對於大多數學生來說，微積分或許是他們曾經上過的倍感迷茫且很受挫折的一門課程了。本書不僅讓學生們能有效地學習微積分，更重要的是提供了戰勝微積分的可靠工具。
本書源於風靡美國普林斯頓大學的阿德裡安·班納教授的微積分復習課程，他激勵了一些考試前想獲得成功但考試結果卻平平的學生。
作者班納是美國普林斯頓大學的知名數學教授，並擔任新技術研究中心主任。他的授課風格非正式、有吸引力並完全不強求，甚至在不失其詳盡性的基礎上又增添了許多娛樂性，而且他不會跳過討論一個問題的任何步驟。
這本經典著作將易用性與可讀性以及內容的深度與數學的嚴謹完美地結合在一起。對於每一個想要掌握微積分的學生來說，本書都是極好的資源。當然，非數學專業的學生也將大大受益。

本書是作者多年來給普林斯頓大學本科一年級學生開設微積分的每周復習課。本書專注於講述解題技巧，目的是幫助讀者微積分的主要概念。深入處理一些基本內容，還復習一些主題。本書不僅可以作為參考書，也可以作為教材，定會成為任何一位需要微積分知識人微積分的非常好的指導書。

阿德裡安·班納（Adrian Banner），澳大利亞新南威爾士大學數學學士及碩士，普裡斯頓大學數學博士。2002年起任職於INTECH公司，現為INTECH公司首席執行官兼首席投資官。同時，他在普林斯頓大學教學數學繫任兼職教師。

第1 章函數、圖像和直線… … … … … … … …1
1．1函數… … … … … … … …1
1．1．1區間表示法… … … … … … … …3
1．1．2求定義域… … … … … … … …3
1．1．3利用圖像求值域… … … … … … … …4
1．1．4垂線檢驗… … … … … … … …5
1．2反函數… … … … … … … …6
1．2．1水平線檢驗… … … … … … … …7
1．2．2求反函數… … … … … … … …8
1．2．3限制定義域… … … … … … … …8
1．2．4反函數的反函數… … … … …9
1．3函數的復合… … … … … … … … … … … … …10
1．4奇函數和偶函數… … … … … … … … … …12
1．5線性函數的圖像… … … … … … … … … …14
1．6常見函數及其圖像… … … … … … … … …16
第2章三角學回顧… … … … … … … … … … … … …21
2．1基本知識… … … … … … … … … … … … … … …21
2．2擴展三角函數定義域… … … … … … …23
2．2．1ASTC 方法… … … … … … … …25
2．2．2[0， 2π] 以外的三角函數… … … … … … … … … … … … …27
2．3三角函數的圖像… … … … … … … … … …29
2．4三角恆等式… … … … … … … … … … … … …32
第3章極限導論… … … … … … … … … … … … … … …34
3．1極限：基本思想… … … … … … … … … …34
3．2左極限與右極限… … … … … … … … … …36
3．3何時不存在極限… … … … … … … … … …37
3．4在∞和-∞處的極限… … … … …38
3．5關於漸近線的兩個常見誤解… … …41
3．6三明治定理… … … … … … … … … … … … …43
3．7極限的基本類型小結… … … … … … …45
第4章求解多項式的極限問題… … … … … …47
4．1x → a 時的有理函數的極限… … …47
4．2x → a 時的平方根的極限… … … …50
4．3x → ∞時的有理函數的極限… …51
4．4x → ∞時的多項式型函數的極限… …56
4．5x → -∞ 時的有理函數的極限… … … … …59
4．6包含絕對值的函數的極限… … … …61
第5章連續性和可導性… … … … … … … … … …63
5．1連續性… … … … … … … … … … … … … … … …63
5．1．1在一點處連續… … … … … … …63
5．1．2在一個區間上連續… … … …64
5．1．3連續函數的一些例子… …65
5．1．4介值定理… … … … … … … … … …67
5．1．5一個更難的介值定理
例子…… … … … … … … … … … … …69
5．1．6連續函數的最大值和
最小值…… … … … … … … … … …70
5．2可導性… … … … … … … … … … … … … … … …71
5．2．1平均速率… … … … … … … … … …72
5．2．2位移和速度… … … … … … … …72
5．2．3瞬時速度… … … … … … … … … …73
5．2．4速度的圖像闡釋… … … … …74
5．2．5切線… … … … … … … … … … … … …75
5．2．6導函數… … … … … … … … … … …77
5．2．7作為極限比的導數… … … …78
5．2．8線性函數的導數… … … … …80
5．2．9二階導數和更高階導數… … … … … … … … … … … … …80
5．2．10何時導數不存在… … … … …81
5．2．11可導性和連續性… … … … …82
第6章求解微分問題… … … … … … … … … … …84
6．1使用定義求導… … … … … … … … … … … …84
6．2用更好的辦法求導… … … … … … … … …87
6．2．1函數的常數倍… … … … … … …88
6．2．2函數和與函數差… … … … …88
6．2．3通過乘積法則求積函數的導數… … … … … … … … … …88
6．2．4通過商法則求商函數的導數… … … … … … … … … …90
6．2．5通過鏈式求導法則求復合函數的導數… … … …91
6．2．6那個難以處理的例子… …94
6．2．7乘積法則和鏈式求導法則的理由… … … … … … …96
6．3求切線方程… … … … … … … … … … … … …98
6．4速度和加速度… … … … … … … … … … … …99
