本書知識結構完整、注重實踐和應用，方便教學也便於自學。

在第4～11章的“算法實現”一節中，分別使用MATLAB編程實現和函數實現兩種方法，針對各章中的實例，實現了各章介紹的算法。

用通俗易懂的語言介紹每個算法的來龍去脈、基本思路和推導過程，並且主要算法均配有算法框圖、源代碼和測試例題供讀者參考。

本書比較全面地介紹了現代科學與工程計算中常用的數值計算方法。全書共分11章，主要內容有：引論、計算方法的數學基礎、MATLAB編程基礎、方程求根、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、函數插值、數值積分與數值微分、常微分方程初值問題的數值解法、矩陣特征值計算、函數優化計算。本書知識體繫完整，既簡要回顧了與計算方法有關的數學基礎知識，又介紹了現代計算軟件MATLAB，書中每個算法都配有結構化流程圖，幾乎所有算法都給出了MATLAB語言代碼和MATLAB函數，部分算法給出了C語言代碼，書後附有上機實驗題目。可從華信教育資源網（www.hxedu.com.cn）免費下載的教學資源包括：電子教案、各章習題解答和模擬試題。

李桂成，1985年畢業於山西大學計算數學專業，畢業後在山西大學計算機與信息技術學院任教，主講計算方法，期間獲計算機科學與技術工學碩士學位，現從事智能計算和數據挖掘方向的研究。

第1章 引論 1
1．1 從數學到計算 1
1．2 誤差理論初步 5
1．2．1 誤差的來源 5
1．2．2 誤差的度量 6
1．2．3 誤差的傳播 9
1．2．4 數值穩定性 11
1．3 數值計算的若干原則 12
1．3．1 避免兩個相近數相減 12
1．3．2 避免用絕對值過小的數作為除數 13
1．3．3 要防止大數“喫掉”小數 13
1．3．4 簡化計算步驟，提高計算效率 14
1．3．5 使用數值穩定的算法 15
本章小結 16
習題1 17
第2章 計算方法的數學基礎 19
2．1 微積分的有關概念和定理 19
2．1．1 數列與函數的極限 19
2．1．2 連續函數的性質 21
2．1．3 羅爾定理和微分中值定理 21
2．1．4 積分加權平均值定理 22
2．1．5 權函數和函數的內積 23
2．1．6 正交函數繫 23
2．1．7 勒讓德多項式 25
2．2 微分方程的有關概念和定理 26
2．2．1 基本概念 26
2．2．2 初值問題解的存在唯一性 28
2．3 線性代數的有關概念和定理 28
2．3．1 線性相關和線性無關 28
2．3．2 方陣及其初等變換 30
2．3．3 線性方程組解的存在唯一性 32
2．3．4 特殊矩陣 33
2．3．5 方陣的逆及其運算性質 35
2．3．6 矩陣的特征值及其運算性質 36
2．3．7 對稱正定矩陣 39
2．3．8 對角占優矩陣 40
2．3．9 向量的內積 41
2．3．10 向量、矩陣和連續函數的範數 41
2．3．11 向量序列與矩陣序列的極限 46
本章小結 47
習題2 47
第3章 MATLAB編程基礎 49
3．1 MATLAB R2018b簡介 49
3．2 MATLAB R2018b的工作環境 51
3．2．1 MATLAB R2018b的工具箱 51
3．2．2 MATLAB R2018b的命令行窗口 53
3．2．3 MATLAB R2018b的工作區 54
3．2．4 MATLAB R2018b的當前文件夾 54
3．3 MATLAB的變量、常量和數據類型 55
3．3．1 常量 55
3．3．2 變量 56
3．3．3 數據類型 56
3．4 MATLAB的數值運算 58
3．4．1 向量運算 58
3．4．2 矩陣運算 59
3．5 MATLAB的符號運算 64
3．5．1 字符串運算 64
3．5．2 符號表達式運算 65
3．5．3 符號矩陣運算 68
3．5．4 符號微積分運算 69
3．5．5 符號方程求解 71
3．6 MATLAB圖形可視化 73
3．6．1 繪制二維圖形 73
3．6．2 繪制三維圖形 74
3．7 MATLAB程序設計 75
3．7．1 MATLAB程序的控制結構 75
3．7．2 MATLAB文件 78
3．7．3 MATLAB R2018b程序調試方法 78
本章小結 81
習題3 81
第4章 方程求根 83
4．1 引言 83
4．2 二分法 84
4．3 迭代法 87
4．3．1 不動點迭代 87
4．3．2 迭代法的收斂性 88
4．3．3 迭代法的改善 95
4．4 牛頓迭代法 96
4．4．1 牛頓迭代公式及其幾何意義 96
4．4．2 牛頓迭代公式的收斂性 97
4．4．3 重根情形 101
4．5 弦截法 102
4．6 算法實現 103
4．6．1 MATLAB編程實現 103
4．6．2 MATLAB函數實現 106
本章小結 107
習題4 108
第5章 解線性方程組的直接法 110
5．1 引言 110
5．2 高斯消去法 111
5．2．1 順序高斯消去法 111
5．2．2素高斯消去法 115
5．2．3 高斯-約當消去法 117
5．3 矩陣三角分解法 119
5．3．1 高斯消去法與矩陣三角分解法 119
5．3．2 直接三角分解法 120
5．4 解三對角線性方程組的追趕法 124
5．5 誤差分析 127
5．5．1 病態方程組與條件數 127
5．5．2 病態方程組的解法 130
5．6 算法實現 131
5．6．1 MATLAB編程實現 131
5．6．2 MATLAB函數實現 135
本章小結 137
習題5 137

