●IAS/Park City Mathematics Institute
Preface
Chapter1.Introduction to Coding Theory
§1.1.Overview
§1.2.Cyclic Codes
Chapter2.Boundson Codes
§2.1.Bounds
§2.2.Asymptotic Bounds
Chapter3.Algebraic Curves
§3.1.Algebraically Closed Fields
§3.2.Curves and the Projective Plane
Chapter4.Nonsingularity and the Genus
§4.1.Nonsingularity
§4.2.Genus
Chapter5.Points, Functions, and Divisors on Curves
Chapter6.Algebraic Geometry Codes
Chapter7.Good Codes from Algebraic Geometry
Appendix A.Abstract Algebra Review
§A.1.Groups
§A.2.Rings, Fields, Ideals, and Factor Rings
§A.3.Vector Spaces
§A.4.Homomorphisms and Isomorphisms
Appendix B.Finite Fields
§B.1.Background and Terminology
§B.2.Classification of Finite Fields
§B.3.Optional Exercises
Appendix C.Projects
§C.1.Dual Codes and Parity Check Matrices
§C.2.BCH Codes
§C.3.Hamming Codes
§C.4.Golay Codes
§C.5.MDS Codes
§C.6.Nonlinear Codes
Bibliography

信息在傳輸時很可能會發生錯誤。隨著每天通過電子方式傳輸大量信息，這個問題變得越來越重要。編碼理論研究打包數據的有效方法，以便錯誤可以被檢測甚至糾正。編碼理論中的傳統工具源於組合學和群論。由於20世紀70年代後期Goppa的工作，編碼學家將代數幾何的技術添至其工具箱中。特別地，通過將Reed-Solomon編碼重新解釋為來自與射影直線上除子相關的評估函數，我們可以了解如何基於其他除子或其他代數曲線來定義新的編碼。例如，使用有限域上的模曲線，Tsfasman、Vladut和Zink證明，可以定義一繫列編碼，使其具有比任何已知編碼都更好的漸近參數。本書基於作者關於算術代數幾何的繫列講座。在這裡，讀者被引入到激動人心的代數幾何編碼領域。作者使用交談的語氣做闡述，內容涵蓋線性碼（包括循環碼）、編碼參數的邊界和漸近邊界。書中介紹了代數幾何，特別關注了射影曲線、有理函數和除子，給出代數幾何編碼的構造，討等