作為一門科學的邏輯學，是既古老又年輕的。說它古老，是說它歷史悠久，源遠流長；說它年輕，是說它朝氣蓬勃，充滿生機與活力，正處於新的發展高峰期。《邏輯學十五講》（第二版）正是對這樣一門科學的繫統介紹和通俗講解。

《邏輯學十五講》（第二版）是作者在北京大學開設全校通選課"邏輯導論"的講稿。全書繫統地論述了邏輯學的基本理論範疇和思維方法、技能，並介紹了歷史上幾位重要的邏輯學家。通過閱讀本書，讀者不難對邏輯學有一個基本的輪廓性了解，對其最基本的內容、方法和技能有較好的掌握，更重要的是激發進一步學習的興趣。本次修訂增加了新的研究成果，附錄四篇相關文章。

陳波， 1957年生，湖南常德人。現為北京大學哲學繫教授、博導。專業領域為現代邏輯和分析哲學，主要專著有《邏輯哲學引論》、《蒯因》、《馮·賴特》、《奎因哲學研究--從邏輯和語言的觀點看》、《愛默生》、《邏輯哲學導論》、《邏輯學是什麼》、《邏輯學導論》等。

"名家通識講座書繫"總序/
第二版自序/
初版自序/

第一講 天纔值得我們敬仰
--西方歷史上的邏輯學家/
一 亞裡士多德/
二 中世紀邏輯學家/
三 培根/
四 萊布尼茨/
五 弗雷格/
六 羅素/
七 哥德爾/
八 克裡普克/

第二講 給思維的野馬套上韁繩
--什麼是邏輯學？/
一 邏輯/
二 命題/
三 推理/
四 推理形式/
五 推理的省略形式/
六 推理形式的有效性/
七 論證：演繹和歸納/
八 推理或論證的可靠性/
九 前提對結論的支持或反駁程度/
十 邏輯基本規律/

第三講 "香格裡拉"和"馬太效應"
--詞項、概念和定義/
一 語詞、詞項和概念/
二 詞項的內涵和外延/
三 詞項的種類和外延關繫/
四 定義的方法和規則/
五 劃分與分類/

第四講 "假如生活欺騙了你……"
--復合命題及其推理/
一 簡單命題和復合命題/
二 聯言命題和聯言推理/
三 選言命題和選言推理/
四 假言命題和假言推理/
五 負命題及其等值命題/
六 幾種常用的復合命題推理/

第五講 "所有的金子都是閃光的"
--直言命題及其推理/
一 直言命題/
二 直接推理/
三 三段論/

第六講 "有的投票人贊成所有的候選人"
--量化命題及其推理/
一 個體詞、謂詞、量詞和公式/
二 自然語言中量化命題的符號化/
三 模型和賦值普遍有效式/
四 非普遍有效性的解釋方法/

第七講 "太陽明天仍將從東方升起"
--歸納推理和歸納方法/
一 什麼是歸納推理？/
二 簡單枚舉法/
三 排除歸納法/
四 類比推理/
五 統計歸納法/
六 歸納的證成/

第八講 以嚴格性、精確性、繫統性為目標
--邏輯邏輯/
一 什麼是邏輯繫統？/
二 邏輯繫統的構成/
四 形式化方法的意義/

第九講 換一個角度來思考……
--變異邏輯：一些另類繫統/
一 什麼是變異邏輯？/
二 多值邏輯/
三 相干邏輯/
四 直覺主義邏輯/
五 次協調邏輯/

第十講 "你不可能在所有時刻欺騙所有的人"
--廣義模態邏輯/
一 馮·賴特的廣義模態邏輯構想/
二 模態詞和模態邏輯/
三 可能世界語義學/
四 道義邏輯/
五 時態邏輯/
六 認知邏輯/

第十一講 意會："說話聽聲，鑼鼓聽音"
--自然語言邏輯/
一 語言的意義在於它的使用/
二 語境、預設與蘊涵/
三 言語行為理論/
四 合作原則、會話含義和語用推理/