第6章 解線性方程組的迭代法 139
6．1 引言 139
6．2 雅可比迭代法 141
6．3 高斯-塞德爾迭代法 142
6．4 迭代法的收斂性 144
6．5算法實現 151
6．5．1MATLAB編程實現 151
6．5．2MATLAB函數實現 155
本章小結 156
習題6 156
第7章 函數插值 159
7．1 引言 159
7．1．1 插值問題 159
7．1．2 插值多項式的存在唯一性 160
7．2 拉格朗日插值 161
7．2．1 線性插值與拋物插值 161
7．2．2 拉格朗日插值 163
7．2．3 插值餘項與誤差估計 165
7．3 牛頓插值 169
7．4 埃爾米特插值 173
7．5 分段低次插值 175
7．5．1 高次插值與龍格現像 175
7．5．2 分段線性插值 176
7．5．3 分段三次埃爾米特插值 178
7．6 樣條插值 180
7．6．1 三次樣條插值函數 180
7．6．2 三次樣條插值函數的求法 182
7．7 離散數據的曲線擬合 185
7．7．1 曲線擬合問題 185
7．7．2 多項式擬合 186
7．7．3 正交多項式擬合 188
7．8 算法實現 189
7．8．1 MATLAB編程實現 189
7．8．2 MATLAB函數實現 191
本章小結 195
習題7 195
第8章 數值積分與數值微分 199
8．1 引言 199
8．1．1 數值積分的必要性 199
8．1．2 數值積分的基本思想 200
8．1．3 代數精度 200
8．1．4 插值型求積公式 202
8．2 牛頓-柯特斯求積公式 204
8．2．1 牛頓-柯特斯求積公式的導出 204
8．2．2 牛頓-柯特斯求積公式的誤差估計 207
8．3 復合求積公式 209
8．3．1 復合梯形求積公式 209
8．3．2 復合辛普生求積公式 210
8．4 外推算法與龍貝格算法 212
8．4．1 變步長的求積公式 212
8．4．2 外推算法 214
8．4．3 龍貝格求積公式 214
8．5 高斯求積公式 218
8．5．1 高斯點與高斯求積公式 218
8．5．2 高斯-勒讓德求積公式 219
8．5．3 高斯求積公式的穩定性和收斂性 222
8．6 數值微分 223
8．6．1 中點公式 223
8．6．2 插值型微分公式 225
8．7 算法實現 227
8．7．1 MATLAB編程實現 227
8．7．2 MATLAB函數實現 230
本章小結 233
習題8 233
第9章 常微分方程初值問題的數值解法 237
9．1 引言 237
9．2 歐拉公式 238
9．2．1 歐拉公式及其意義 238
9．2．2 歐拉公式的變形 239
9．3 單步法的局部截斷誤差和方法的階 242
9．4 龍格-庫塔方法 245
9．4．1 龍格-庫塔方法的基本思想 245
9．4．2 二階龍格-庫塔方法的推導 246
9．4．3 經典四階龍格-庫塔方法 249
9．5 單步法的收斂性和穩定性 251
9．5．1 單步法的收斂性 251
9．5．2 單步法的穩定性 254
9．6 算法實現 257
9．6．1 MATLAB編程實現 257
9．6．2 MATLAB函數實現 260
本章小結 263
習題9 264
第10章 矩陣特征值計算 266
10．1 引言 266
10．2 冪法及反冪法 268
10．2．1 冪法 268
10．2．2 反冪法 271
10．3 QR方法 272
10．3．1 反射變換 272
10．3．2 矩陣的QR分解 274
10．3．3 QR方法的實現 275
10．4 雅可比方法 276
10．4．1 平面旋轉矩陣 276
10．4．2 雅可比方法及其改進 278
10．5 算法實現 280
10．5．1 MATLAB編程實現 280
10．5．2 MATLAB函數實現 286
本章小結 289
習題10 290
第11章 函數優化計算 291
11．1 引言 291
11．2函數優化計算 292
11．2．1 牛頓法 292
11．2．2 擬牛頓法 294
11．2．3 黃金分割法 294
11．3函數優化計算 296
11．3．1函數有最優解的條件 296
11．3．2函數數值求解的原則 297
11．3．3 梯度法 298
11．3．4 牛頓法 300
11．3．5 共軛方向法 301
11．4 算法實現 304
11．4．1 MATLAB編程實現 304
11．4．2 MATLAB函數實現 307
本章小結 309
習題11 309
附錄A 計算方法實驗 310
實驗1 方程求根 311
實驗2 解線性方程組的直接法 312
實驗3 解三對角線性方程組的追趕法 313
實驗4 解線性方程組的迭代法 314
實驗5 函數插值問題 315
實驗6 數值積分 316
實驗7 數值微分 318
實驗8 常微分方程初值問題的數值解法 319
實驗9 矩陣特征值計算 320
實驗10 函數優化計算 321
參考文獻 323

