日本數學家、"日本現代數學之父"高木貞治創作的分析學入門名著
哺育小平邦彥、伊籐清等一代數學家的“數學聖經”
岩波定本特別收錄
關於“Takagi函數”的解讀文章

高木貞治先生是世界一流的數學家，也是一位優秀的數學教科書創作者。他編寫的數學教科書，至今仍有許多學生在閱讀。這本《數學分析概論》（解析概論）被譽為日本數學教科書的典範。可以說，是這本書培養出了日本所有的數學家。
——日本岩波書店編輯部

本書為日本數學家、“日本現代數學之父”高木貞治創作的分析學入門名著。作為銜接古典與現代的集大成之作，它被譽為日本現代數學發展的“不動之根基”，也成為日本所有微積分教材、專著的參考原點。本書從嚴密的實數理論出發，以初等函數理論為重點，用直觀、易讀的講義式敘述方式，追溯了微分、積分概念的起源與數學分析理論發展的歷史軌跡，將數學分析的發展脈絡與整體結構清晰地呈現在讀者眼前。日本岩波書店的“定本”版本，在第3版修訂版的基礎上，還收錄了關於“Takagi函數”的解讀文章。
本書適合相關專業的本科生、研究生和教師閱讀學習，也適合作為數學、物理等領域的研究者的參考資料。

高木貞治
1875—1960，日本數學家，日本東京大學教授。
1897年畢業於日本東京大學，1898年留學德國，師從著名數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）。他解決了“克羅內克的青春之夢”問題中關於“高斯整數的虛數乘法”的問題。1920年，他通過對希爾伯特的絕對類域的一般化推廣創建了類域論，構建了代數體的阿貝爾擴張理論，推動了現代數學的發展。另外，他也因對日本現代數學的奠基性貢獻而被譽為“日本現代數學之父”。他於1925年當選帝國學士院會員，於1932年被選為國際數學家大會主席及第一屆菲爾茲獎評委會成員，於1940年獲得日本**科學榮譽文化勛章。著有《數學小景》《數的概念》《代數整數論》《代數學講義》《初等數論講義》《近世數學史談》《數學雜談》等。

目錄

第3 版修訂版序言
第2 版增訂版序言
第1 版前言

第1 章 基本概念1
§1數的概念1
§2數的連續性3
§3數的集合·上確界·下確界4
§4數列的極限5
§5區間套法10
§6收斂條件與柯西判別法12
§7聚點15
§8函數17
§9關於連續變量的極限21
§10連續函數25
§11連續函數的性質28
§12區域 · 邊界31
習題35

第2 章 微分37
§13微分與導函數37
§14微分法則40
§15復合函數的微分42
§16反函數的微分法則45
§17指數函數和對數函數48
§18導函數的性質51
§19高階微分法則55
§20凸函數56
§21偏微分58
§22可微性與全微分60
§23微分的順序62
§24高階全微分65
§25泰勒公式67
§26極大極小74
§27切線和曲率81
習題93

第3 章 積分96
§28古代求積方法96
§29微分發明之後的求積方法98
§30定積分101
§31定積分的性質108
§32積分函數， 原函數112
§33積分定義擴展 (廣義積分)116
§34積分變量的變換125
§35乘積的積分 (分部積分或分式積分)128
§36勒讓德球函數135
§37不定積分計算139
§38定積分的近似計算143
§39有界變差函數148
§40曲線的長度151
§41線積分156
習題160

第4 章 無窮級數與一致收斂163
§42無窮級數163
§43絕對收斂和條件收斂164
§44絕對收斂的判別法168
§45條件收斂的判別法173
§46一致收斂176
§47無窮級數的微分和積分179
§48關於連續變量的一致收斂， 積分符號下的微分和積分184
§49二重數列195
§50二重級數197
§51無窮積204
§52冪級數208
§53指數函數和三角函數217
§54指數函數和三角函數的關繫， 對數函數和反三角函數222
習題229

第5 章 解析函數及初等函數232
§55解析函數232
§56積分236
§57柯西積分定理241
§58柯西積分公式， 解析函數的泰勒展開247
§59解析函數的孤立奇點251
§60z = ∞ 處的解析函數256
§61整函數257
§62定積分計算 (實變量)258
§63解析延拓264
§64指數函數和三角函數268
§65對數 ln z 和一般冪 zα277
§66有理函數的積分理論282
§67二次平方根的不定積分287
§68Γ 函數290
§69斯特林公式301
習題307

第6 章 傅裡葉展開314
§70傅裡葉級數314
§71正交函數繫315
§72任意函數繫的正交化316
§73正交函數列表示的傅裡葉展開318
§74傅裡葉級數累加平均求和法 (費耶定理)322
§75光滑周期函數的傅裡葉展開325
§76非連續函數的情況326
§77傅裡葉級數的例子329
§78魏爾斯特拉斯定理333
§79積分第二中值定理336
§80關於傅裡葉級數的狄利克雷–若爾當條件338
§81傅裡葉積分公式341
習題343

第7 章 微分續篇 (隱函數)345
§82隱函數345
§83反函數351
§84映射354
§85對解析函數的應用359
§86曲線方程364
§87曲面方程369
§88包絡線373
§89隱函數的極值375
習題379

第8 章 多變量積分381
§9以上的定積分381
§91面積的定義和體積的定義382
§92一般區域上的積分387
§93化積分391
§94積分意義的擴展 (廣義積分)398
§95多變量定積分表示的函數405
§96變量變換408
§97曲面面積421
§98曲線坐標 (體積、曲面積和弧長等的變形)429
§99正交坐標437
§100面積分441
§101向量記號443
§102高斯定理445
§103斯托克斯定理453
§104全微分條件457
習題461

第9 章 勒貝格積分464
§105集合運算464
§106加法集合類 (σ 繫)468
§107M 函數468
§108集合的測度473
§109積分475
§110積分的性質479
§111可加集合函數488
§112絕對連續性和奇異性492
§113歐式空間和區間的體積495
§114勒貝格測度497
§115零集合503
§116開集合和閉集合505
§117博雷爾集合509
§118積分表示的集合測度510
§119累次積分516
§120與黎曼積分的比較517
§121斯蒂爾切斯積分519
§122微分定義521
§123Vitali 覆蓋定理523
§124可加集合函數的微分526
§125不定積分的微分530
§126有界變差和絕對連續的點函數532

附錄I 無理數論535
§1有理數分割535
§2實數的大小536
§3實數的連續性537
§4加法538
§5絕對值540
§6極限540
§7乘法542
§8冪和冪根543
§9實數集合的一個性質544
§10復數545

附錄II 若干特殊曲線547

補遺關於處處不可微的連續函數551