練習3.1e 197
3.2 用隱函數形式表出的曲線與曲面 197
a.用隱函數形式表出的平面曲線 197
練習3.2a 201
b.曲線的奇點 202
練習3.2b 204
c.曲面的隱函數表示法 204
練習3.2c 206
3.3 函數組、變換與映射 208
a.一般說明 208
練習3.3a 211
b.曲線坐標 211
練習3.3b 213
c.推廣到多於兩個變量的情形 213
練習3.3c 215
d.反函數的微商公式 216
練習3.3d 218
e.映射的符號乘積 221
練習3.3e 223
f.關於變換及隱函數組的逆的一般定理.素映射 224
練習3.3f 228
g.用逐次逼近法迭代構造逆映射 229
練習3.3g 234
h.函數的相依性 234
練習3.3h 236
i.結束語 236
練習3.3i 238
3.4 應用 238
a.曲面理論的要素 238
練習3.4a 246
b.一般保角變換 247
練習3.4b 249
3.5 曲線族、曲面族, 以及它們的包絡 249
a.一般說明 249
練習3.5a 251
b.單參量曲線的包絡 251
練習3.5b 254
c.例 254
練習3.5c 259
d.曲面族的包絡 260
練習3.5d 262
3.6 交錯微分型 263
a.交錯微分型的定義 263
練習3.6a 266
b.微分型的和與積 266
練習3.6b 268
c.微分型的外微商 268
練習3.6c 272
d.任意坐標繫中的外微分型 272
練習3.6d 280
3.7 優選與最小 280
a.必要條件 280
b.例 282
練習3.7b 284
c.帶有附加條件的優選與最小 285
練習3.7c 288
d.最簡單情形下不定乘數法的證明 288
練習3.7d 290
e.不定乘數法的推廣 291
練習3.7e 294
f.例 294
練習3.7f 297
附錄 299
A.1 極值的充分條件 299
練習A.1 303
A.2 臨界點的個數與向量場的指數 305
練習A.2 311
A.3 平面曲線的奇點 312
練習A.3 314
A.4 曲面的奇點 314
練習A.4 314
A.5 流體運動的歐拉表示法與拉格朗日表示法之間的聯繫 315
練習A.5 316
A.6 閉曲線的切線表示法與周長不等式 316
練習A.6 318
第四章 多重積分 319
4.1 平面上的面積 319
a.面積的若爾當測度的定義 319
b.一個沒有面積的集合 322
c.面積的運算法則 322
練習4.1 324
4.2 二重積分 325
a.作為體積的二重積分 325
b.積分的一般分析概念 326
c.例 329
d.記號、推廣和基本法則 331
e.積分估計與中值定理 332
4.3 三維及高維區域上的積分 334
4.4 空間微分、質量與密度 335
4.5 化重積分為累次單積分 336
a.在矩形上的積分 336
b.積分交換次序.積分號下求微分 338
c.在更一般的區域上化二重積分為單重積分 340
d.在多維區域中的推廣 343
4.6 重積分的變換 345
a.平面上的積分的變換 345
b.高於二維的區域 349
練習4.6 350
4.7 廣義多重積分 352
a.有界集上函數的廣義積分 353
b.廣義積分一般收斂定理的證明 356
c.無界區域上的積分 359
練習4.7 361
4.8 在幾何中的應用 362
a.體積的初等計算 362
b.體積計算的一般性附注.旋轉體在球坐標繫中的體積 364
c.曲面的面積 365
練習4.8 372
4.9 在物理中的應用 373
a.矩和質心 373
b.慣性矩 376
c.復合擺 377
d.吸引質量的勢 379
練習4.9 383
4.10 在曲線坐標中的重積分 385
a.重積分的分解 385