第3版前言

《計算方法》於2005年出版，到現在已經10多年。10多年前寫書的事，我至今難以忘懷。記得是2003年，電子工業出版社到山西大學進行圖書展覽活動，我和往常一樣前去參加，但最終也並沒有找到令我滿意的書。這時，一位電子工業出版社的編輯過來和我交流，我便把我的情況給他做了說明。我說，我講授“計算方法”已經有10餘年，也沒有發現一本令我滿意的教材。當時大多數教材數學味太濃，理論太深，算法太少，而且沒有程序，不太適合計算機專業的學生使用。我隻能用我寫的講義教學，很不方便。這位編輯提出想看看我的講義。我說，當然可以。就在我辦公室裡，他認真地把講義看了好幾遍，興奮地對我說，這本講義非常具有出版價值。於是，《計算方法》就面世了。

《計算方法》出版以後，受到了許多高等學校師生的好評，除計算機專業的學生使用外，一些非計算機專業的理工類本科生和研究生課程也紛紛使用此教材。為了適應這一新的需求，我經過深思熟慮，對《計算方法》進行了修訂，於2013年出版了《計算方法》（第2版）。次年，該書就榮獲2014年中國電子教育學會“全國電子信息類優秀教材”一等獎（獲獎證書為：JC14007），當時參加評選的有來自全國67所高等學校和出版社推薦的教材120餘種。

目前，國家積極推進信息化建設的進程，許多高等學校已經開設了數據科學與大數據技術專業，最近，教育部又批準了部分高等學校開設人工智能專業。為適應目前的新形勢、新變化，我對《計算方法》（第2版）又做了較大修訂。

