用數學思維去解決問題

數學是思維的科學，數學教學是設計思維活動的教學。思維是依附於具體情境或任務的一種存在，高階思維是學生數學核心素養生成的重要標識，也是依據情境的復雜性和任務的創新程度而定的思維方式，它是一種整體思維， 學生的高階思維能力越強，創新能力就越強。
新時代的數學教學已經從知識取向走向核心素養取向，基於核心素養的數學課堂教學必須順應時代要求，靈活運用科學方法，提高學生思維品質。
《高階思維與初中數學課堂》由上、下兩篇構成。上篇為研究篇，主要探究指向數學高階思維培養的繫列研究文章；下篇為實踐篇，主要側重學生高階思維培養的典型案例。全書將教學設計、實施以及評價整合為一體，從更全面的角度，為培養學生高階思維的課程開發和教學實施提供了理論支撐和實踐參考。旨在為學生創造非標準化或不熟悉的環境，讓他們去處置新的任務，解決非良構的問題。讓學生學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。

發展學生的高階思維是數學教學的重要目標，也是培育學生數學核心素養的重要任務與有力抓手。隨著課改的逐步深入，培養學生的高階思維，探討促進學生高階思維發展的數學教學設計與實施，是課程教學改革的重要課題。
本書作為第四期上海市普教繫統“雙名工程”高峰計劃攻堅課題“高階思維視域下的初中數學課堂實踐研究”和全國教育科學規劃教育部重點課題“基於證據的數學高階思維培養的行動研究”的階段性研究成果，意在為廣大教師提供培養學生高階思維的基本思路和實踐指南。
本書有以下特點：
（1）理論探討深入：本書構建了高階數學思維的“策略型—批判型—創新型”三維框架，既為指向高階思維的教學設計提供了理論基礎，又為相應二級指標的構建打下基礎；
（2）教學：本書提出了培養高階思維的多種策略，涉及數學探究、數學建模、學生提問、教師追問、問題變式、數學閱讀等，對教學實踐有很好的借鋻意義；
（3）教學案例豐富：本書生動、翔實地呈現了21個概念、命題、問題解決等課型以及復習課的教學案例，涉獵廣泛，蔚為大觀；
（4）注重與時俱進：本書還呈現了在線教學的精彩案例，對新冠疫情期間的在線教學提供了參考。

胡軍，上海市數學特級教師、正高級教師（首批），中國數學奧林匹克高級教練，蘇步青數學教育獎和上海市園丁獎獲得者。
現任上海市虹口區教育學院副院長，第四期上海市普教繫統“雙名工程”高峰計劃人員，上海市二期課改初中數學教材特約撰稿人，長三角基礎教育數學學科專家，上海市數學會第十三屆理事，華東師範大學教師教育學院數學教育研究所特聘專家，上海師範大學特聘教授、碩士生校外導師，上海市初中數學學科德育實訓基地教研指導專家，虹口領軍人纔，虹口區學科高地理事長。
在《課程?教材?教法》《數學教育學報》《數學通報》《教育理論與實踐》《數學教學》等學術期刊上發表論文30餘篇，領銜或核心參與的研究成果曾獲上海市基礎教育教學成果獎特等獎1項、二等獎2項。

序
前 言

上篇 學理探幽
01 SCI模型： 數學高階思維路徑解碼
02 教學設計： 點線面體讓思維走向高階
03 新課學習： 凸顯歷程讓思維可視
04 專題復習： 模塊教學的新探索
05 探究活動： 引燃高階思維的火花
06 在線教學： 一次全新的嘗試
07 有效追問： 思維進階的有力杠杆
08 學生提問： 奏響數學課堂最強音
09 課堂對話： 以問題與變式為驅動
10 數學建模： 助推思維躍遷的利器
11 數學閱讀： 為學生思維插上翅膀
12 教研設計： 一次主題研修的思考
13 現實折射： 思維障礙的表現與突破