6．5導數偽裝的極限… … … … … … … … … …101
6．6分段函數的導數… … … … … … … … … …103
6．7直接畫出導函數的圖像… … … … … …106
第7章三角函數的極限和導數… … … … … …111
7．1三角函數的極限… … … … … … … … … …111
7．1．1小數的情況… … … … … … … …111
7．1．2問題的求解——小數的情況… … … … … … … … … … …113
7．1．3大數的情況… … … … … … … …117
7．1．4其他的" 情況… … … … … …120
7．1．5一個重要極限的證明… …121
7．2三角函數的導數… … … … … … … … … …124
7．2．1求三角函數導數的例子… … … … … … … … … … … … …127
7．2．2簡諧運動… … … … … … … … … …128
7．2．3一個有趣的函數… … … … …129
第8章隱函數求導和相關變化率… … … …132
8．1隱函數求導… … … … … … … … … … … … …132
8．1．1技巧和例子… … … … … … … …133
8．1．2隱函數求二階導… … … … …137
8．2相關變化率… … … … … … … … … … … … …138
8．2．1一個簡單的例子… … … … …139
8．2．2一個稍難的例子… … … … …141
8．2．3一個更難的例子… … … … …142
8．2．4一個非常難的例子… … … …144
第9章指數函數和對數函數… … … … … … …148
9．1基礎知識… … … … … … … … … … … … … … …148
9．1．1指數函數的回顧… … … … …148
9．1．2對數函數的回顧… … … … …149
9．1．3對數函數、指數函數及反函數… … … … … … … … … …150
9．1．4對數法則… … … … … … … … … …151
9．2e 的定義… … … … … … … … … … … … … … …153
9．2．1一個有關復利的問題… …153
9．2．2問題的答案… … … … … … … …154
9．2．3更多關於e 和對數函數的內容… … … … … … … …156
9．3對數函數和指數函數求導… … … …158
9．4求解指數函數或對數函數的極限… … … … … … …… … … …161
9．4．1涉及e 的定義的極限… …161
9．4．2指數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …162
9．4．3對數函數在1 附近的行為… … … … … … … … … … … … …164
9．4．4指數函數在∞或-∞附近的行為… … … … …164
9．4．5對數函數在∞附近的行為… … … … … … … … … … … … …167
9．4．6對數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …168
9．5取對數求導法… … … … … … … … … … … …169
9．6指數增長和指數衰變… … … … … … …173
9．6．1指數增長… … … … … … … … … …174
9．6．2指數衰變… … … … … … … … … …176
9．7雙曲函數… … … … … … … … … … … … … … …178
第10章反函數和反三角函數… … … … … …181
10．1導數和反函數… … … … … … … … … … …181
10．1．1使用導數證明反函數存在… … … … … … … … … … … …181
10．1．2導數和反函數：可能出現的問題… … … … … … … …182
10．1．3求反函數的導數… … … … …183
10．1．4一個綜合性例子… … … … …185
10．2反三角函數… … … … … … … … … … … …187
10．2．1反正弦函數… … … … … … … …187
10．2．2反餘弦函數… … … … … … … …190
10．2．3反正切函數… … … … … … … …192
10．2．4反正割函數… … … … … … … …194
10．2．5反餘割函數和反餘切函數… … … … … … … … … … … …195
10．2．6計算反三角函數… … … … …196
10．3反雙曲函數… … … … … … … … … … … …199
第11章導數和圖像… … … … … … … … … … … …202
11．1函數的極值… … … … … … … … … … … …202
11．1．1全局極值和局部極值… …202
11．1．2極值定理… … … … … … … … …203
11．1．3求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … …204
11．2羅爾定理… … … … … … … … … … … … … …206
11．3中值定理… … … … … … … … … … … … … …209
11．4二階導數和圖像… … … … … … … … …212
11．5對導數為零點的分類… … … … … …215
11．5．1使用一次導數… … … … … …215
11．5．2使用二階導數… … … … … …217
第12章繪制函數圖像… … … … … … … … … … …219
12．1建立符號表格… … … … … … … … … … …219
12．1．1建立一階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …221
12．1．2建立二階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …222
12．2繪制函數圖像的全面方法… … …224
12．3例題… … … … … … … … … … … … … … … … …225