《計算方法》（第3版）主要修訂內容如下。

（1）保留了誤差理論的主要內容，並做了部分修訂。

（2）在第2章“計算方法的數學基礎”中，增加了正交多項式的內容。

（3）增加了新的一章——第3章“MATLAB編程基礎”，該章介紹了最新的MATLAB R2018b版的主要特點、工作環境和主要的數據類型，以及MATLAB的數值運算（包括向量和矩陣運算），MATLAB的符號運算（包括符號矩陣和符號微積分的運算），MATLAB的圖形處理功能，MATLAB的程序控制結構和程序調試方法。

（4）在第7章“函數插值”中，增加了曲線擬合的內容。

（5）在第4～11章的後面，增加了“算法實現”一節，分別使用MATLAB程序實現和函數實現兩種方法，針對各章中的實例，實現了各章介紹的算法。

（6）對計算方法的實驗進行了重新編排，刪除了曲線擬合實驗，保留了10個典型的計算方法實驗。實驗包含實驗目的、方法、內容、程序、結果和結果分析等內容。

（7）刪除了第2版中的第7章“函數逼近”。

（8）刪除了第2版中的第12章“MATLAB編程基礎及其在計算方法中的應用”。

（9）刪除了第2版中的11.3.6節“擬牛頓法”。

（10）對第2版中的部分習題做了調整。

（11）修正了第2版中的文字錯誤。

講授全書內容，需要40～60學時，另外，實驗需要16～20學時。

修訂後的《計算方法》（第3版）組織更加嚴謹、內容更加豐富、知識更加新穎、使用更加方便。本書的內容分11章，包括：引論、計算方法的數學基礎、MATLAB編程基礎、方程求根、解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代法、函數插值、數值積分與數值微分、常微分方程初值問題的數值解法、矩陣特征值計算和函數優化計算。

本書的鮮明特點如下。

（1）知識結構完整。第2章計算方法的數學基礎介紹了計算方法所需的微積分、微分方程和線性代數的數學知識，第3章MATLAB編程基礎介紹了最新的MATLAB R2018b版的主要特點、工作環境、數據類型、運算和圖形處理功能，以及程序控制結構和程序調試方法。隻要本書在手，無須其他數學和MATLAB的任何資料。

（2）注重實踐和應用。在第4～11章的“算法實現”一節中，分別使用MATLAB編程實現和函數實現兩種方法，針對各章中的實例，實現了各章介紹的算法。這樣編寫的目的是既能引導讀者理解算法並實現算法，又能讓讀者認識到MATLAB在計算方法領域中的強大功能。另外，本書的附錄A中有精心設計的10個實驗，供讀者實踐和練習。

（3）方便教學。全書每章都有學習要點、教學建議和本章小結，說明每章的重點、難點、選學內容和所需教學時數。書後附錄A中的10個實驗，可用於計算方法課程的實驗環節。本書還配有電子教案、各章習題解答和模擬試題，供教師使用，可以登錄華信教育資源網（www.hxedu.com.cn）注冊後免費下載。

（4）便於自學。本書用通俗易懂的語言介紹每個算法的來龍去脈、基本思路和推導過程，並且主要算法均配有算法框圖、源代碼和測試例題供讀者參考。這樣編寫就降低了自學難度，提高了自學的興趣，強化了自學效果。

本書可作為高等學校計算機、數據科學與大數據、人工智能及電子信息類等相關專業本科和研究生的教材使用，也可供從事科學與工程計算的科技工作者和研究人員參考。

在《計算方法》一書的修訂過程中，我得到了我的同仁和電子工業出版社的大力支持，在此一並表示感謝。這裡還要特別感謝梁吉業教授對本書的長期關注和大力支持，感謝電子工業出版社編輯冉哲對本書修訂出版所做的大量工作。

由於作者水平有限，書中難免有錯誤和疏漏之處，懇請讀者指正。

李桂成

2019年5月於山西大學