下篇 實踐升華
01 分數運算的應用
02 完全平方公式（第一課時）
03 反比例函數的圖像和性質（第二課時）
04 平面直角坐標繫（第一課時）
05 一次函數的圖像及性質
06 平移
07 全等三角形的判定（第一課時）
08 直角三角形的性質（第一課時）
09 勾股定理（第一課時）
10 相似三角形的性質（第四課時）
11 圓和扇形的復習
12 平面直角坐標繫下的梯形問題
13 相似三角形的復習（第一課時）
14 相似三角形的復習（第二課時）
15 圖形的運動專題復習
16 將一個分數拆為幾個不同的單位分數之和
17 解密神奇的數學小魔術
18 生活中的函數
19 能折疊成正方體嗎？
20 滾動中的幾何計算
21 探究三角形的內接正方形的作法

後 記

前 言

隨著課改的逐步深入，越來越多的教師，不僅注意到了知識的傳授和能力的培養，更認識到思維培養特別是高階思維培養的重要性.《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面所具有的不可替代的作用.”研究表明，通過提供合適的教學條件，包括一繫列“刻意”練習，學習者的高階思維能力是可以培養的.
基於這樣的認識，第四期上海市普教繫統名校長名師培養工程（以下簡稱“雙名工程”）高峰計劃虹口區初中數學團隊，在綜合借鋻國內外相關研究成果，總結國內課程教學改革經驗的基礎上，著手開展“高階思維視域下的初中數學課堂實踐研究”攻堅課題和“基於證據的數學高階思維培養的行動研究”教育部重點課題研究，繫統思考數學課堂教學中，如何從教學設計、教學模式或策略等角度，探索促進學生高階思維的培養.希望通過高階思維課堂教學改進項目的研究推進，推動數學課堂教學轉型和人纔培養模式的變革.參與項目研究的人員主要來自虹口區教育繫統教師專業人纔梯隊和上海市“雙名工程”團隊，大多數從事初中數學一線教學.
本書由上、下兩篇構成.
上篇“學理探幽”，由13篇項目研究的理論成果組成，既涵蓋數學高階思維SCI模型的理論成果，也包括其在各種課型如新課學習、專題復習中的運用，還具體闡述了高階思維培養的常見策略，如數學建模、數學閱讀、課堂對話、學生提問、有效追問等的運用，以期讓讀者對數學高階思維的理解與培養形成更“整體”的理解.
下篇“實踐升華”，由參與研究實踐的一線教師撰寫的21篇教學案例組成，每篇案例由六個部分構成： 內容及其解析、學情分析、目標及其解析、教學過程設計及其說明、課堂實錄片段、教學反思.“內容及其解析”分析案例的學習內容，教學重點、難點；“學情分析”分析學生特點、學習基礎、思維表現等；“目標及其解析”說明教學目標以及達成目標的表現標準；“教學過程設計及其說明”側重以問題為導向開展教學設計，說明師生活動和設計意圖，注重關注相關教學策略；“課堂實錄片段”用師生對話的形式記錄課堂教學片段；“教學反思”圍繞高階思維培養的相應教學策略作出具體闡述.
本書作為第四期上海市普教繫統“雙名工程”高峰計劃攻堅課題“高階思維視域下的初中數學課堂實踐研究”和全國教育科學規劃教育部重點課題“基於證據的數學高階思維培養的行動研究（編號DHA200321）”的階段性研究成果，意在為廣大教師提供培養學生高階思維的基本思路和實踐指南，但無論從理論層面，還是實踐操作層面，仍存諸多待完善之處，希望通過後續研究的深入，本書能夠得到進一步充實修訂和完善，也希望廣大數學教育研究者和教師提出寶貴意見和建議.
“高階思維視域下的初中數學課堂實踐研究”課題組
“基於證據的數學高階思維培養的行動研究”課題組
2021年9月