第十二講 且聽莊子大侃"辯無勝"
--論證的識別和建構/
一 論證的識別/
二 論證的圖解/
三 論證的評估/
四 論證的建構/
五 對一個論證的反駁/

第十三講 "以貌似講理的方式……"
--謬誤：有缺陷的推理/
一 謬誤和詭辯/
二 歧義性謬誤/
三 假設性謬誤/
四 關聯性謬誤/

第十四講 一隻咬著自己的尾巴亂轉的貓
--悖論：思維的魔方/
一 什麼是悖論？/
二 一些常見的悖論/
三 悖論產生的原因/
四 關於悖論的解決方案/

第十五講"彼，不兩可兩不可也"
--中國歷史上的邏輯學家/
一 中國先秦邏輯學家/
二 西方邏輯的早期翻譯家/
三 現代邏輯的傳入者和研究者/

附錄一 邏輯學和理性精神/

附錄二 邏輯：一個生長和變動的概念/
附錄三 從人工智能看當代邏輯的發展/
附錄四 從《哲學邏輯手冊》（第二版）看當代邏輯的發展趨勢/

主要參考書目和推薦讀物/

第十四講 悖論：思維的魔方

在當今社會，“悖論”似乎已經成為某種形式的思維魔方，老少咸宜，激發理智的興趣，構成智力的挑戰，養成思考的習慣，鍛煉思維的智慧，孕育出新的理論。但是，究竟什麼是悖論？如何定義悖論？悖論能否分類？如何分類？產生悖論的原因是什麼？悖論究竟是一種邏輯矛盾，還是所謂的辯證矛盾或者其他？對於悖論應該采取什麼樣的態度？是拒斥、消解、容忍還是干脆承認？已有的各種悖論解決方案的優劣得失如何？能否提出某種新的悖論解決方案？據我所知，很多讀者對這些問題感興趣，有些人還親自投身於對它們的研究中。在這一章中，我將對這些問題做一些初步梳理，並給出一些嘗試性的回答。

一、什麼是悖論？

“悖論”是兩個英語詞paradox和antinomy、特別是前者的中譯，從字面上說，悖論是指荒謬的理論，或自相矛盾的命題。最早的悖論可追前6世紀古希臘克裡特島人埃匹門尼德（Epimenides），他提出了著名的說謊者悖論：“所有的克裡特島人都說謊。”這被載入《聖經·新約》的《提多書》中，因而在西方世俗社會和學術界都很有影響。此後對悖論的研究一直綿延不絕，並經歷了至少兩個高峰期，一是歐洲中世紀經院邏輯對悖論的研究，一是從19世紀末葉一直延續到今天的悖論研究。
在中國先秦時期，莊子提出過“弔詭”一說，仍被學界一些人用作“悖論”的代名詞：

夢飲酒者，旦而哭泣；夢哭泣者，旦而田獵。方其夢也，不知其夢也。夢之中又占其夢焉，覺而後知其夢也。且有大覺而後知此其大夢也，而愚者自以為覺，竊竊然知之。“君乎！牧乎！”固哉！丘也與女皆夢也，予謂女夢亦夢也。是其言也，其名為弔詭。萬世之後而一遇大聖知其解者，是旦暮遇之也。（《莊子·齊物論》）