b.應用到移動曲線掃過的面積和移動曲面掃過的體積.古魯金公式.配極求積儀 388
4.11 任意維數的體積和曲面面積 392
a.高於三維的曲面面積和曲面積分 392
b.n 維空間中的球體面積和體積 394
c.推廣.參數表示 397
練習4.11 400
4.12 作為參數的函數的廣義單積分 401
a.一致收斂性.對參數的連續依賴性 401
b.廣義積分對參數的微分法和積分法 403
c.例 406
d.菲涅耳積分值的計算 411
練習4.12 411
4.13 傅裡葉積分 413
a.引言 413
b.例 415
c.傅裡葉積分定理的證明 417
d.傅裡葉積分定理的收斂速度 421
e.傅裡葉變換的帕塞瓦爾等式 423
函數的傅裡葉變換 425
練習4.13 431
4.14 歐拉積分(伽馬函數)431
a.定義和函數方程 431
b.凸函數.波爾– 摩爾路波定理的證明 433
c.伽馬函數的無窮乘積 437
d.延拓定理 440
e.貝塔函數 442
f.分數次微商和積分, 阿貝爾積分方程 444
練習4.14 446
附錄積分過程的詳細分析 448
A.1 面積 448
a.平面的分劃和相應的內、外面積 448
b.若爾當可測集及其面積 450
c.面積的基本性質 451
A.函數的積分 455
a.函數f(x, y)的積分的定義 455
b.連續函數的可積性與在集合上的積分 457
c.重積分的基本法則 459
d.化重積分為累次單積分 462
A.3 面積與積分的變換 464
a.集合的映射 464
b.重積分的變換 469
A.4 關於曲面面積定義的附注 470
第五章 曲面積分和體積分之間的關繫 472
5.1 線積分和平面上的重積分之間的聯繫(高斯、斯托克斯和格林的積分定理)472
5.2 散度定理的向量形式.斯托克斯定理 479
練習5.2 482
5.3 二維分部積分公式.格林定理.散度定理 482
5.4 散度定理應用於重積分的變量替換 484
a.1-1 映射的情形 484
b.積分的變量替換和映射度 486
5.5 面積微分, 將Δu 變到極坐標的變換 490
5.6 用二維流動解釋格林和斯托克斯公式 493
5.7 曲面的定向 498
a.三維空間中二維曲面的定向 498
b.在定向曲面上曲線的定向 507
練習5.7 508
5.8 曲面上微分形式和數量函數的積分 509
a.定向平面區域上的重積分 509
b.二階微分形式的曲面積分 511
c.定向曲面上微分形式的積分和非定向曲面上數量函數的積分之間的關繫 513
5.9 空間情形的高斯定理和格林定理 516
a.高斯定理 516
練習5.9a 519
b.高斯定理在流體流動中的應用 520
c.高斯定理在空間力和曲面力上的應用 522
d.分部積分和三維空間中的格林定理 524
e.應用格林定理把ΔU 變換成球坐標的形式 524
練習5.9e 527
5.10 空間斯托克斯定理 528
a.定理的敘述和證明 528
練習5.10a 531
b.斯托克斯定理的物理解釋 531
練習5.10b 533
5.11 高維積分恆等式 538
附錄 曲面和曲面積分的一般理論 540
A.1 三維空間中的曲面和曲面積分 540
a.基本曲面 540
b.函數在基本曲面上的積分 543
c.定向基本曲面 544
d.簡單曲面 546
e.單位分解以及在簡單曲面上的積分 549
A.2 散度定理 551
a.定理的敘述及其不變性 551
b.定理的證明 552
A.3 斯托克斯定理 555
A.4 在高維歐氏空間中的曲面和曲面積分 557
a.基本曲面 557
b.微分形式在定向基本曲面上的積分 559
c.簡單m 維曲面 560
A.5 高維空間中簡單曲面上的積分、高斯散度定理和一般的斯托克斯公式 562
第六章 微分方程 565
6.1 空間質點運動的微分方程 565
a.運動方程 565