從古希臘開始直到20世紀初以前，許許多多歷史文化名人都提出過自己的數學教育價值觀，其中的大多數都將“思維訓練”作為數學最重要的價1世紀，古羅馬教育家昆體良（M.F. Quintilian）認為，數學學習訓練思維能力、智力和理解力；18世紀，英國神學家貝克萊（G. Berkley）認為，數學讓人養成嚴密、精確、有法可依的推理習慣，這種習慣加強了人的思維能力；19—20世紀之交，英國數學家培利（J. Perry）指出：“數學給人以與手腳一樣易於使用的思維工具，使他們能夠終身接受教育，並為此動用所有的經驗.”因此，培養學生的數學思維是數學教育的重要目標.
長期以來，關於數學思維，人們往往從兩個方向去做理論研究，一是數學思維的分類，目前，人們熟悉的數學思維有歸納、類比、抽像、演繹、轉化、構造、反駁，等等；二是數學思維水平的劃分，人們熟悉的有範希爾幾何思維理論，該理論將幾何思維分成視覺（visualization）、分析（analysis）、抽像（abstraction）、演繹（deduction）和嚴密性（rigor）五個水平.兩個方向上的研究對於數學教學都有著重要的指導意義：思維的分類有助於教師在教學中選擇特定的材料和方法，而思維水平的劃分則有助於教師確定培養的目標和定位.
由初中數學名師胡軍老師編著的《高階思維與初中數學課堂》呈現了胡老師及其研究團隊在數學思維領域兩個方向上的研究成果，是新時代初中數學教育的一部力作.本書有以下特點：
●理論探討深入：本書構建了高階數學思維的“策略型—批判型—創新型”三維框架，既為指向高階思維的教學設計提供了理論基礎，又為相應二級指標的構建打下基礎；
●教學：本書提出了培養高階思維的多種策略，涉及數學探究、數學建模、學生提問、教師追問、問題變式、數學閱讀等，對教學實踐有很好的借鋻意義；
●教學案例豐富：本書生動、翔實地呈現了21個概念、命題、問題解決等課型以及復習課的教學案例，涉獵廣泛，蔚為大觀；
●注重與時俱進：本書還呈現了在線教學的精彩案例，對新冠疫情期間的在線教學提供了參考.
近年來，胡軍老師主持第四期上海市普教繫統名校長名師培養工程高峰計劃攻堅課題“高階思維視域下的初中數學課堂實踐研究”和全國教育科學“十三五“規劃教育部重點課題“基於證據的數學高階思維培養的行動研究”（編號DHA200321），項目組在“高階思維”的理論和實踐上取得了豐碩的成果.在項目組中，既有教育研究和教育技術的行家裡手，也有經驗豐富、富有情懷的一線教師.筆者多次參加課題研討和課例研究活動，課題組扎實、規範的實證研究和嚴謹、踏實的研究風氣給筆者留下十分深刻的印像.
在中學，課堂教學是第一位的，而科研往往被看成是一種可有可無的“副業”，在很多教師眼裡，課題研究、論文發表隻是為了評職稱而做出的無奈選擇.然而，從本書的字裡行間，我們深切地感受到，“科研反哺教學”之說絕非僅僅適用於高校教師，也同樣適用於中學一線教師；我們甚至可以斷言：科研是教師從經驗型走向專家型的必由之路.
本書隻是“高階思維”項目組的部分研究成果，在祝賀本書出版的同時，我們也期待胡軍老師及其團隊的更多理論和實踐研究成果的面世；同時，我們也深信，本書的出版必將引發中學數學教育界關於高階思維的廣泛關注和實踐應用.
一個課題的背後是精彩的學術園地，一個方向的終點是美好的教育品質.親愛的讀者，打開這部佳作，走進這個園地，體會這份品質，為自己找到一條理想的專業發展之路吧.


汪曉勤
（華東師範大學教師教育學院教授，博士生導師）
2021年9月1日於華東師範大學