上面這段話是隱士長牾子對瞿鵲子所說的，意思是說：人生無常。有一夜，夢飲酒，好快活，哪知早晨醒來大禍臨門，一場痛哭。又有一夜，夢傷心事，痛哭一場，哪知早晨醒來出門打獵，快活極了。做夢時不知是在做夢。夢中又做了一個夢，還研究那個夢中夢是兇還是吉。後來夢中夢醒了，纔曉得那隻是夢啊。後來的後來，徹底清醒了，纔曉得從前的種種經歷原來是一場大夢啊。蠢人醒了，自認為真醒了，得意洋洋，說長道短，談起君貴民賤那一套，真是不可救藥的老頑固喲。你老師孔丘，還有你本人，都是在做夢，隻是自己不曉得。我說你們在做夢，其實我也是在夢中說夢話。這樣的說法，就是所謂的“弔詭”（即後世所謂的“悖論”）。我也不能把它們解釋清楚。也許到遙遠的將來，踫巧會遇到一位有大智慧的人，他能夠把它們解釋得一清二楚。
先秦墨家也用到過“悖”這一概念，相當於某種自相矛盾的說法。例如，《墨經》中說，“以言為盡悖，悖，說在其言。”（《經下》）“之人之言可，是不悖，則是有可也；之人之言不可，以當，必不當。”（《經說下》）
在長達幾千年的研究過程中，“悖論”或“弔詭”已成為一個龐大的家族，冠以“悖論”之名的各種語句或推論差異極大。我們有必要先釐清“悖論”的精確含義，在此基礎上展開對悖論的討論。在目前的用法中，“悖論”一詞至少有以下4種含義：
（1）違反常識，有悖直觀，似非而是的真命題。
例如，在數學史上曾喧囂一時的所謂“無窮小悖論”就是如此：微積分中的無窮小似零（作為加項可以略去），但又非零（可以作為分母），（表面上）自相矛盾。於是，當時的英國大主教、著名哲學家貝克萊說它像一個飄動不居的鬼魂。所謂的“伽利略悖論”也與此類似：對於任一平方數，有且隻有一個自然數與之對應，即作為整體一部分的平方數竟與作為整體的自然數一樣多。這與當時已知的數學知識相悖，因為當時還不能從數學上很好地理解和刻畫“無窮”這個概念。在邏輯中，有為數眾多的所謂“蘊涵悖論”，例如著名的“實質蘊涵悖論”：真命題被任一命題所蘊涵；假命題蘊涵任一命題；以及道義邏輯中的各種“道義悖論”。這些“悖論”都是相應的邏輯繫統中的定理，並且這些繫統都是可靠的，內部並沒有任何矛盾。這些定理之“悖”在於它們有“悖”於關於相應概念的常識、直觀、經驗等等，它們最多隻能被叫做“直觀悖論”或“經驗悖論”，不屬於本章所討論的嚴格意義的“悖論”之列。
（2）與公認的看法或觀點相矛盾的命題或原則，似是而非，但其中潛藏著深刻的思想或哲理。
最典型的是古希臘哲學家芝諾提出的四個“芝諾悖論”，即“二分法”、“阿基裡斯追不上龜”、“飛矢不動”、“一倍的時間等於一半”。這裡僅以他的“二分法”為例：假定某個物體向一個目的地運動，在它達到該目的地之前必須走完這路程的一半，而要走完這路程的一半，又要走完這一半的一半；要走完這一半的一半，則要先走完這一半的一半的一半，如此遞推，以至無窮。因此，第一次運動所要達到的目標是沒有的，但沒有第一次運動的目標就不可能開始運動，因此就沒有運動，運動是不可能的。這裡，芝諾的論證並不是在描述或否認運動的現像和結果，而是要說明運動是如何可能的，我們應該如何在理智中、在思維中、在理論中去刻畫、把握、理解運動！與此類似的是康德關於時間和空間的四個“二律背反”，僅舉一例：正題：“世界在時間上有開端，在空間上有界限”；反題：“世界並無開端，也無空間的界限。就時空而言，它是無限的。”康德以觸目驚心的形式揭示了世界本身就存在的矛盾。再如中國古代的名辯學家，曾提出了諸如“白馬非馬”、“雞三足”、“卵有毛”這樣一些表述形式怪誕的命題，其中有些命題甚至隱含著集合論思想的萌芽。
（3）從一組看似合理的前提出發，通過有效的邏輯推導，得出了一對自相矛盾的命題，它們與當時普遍接受的常識、直觀、理論相衝突，但又不容易弄清楚問題出在哪裡，這時我們稱導出了悖論。
例如，下面要談到的布拉裡—弗蒂悖論，康托爾悖論，裡查德悖論等等，都屬此列。相反，如果隻是簡單地導出了矛盾，由於邏輯中不允許矛盾，根據否定後件就否定前件的規則，可以推知至少一個前提不成立，這時沒有悖論。例如，中國古代曾有“言盡悖”的說法，《墨經》反駁說：“以言為盡悖，悖，說在其言。”（《經下》）用印度因明的話來說，“言盡悖”這句話“自語相違”，必定不成立。