12．3．1一個不使用導數的例子… … … … … … … … … … … …225
12．3．2完整的方法：例一… … …227
12．3．3完整的方法：例二… … …229
12．3．4完整的方法：例三… … …231
12．3．5完整的方法：例四… … …234
第13章最優化和線性化… … … … … … … … …239
13．1最優化… … … … … … … … … … … … … … …239
13．1．1一個簡單的最優化例子… … … … … … … … … … … …239
13．1．2最優化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …240
13．1．3一個最優化的例子… … …241
13．1．4另一個最優化的例子… …242
13．1．5在最優化問題中使用隱函數求導… … … … … … … …246
13．1．6一個較難的最優化例子… … … … … … … … … … … …246
13．2線性化… … … … … … … … … … … … … … …249
13．2．1線性化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …251
13．2．2微分… … … … … … … … … … … …252
13．2．3線性化的總結和例子… …254
13．2．4近似中的誤差… … … … … …256
13．3牛頓法… … … … … … … … … … … … … … …258
第14章洛必達法則及極限問題總結… …263
14．1洛必達法則… … … … … … … … … … … …263
14．1．1類型A：0/0 … … … … … … …263
14．1．2類型A：±∞/±∞ … …266
14．1．3類型B1： (∞-∞) … …267
14．1．4類型B2： (0 x±∞) … …269
14．1．5類型C： 1±∞，00 或∞0… … … …270
14．1．6洛必達法則類型的總結… … … … … … … … … … … …272
14．2關於極限的總結… … … … … … … … …273
第15章積分… … … … … … … … … … … … … … … …276
15．1求和符號… … … … … … … … … … … … … …276
15．1．1一個有用的求和… … … … …279
15．1．2伸縮求和法… … … … … … … …280
15．2位移和面積… … … … … … … … … … … …283
15．2．1三個簡單的例子… … … … …283
15．2．2一段更常規的旅行… … …285
15．2．3有向面積… … … … … … … … …287
15．2．4連續的速度… … … … … … … …288
15．2．5兩個特別的估算… … … … …291
第16章定積分… … … … … … … … … … … … … … …293
16．1基本思想… … … … … … … … … … … … … …293
16．2定積分的定義… … … … … … … … … … …297
16．3定積分的性質… … … … … … … … … … …301
16．4求面積… … … … … … … … … … … … … … …305
16．4．1求通常的面積… … … … … …306
16．4．2求解兩條曲線之間的面積… … … … … … … … … … … …308
16．4．3求曲線與y 軸所圍成的面積… … … … … … … … … … …310
16．5估算積分… … … … … … … … … … … … … …313
16．6積分的平均值和中值定理… … …316
16．7不可積的函數… … … … … … … … … … …319
第17章微積分基本定理… … … … … … … … …321
17．1用其他函數的積分來表示的函數… … … … … … … … … …… …321
17．2微積分的第一基本定理… … … … …324
17．3微積分的第二基本定理… … … … …328
17．4不定積分… … … … … … … … … … … … … …329
17．5怎樣解決問題：微積分的第一基本定理… … … … … … … … … … … …331
17．5．1變形1：變量是積分下限… … … … … … … … … … … …332
17．5．2變形2：積分上限是一個函數… … … … … … … … …332
17．5．3變形3：積分上下限都為函數… … … … … … … … …334
17．5．4變形4：極限偽裝成導數… … … … … … … … … … … …335
17．6怎樣解決問題：微積分的第二基本定理… … … … … … … … … … … …336
17．6．1計算不定積分… … … … … …336
17．6．2計算定積分… … … … … … … …339
17．6．3面積和絕對值… … … … … …341
17．7技術要點… … … … … … … … … … … … … …344
17．8微積分第一基本定理的證明… …345
第18章積分的方法I… … … … … … … … … … …347
18．法… … … … … … … … … … … … … … …347
18．1．法和定積分… … … … …350
18．1．2… … … … … … … … …353
18．1．法的理論解釋… … …355
18．2分部積分法… … … … … … … … … … … …356
18．3部分分式… … … … … … … … … … … … … …361
18．3．1部分分式的代數運算… …361
18．3．2對每一部分積分… … … … …365
18．3．3方法和一個完整的例子… … … … … … … … … … … …367
第19章積分的方法II … … … … … … … … … …373
19．1應用三角恆等式的積分… … … … …373
19．2關於三角函數的冪的積分… … …376
19．2．1sin 或cos 的冪… … … … …376