b.能量守恆原理 566
c.平衡.穩定性 568
d.在平衡位置附近的小振動 570
e.行星運動 573
練習6.1e 578
f.邊值問題.有載荷的纜與有載荷的梁 579
6.2 一般的一階線性微分方程 584
a.分離變量法 584
b.一階線性方程 586
練習6.2 587
6.3 高階線性微分方程 589
a.疊加原理.通解 589
b.二階齊次微分方程 592
練習6.3b 594
c.非齊次微分方程.參數變易法 595
練習6.3c 599
6.4 一般的一階微分方程 600
a.幾何解釋 600
b.曲線族的微分方程.奇解.正交軌線 602
c.解的存在專享性定理 604
練習6.4 607
6.5 微分方程組和高階微分方程 610
練習6.5 611
6.6 用待定繫數法求積分 612
練習6.6 613
6.7 電荷引力的位勢和拉普拉斯方程 614
a.質量分布的位勢 614
b.位勢的微分方程 617
c.均勻雙層位勢 618
d.平均值定理 620
e.圓的邊值問題.泊松積分 622
練習6.7 624
6.8 來自數學物理的偏微分方程的其他例子 624
a.一維波動方程 624
b.三維空間的波動方程 625
c.自由空間中的麥克斯韋方程組 627
練習6.8 630
第七章 變分學 633
7.1 函數及其極值 633
7.2 泛函極值的必要條件 636
a.第一變分等於零 636
練習7.2a 637
b.歐拉微分方程的推導 637
c.基本引理的證明 640
d.一些特殊情形的歐拉微分方程的解.例子 641
練習7.2d 644
e.歐拉表達式恆等於零的情形 645
7.3 推廣 646
a.具有多於一個自變函數的積分 646
b.例 647
練習7.3b 649
c.哈密頓原理.拉格朗日方程 649
d.含高階導數的積分 650
e.多自變量 651
7.4 含附帶條件的問題.拉格朗日乘子 653
a.通常的附帶條件 653
練習7.4a 655
b.其他類型的附帶條件 655
練習7.4b 656
第八章 單復變函數 659
8.1 冪級數表示的復函數 659
a.極限.復數項的無窮級數 659
b.冪級數 661
c.冪級數的微分法和積分法 662
d.冪級數的例子 665
8.2 單復變函數一般理論的基礎 666
a.可微性條件 666
b.微分學的最簡單運算 668
c.保角變換.反函數 671
8.3 解析函數的積分 672
a.積分的定義 672
b.柯西定理 674
c.應用.對數函數、指數函數及一般冪函數 675
8.4 柯西公式及其應用 679
a.柯西公式 679
b.解析函數的冪級數展式 681
c.函數論與位勢理論 683
d.柯西定理的逆定理 683
e.解析函數的零點,極點和留數 684
8.5 留數定理對復積分(圍道積分)的應用 685
a.證明公式 685
b.證明公式 686
c.留數定理對於有理函數的積分的應用 687
d.留數定理與常繫數微分方程 690
8.6 多值函數與解析開拓 691
練習 693
解答 702

本書繫統地闡述了微積分學的基本理論，在敘述上，作者盡量做到既嚴謹而又通俗易懂，並指出概念之間的內在聯繫和直觀背景，原書分兩卷:第一卷為單變量情形；第二卷為多變量情形，第二卷包括八章，第一章函數及其導數，包括線性微分型及其積分，補充了數學分析中最基本的概念的嚴密證明；第二章在線性代數方面為現代數學分析的基礎準備了充分的材料；第三章微分學的發展及應用，包括隱函數存在定理的嚴密證變換與映射的基本理論，曲線、曲面的微分幾何基礎知識以及外微分型等基本概念；第四章介紹多重積分；第五章講述面積分和體積分之間的關繫；第六章介紹微分方程；第七章介紹變分學；第八章介紹單復變函數，書後附有部分習題解答。讀者對像為高等學校理工科師生數學工作者和工程技術人員。