（4）悖論是指從一組看似合理的前提出發，通過看似正確有效的邏輯推導，得出了一個由互相矛盾的命題構成的等價式：p??p。
這種悖論最典型的是“強化的說謊者悖論”和“羅素悖論”。前者是指這樣一種情形：一個人說了唯一一句話：“我正在說的這句話是假的。”請問這句話究竟是真的還是假的？如果這句話是真的，則它說的是真實的情形，而它說它本身是假的，因此它是假的；如果這句話是假的，而它說它本身是假的，因此它說了真實的情形，因此它說了一句真話。於是，這句話是真的，當且僅當它是假的。這就是悖論。
一般把上述“悖論”的第一種意義撇開，因為無論怎麼定義，悖論似乎都不應該包括那些似非而是的命題。於是，還剩下三種可能：如果把後面三種意義都包括在內，這是“悖論”的寬定義，有合理性，但不太科學；如果隻包括後兩種意義，這是“悖論”的中定義，我個人相當贊同。如果隻包括第三種意義，則是“悖論”的狹定義，國內學界一般持這種看法。例如，《中國大百科全書·哲學卷》的“悖論”定義：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一類命題。這類命題也可以表述為：一個命題A，A蘊涵非A，同時非A蘊涵A，A與自身的否定非A等值。” 《辭海》的“悖論”的定義：“一命題B，如果承認B，可推得?B；反之，如果承認?B，又可推得B，則稱命題B為一悖論。” 國內悖論研究專家張建軍認為：“‘公認正確的背景知識’、‘嚴密無誤的邏輯推導’、‘可以建立矛盾等價式’，是構成嚴格意義邏輯悖論必不可少的三要素。由此我們可以得到如下定義：邏輯悖論指謂這樣一種理論事實或狀況，在某些公認正確的背景知識之下，可以合乎邏輯地建立兩個矛盾語句相互推出的矛盾等價式。”
我基本同意張建軍關於悖論三要素的說明，認為它是深刻的，但有兩個嚴重保留：（1）不太贊同把“悖論”僅限制於“兩個互相矛盾命題的等價式”，因為有不少悖論並不表現為這樣的等價式，例如布拉裡—弗蒂悖論，康托爾悖論，裡查德悖論等等，勉強把它們化歸於這樣的等價式也不太自然。（2）在我看來，悖論意味著思維在某個地方出了毛病，但張的定義中很少有這方面的意涵，“公認正確的背景知識”、“嚴密無誤的邏輯推導”這些字眼容易給人造成誤導，似乎在導出悖論的過程中一切正確且正常。試比較以下兩段引文：
蒯因在《悖論的方式》一文中指出：“我們可以一般地說，一個悖論隻是這樣一個結論，起初聽起來荒謬但卻有論證去支持它嗎？我最終認為，這種說法是完全站得住腳的。但這還有許多東西沒有說出來。支持一個悖論的論證可能揭示了，一個被葬送掉的前提是荒謬的，或先前被看作是對物理理論或對數學或對思維過程至關重要的某個先入之見是荒謬的。因而，在看似最無辜的悖論中，可能就隱藏著巨大災難。歷史上所發現的悖論，曾不止一次地正是對思想基礎的主要重建。”
哈克在討論悖論解決方案時指出：悖論在於“從表面上無懈可擊的前提，通過表面上無可非議的推理，推出了矛盾的結論。”而一種合理的悖論解決方案不得不完成兩個任務：一是從形式上說明哪些表面上無懈可擊的推論的前提或原則是不能允許的，二是從哲學上說明，為什麼這些前提或原則表面上是無懈可擊的，但實際上是有懈可擊的。 （著重號繫我所加）
以上兩段引文旨在強調悖論意味著我們的思維在某些地方出了毛病，需要對其進行診斷和治療，這是我所贊同的，而在張建軍對悖論的定義性刻畫中這一點不很明顯。因此，我更贊同下面的“悖論”定義：
“如果某一理論的公理和推理規則看上去是合理的，但在這個理論中卻推出了兩個互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式。那麼，我們說這個理論包含一個悖論。”
或者換一種更松散的說法：如果從看起來合理的前提出發，通過看起來有效的邏輯推導，得出了兩個自相矛盾的命題或這樣兩個命題的等價式，則稱得出了悖論。用公式表示：
p?(q∧?q)∨(q??q)
則p是一悖論語句，這個推導過程構成一個悖論。這裡的要點在於：推理的前提看似明顯合理，推理過程看似合乎邏輯，推理的結果則是自相矛盾的命題或這樣的命題的等價式。
不過，在撰寫悖論方面的書籍或講授悖論方面的課程的時候，從傳授相關知識、講清來龍去脈的角度出發，常常采用“悖論”的寬定義。