19．2．2tan 的冪… … … … … … … … …378
19．2．3sec 的冪… … … … … … … … … …379
19．2．4cot 的冪… … … … … … … … … …381
19．2．5csc 的冪… … … … … … … … … …382
19．2．6約化公式… … … … … … … … …382
19．3關於法的積分… … … … …384
19．3．1類型1：pa2 ? x2 … … …384
19．3．2類型2：px2 + a2 … … …386
19．3．3類型3：px2 ? a2 … … …387
19．3．4配方和法… … …388
19．3．5關於法的總結… … … … … … … … … … … …389
19．3．6平方根的方法和法… … … … … … … … … … …389
19．4積分技巧總結… … … … … … … … … … …391
第20章反常積分：基本概念… … … … … …393
20．1收斂和發散… … … … … … … … … … … …393
20．1．1反常積分的一些例子… …395
20．1．2其他破裂點… … … … … … … …397
20．2關於無窮區間上的積分… … … … …398
20．3比較判別法(理論)… … … … … … … …400
20．4極限比較判別法(理論)… … … … …402
20．4．1函數互為漸近線… … … … …402
20．4．2關於判別法的陳述… … …404
20．5p 判別法(理論) … … … … … … … … …405
20．6絕對收斂判別法… … … … … … … … …407
第21章反常積分：如何解題… … … … … …410
21．1如何開始… … … … … … … … … … … … … …410
21．1．1拆分積分… … … … … … … … …410
21．1．2如何處理負函數值… … …411
21．2積分判別法總結… … … … … … … … …413
21．3常見函數在∞ 和-∞附近的表現… … … … … … … … … …414
21．3．1多項式和多項式型函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … … … … … … …415
21．3．2三角函數在∞ 和-∞ 附近的表現… … … …417
21．3．3指數在∞和-∞附近的表現… … … … … … … … …419
21．3．4對數在∞ 附近的表現… … … … … … … … … … … …422
21．4常見函數在0 附近的表現… … …426
21．4．1多項式和多項式型函數在0 附近的表現… … …426
21．4．2三角函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …427
21．4．3指數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …429
21．4．4對數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …430
21．4．5更一般的函數在0 附近的表現… … … … … … … … …431
21．5如何應對不在0 或1 處的瑕點… … … … … … … … … … …… … …432
第22章數列和級數：基本概念… … … … …434
22．1數列的收斂和發散… … … … … … … …434
22．1．1數列和函數的聯繫… … …435
22．1．2兩個重要數列… … … … … …436
22．2級數的收斂與發散… … … … … … … …438
22．3第n 項判別法(理論) … … … … … …442
22．4無窮級數和反常積分的性質… …443
22．4．1比較判別法(理論) … … …443
22．4．2極限比較判別法(理論) … … … … … … … … … … …444
22．4．3p 判別法(理論)… … … … …444
22．4．4絕對收斂判別法… … … … …445
22．5級數的新判別法… … … … … … … … …447
22．5．1比式判別法(理論) … … …447
22．5．2根式判別法(理論) … … …449
22．5．3積分判別法(理論) … … …450
22．5．4交錯級數判別法(理論) … … … … … … … … … … …453
第23章求解級數問題… … … … … … … … … …455
23．1求幾何級數的值… … … … … … … … …455
23．2應用第n 項判別法… … … … … … …457
23．3應用比式判別法… … … … … … … … …457
23．4應用根式判別法… … … … … … … … …461
23．5應用積分判別法… … … … … … … … …462
23．6應用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法… … … … … … … …463
23．7應對含負項的級數… … … … … … … …468
第24章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論… … … … … … … … …472
24．1近似值和泰勒多項式… … … … … …472
24．1．1重訪線性化… … … … … … … …472
24．1．2二次近似… … … … … … … … …473
24．1．3高階近似… … … … … … … … …474
24．1．4泰勒定理… … … … … … … … …475
24．2冪級數和泰勒級數… … … … … … … …478
24．2．1一般冪級數… … … … … … … …479
24．2．2泰勒級數和麥克勞林級數… … … … … … … … … … … …481
24．2．3泰勒級數的收斂性… … …481
24．3一個有用的極限… … … … … … … … …485
第25章求解估算問題… … … … … … … … … …487
25．1泰勒多項式與泰勒級數總結… …487
25．2求泰勒多項式與泰勒級數… … …488
25．3用誤差項估算問題… … … … … … … …491
25．3．1第一個例子… … … … … … … …492
25．3．2第二個例子… … … … … … … …494
25．3．3第三個例子… … … … … … … …495
25．3．4第四個例子… … … … … … … …496
25．3．5第五個例子… … … … … … … …497
25．3．6誤差項估算的一般方法… … … … … … … … … … … …499
25．4誤差估算的另一種方法… … … … …499
第26章泰勒級數和冪級數：如何解題… … … … … … … …… … … … …502
26．1冪級數的收斂性… … … … … … … … …502
26．1．1收斂半徑… … … … … … … … …502
26．1．2求收斂半徑和收斂區域… … … … … … … … … … … …504
26．2合成新的泰勒級數… … … … … … … …508
26．2．1代換和泰勒級數… … … … …509
26．2．2泰勒級數求導… … … … … …511
26．2．3泰勒級數求積分… … … … …512
26．2．4泰勒級數相加和相減… …514
26．2．5泰勒級數相乘… … … … … …515
26．2．6泰勒級數相除… … … … … …516
26．3利用冪級數和泰勒級數求導… …517
26．4利用麥克勞林級數求極限… … …519
第27章參數方程和極坐標… … … … … … …523
27．1參數方程… … … … … … … … … … … … … …523
27．2極坐標… … … … … … … … … … … … … … …528
27．2．1極坐標與笛卡兒坐標互換… … … … … … … … … … … …529
27．2．2極坐標繫中畫曲線… … …530
27．2．3求極坐標曲線的切線… …534
27．2．4求極坐標曲線圍成的面積… … … … … … … … … … … …535
第28章復數… … … … … … … … … … … … … … … …538
28．1基礎… … … … … … … … … … … … … … … … …538
28．2復平面… … … … … … … … … … … … … … …541
28．3復數的高次冪… … … … … … … … … … …544
28．4解zn = w … … … … … … … … … … … … …545
28．5解ez = w … … … … … … … … … … … … …550
28．6一些三角級數… … … … … … … … … … …552
28．7歐拉恆等式和冪級數… … … … … …554
第29章體積、弧長和表面積… … … … … …556
29．1旋轉體的體積… … … … … … … … … … …556
29．1．1圓盤法… … … … … … … … … … …557
29．1．2殼法… … … … … … … … … … … …558
29．1．3總結和變式… … … … … … … …560
29．1．4變式1：區域在曲線和y 軸之間… … … … … … …561
29．1．5變式2：兩曲線間的區域… … … … … … … … … … … …562
29．1．6變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉… … … … …565
29．2一般立體體積… … … … … … … … … … …567
29．3弧長… … … … … … … … … … … … … … … … …571
29．4旋轉體的表面積… … … … … … … … …574
第30章微分方程… … … … … … … … … … … … …578
30．1微分方程導論… … … … … … … … … … …578
30．2可分離變量的一階微分方程… …579
30．3一階線性方程… … … … … … … … … … …581
30．4常繫數微分方程… … … … … … … … …585
30．4．1解一階齊次方程… … … … …586
30．4．2解二階齊次方程… … … … …586
30．4．3為什麼特征二次方程適用… … … … … … … … … … … …587
30．4．4非齊次方程和特解… … …588
30．4．5求特解… … … … … … … … … … …589
30．4．6求特解的例子… … … … … …590
30．4．7解決yP 和yH 間的衝突… … … … … … … … … … … …592
30．4．8IVP … … … … … … … … … … … …593
30．5微分方程建模… … … … … … … … … … …595
附錄A極限及其證明… … … … … … … … … …598
A．1極限的正式定義… … … … … … … … … …598
A．2由原極限產生新極限… … … … … … …602
A．3極限的其他情形… … … … … … … … … …606
A．4連續與極限… … … … … … … … … … … … …611
A．5再談指數函數和對數函數… … … …616
A．6微分與極限… … … … … … … … … … … … …618
A．7泰勒近似定理的證明… … … … … … …627
附錄B估算積分… … … … … … … … … … … … …629
B．1使用條紋估算積分… … … … … … … …629
B．2梯形法則… … … … … … … … … … … … … …632
B．3辛普森法則… … … … … … … … … … … … …634
B．4近似的誤差… … … … … … … … … … … … …636
符號列表…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …640
索引…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …643