“本書知識面廣博，並且用清晰、輕松的語言來闡釋高度形式化的問題，仿佛一位循循善誘的教授在耐心講述。對於學習傳統教材的學生而言，本書是非常好的補充。本書不僅值得在教育界推廣，也適合統計學家用於探究他們死記硬背下來的基本定理。”——H. Van Dyke Parunak，Computing Reviews“正如英文版副書名所說的那樣，本書清晰、直觀地呈現了‘理解機會所需的全部工具’。對於已經很好地理解了微積分的學生而言，將對概率論的討論與這些主題背後的微積分知識相結合大有裨益。”——MAA Re等

●第一部分一般性理論
第1章引言2
1.1生日問題3
1.1.1陳述問題3
1.1.2解決問題6
1.1.3對問題和答案的推廣：效率11
1.1.4數值檢驗14
1.2從投籃到幾何級數16
1.2.1問題和解答16
1.2.2相關問題22
1.2.3一般問題的解決技巧25
1.3賭博28
1.3.12008年超級碗賭注29
1.3.2預期收益29
1.3.3對衝的價值31
1.3.4結論32
1.4總結33
1.5習題35
第2章基本概率定律41
2.1悖論42
2.2集合論綜述44
2.2.1編程漫談48
2.2.2無窮大的大小和概率50
2.2.3開集和閉集52
2.3結果空間、事件和概率公理54
2.4概率公理59
2.5基本概率規則61
2.5.1全概率公式62
2.5.2並的概率63
2.5.3包含的概率66
2.6概率空間和σ代數67
2.7附錄：實驗性地找出規律72
2.7.1乘積求導法則73
2.7.2並的概率74
2.8總結75
2.9習題75
第3章計數I：紙牌80
3.1階乘和二項式繫數81
3.1.1階乘函數81
3.1.2二項式繫數85
3.1.3總結90
3.2撲克牌90
3.2.1規則91
3.2.2最小牌型93
3.2.3對子95
3.2.4兩對98
3.2.5三條99
3.2.6順子、同花和同花順99
3.2.7葫蘆和鐵支100
3.2.8撲克牌型練習：I102
3.2.9撲克牌型練習：II103
3.3單人紙牌105
3.3.1克朗代克紙牌105
3.3.2AcesUp紙牌108
3.3.3《空當接龍》110
3.4橋牌112
3.4.1井字遊戲113
3.4.2橋牌牌局的個數115
3.4.3將牌的分配121
3.5附錄：計算概率的代碼125
3.5.1將牌的分配和代碼125
3.5.2撲克牌型的代碼127
3.6總結130
3.7習題130
第4章條件概率、獨立性和貝葉斯定理134
4.1條件概率135
4.1.1猜測條件概率公式137
4.1.2期望計數法138
4.1.3文氏圖法140
4.1.4蒙提霍爾問題141
4.2一般乘法法則142
4.2.1陳述.142
4.2.2撲克牌的例子143
4.2.3帽子問題和糾錯碼144
4.2.4高等注解：條件概率的定義145
4.3獨立性146
4.4貝葉斯定理148
4.5劃分和全概率法則154
4.6回顧貝葉斯定理157
4.7總結158
4.8習題158
第5章計數II：容斥原理162
5.1階乘和二項式問題163
5.1.1“有多少個”與“概率是什麼”163
5.1.2選組165
5.1.3循環次序166
5.1.4選擇套裝168
5.2容斥方法170
5.2.1容斥原理的特例170
5.2.2容斥原理的陳述173
5.2.3容斥公式的證明175
5.2.4利用容斥原理：同花色牌型177
5.2.5從“至少”到“恰好”的方法180
5.3錯排182
5.3.1錯排的個數183
5.3.2錯排數的概率184
5.3.3錯排試驗的代碼185
5.3.4錯排的應用187
5.4總結188
5.5習題190
第6章計數III：高等組合學193
6.1基本計數194
6.1.1枚舉法I194
6.1.2枚舉法II195
6.1.3有放回抽樣和無放回抽樣199
6.2單詞排序207
6.2.1排序方法數208
6.2.2多項式繫數210
6.3劃分213
6.3.1餅干問題213
6.3.2彩票216
6.3.3其他劃分220
6.4總結223
6.5習題223
第二部分介紹隨機變量
第7章離散型隨機變量228
7.1離散型隨機變量：定義228
7.2離散型隨機變量：概率密度函數230
7.3離散型隨機變量：累積分布函數233
7.4總結241
7.5習題243
第8章連續型隨機變量246
8.1微積分基本定理247
8.2概率密度函數和累積分布函數：定義259
8.3概率密度函數和累積分布函數：例子251
8素事件的概率256
8.5總結258
8.6習題259
第9章工具：期望262
9.1微積分預備知識263
9.2期望值和矩265
9.3均值和方差268
9.4聯合分布273
9.5期望的線性性質277
9.6均值和方差的性質282
9.7偏斜度與峰度287
9.8協方差287
9.9總結288
9.10習題.289
第10章工具：卷積和變量替換292
10.1卷積：定義和性質293
10.2卷積：擲骰子的例子296
10.2.1理論計算296
10.2.2卷積碼297
10.3多變量的卷積298
10.4變量替換公式：敘述301
10.5變量替換公式：證明305
10.6附錄：隨機變量的乘積與商309
10.6.1乘積的概率密度函數310
10.6.2商的概率密度函數311
10.6.3例子：指數分布的商311
10.7總結313
10.8習題313
第11章工具：微分恆等式317
11.1幾何級數的例子318
11.2微分恆等式法321
11.3在二項分布隨機變量上的應用322
11.4在正態分布隨機變量上的應用326
11.5在指數分布隨機變量上的應用328
11.6總結330
11.7習題331
第三部分特殊分布
第12章離散分布334
12.1伯努利分布334
12.2二項分布335
12.3多項分布339
12.4幾何分布341
12.5負二項分布343
12.6泊松分布347
12.7離散均勻分布350
12.8習題353
第13章連續型隨機變量：均勻分布與指數分布357
13.1均勻分布357
13.1.1均值和方差358
13.1.2服從均勻分布的隨機變量之和359
13.1.3例子362
13.1.4均勻地生成隨機數364
13.2指數分布365
13.2.1均值和方差366
13.2.2服從指數分布的隨機變量之和369
13.2.3服從指數分布的隨機變量的例子與應用372
13.2.4從指數分布中生成隨機數373
13.3習題376
第14章連續型隨機變量：正態分布379
14.1確定標準化常數380
14.2均值和方差383
14.3服從正態分布的隨機變量之和386
14.3.1情形1：μX=μY=0且σX^2=σY^2=1388
14.3.2情形2：一般化的μX、μY和σX^2、σY^2390
14.3.3兩個服從正態分布的隨機變量之和：更快的代數運算393
14.4從正態分布中生成隨機數394
14.5例子與中心極限定理400
14.6習題401
第15章伽馬函數與相關分布405
15.1Γ(s)的存在性405
15.2Γ(s)的函數方程407
15.3階乘函數與Γ(s)411
15.4Γ(s)的特殊值412
15.5貝塔函數與伽馬函數414
15.5.1基本關繫式的證明415
15.5.2基本關繫式和Γ(1=2)417
15.6正態分布與伽馬函數418
15.7隨機變量族419
15.8附錄：餘割等式的證明421
15.8.1餘割等式：第一種證明421
15.8.2餘割等式：第二種證明425
15.8.3餘割等式：s=1=2的特殊情形427
15.9柯西分布429
15.10習題431
第16章卡方分布433
16.1卡方分布的起源434
16.2X~x^2(1)的均值與方差436
16.3卡方分布與服從正態分布的隨機變量之和437
16.3.1直接積分求平方和439
16.3.2利用變量替換定理求平方和440
16.3.3卷積法求平方和444
16.3.4服從卡方分布的隨機變量之和446
16.4總結447
16.5習題449
第四部分極限定理
第17章不等式和大數定律452
17.1不等式452
17.2馬爾可夫不等式454
17.3切比雪夫不等式456
17.3.1陳述456
17.3.2證明458
17.3.3正態分布與均勻分布的例子460
17.3.4指數分布的例子462
17.4布爾不等式與邦弗倫尼不等式462
17.5收斂類型464
17.5.1依分布收斂464
17.5.2依概率收斂466
17.5.3幾乎必然收斂與必然收斂467
17.6弱大數定律與強大數定律467
17.7習題469
第18章斯特林公式472
18.1斯特林公式與概率474
18.2斯特林公式與級數的收斂性476
18.3從斯特林公式到中心極限定理477
18.4積分判別法與較弱的斯特林公式481
18.5得到斯特林公式的基本方法484
18.5.1二進分解484
18.5.2斯特林公式的下界：I486
18.5.3斯特林公式的下界：II488
18.5.4斯特林公式的下界：III490
18.6靜態相位與斯特林公式491
18.7中心極限定理與斯特林公式492
18.8習題494
第19章生成函數與卷積496
19.1動機496
19.2定義498
19.3生成函數的專享性和收斂性503
19.4卷積I：離散型隨機變量504
19.5卷積II：連續型隨機變量508
19.6矩母函數的定義與性質514
19.7矩母函數的應用521
19.8習題525
第20章中心極限定理的證明527
20.1證明的關鍵思路537
20.2中心極限定理的陳述529
20.3均值、方差與標準差531
20.4標準化532
20.5矩母函數的相關結果536
20.6特殊情形：服從泊松分布的隨機變量之和538
20.7利用MGF證明一般的CLT541
20.8使用中心極限定理543
20.9中心極限定理與蒙特卡羅積分544
20.10總結546
20.11習題547
第21章傅裡葉分析與中心極限定理552
21.1積分變換553
21.2卷積與概率論557
21.3中心極限定理的證明560
21.4總結563
21.5習題564
第五部分其他主題
第22章假設檢驗568
22.1Z檢驗569
22.1.1原假設與備擇假設569
22.1.2顯著性水平570
22.1.3檢驗統計量572
22.1.4單側檢驗與雙側檢驗575
22.2p值578
22.2.1非凡的主張與p值578
22.2.2大的p值579
22.2.3關於p值的誤解579
22.3t檢驗581
22.3.1估算樣本方差581
22.3.2從z檢驗到t檢驗582
22.4假設檢驗的問題585
22.4.1I型錯誤585
22.4.2II型錯誤585
22.4.3錯誤率與司法繫統586
22.4.4功效587
22.4.5效應量588
22.5卡方分布、擬合優度588
22.5.1卡方分布與方差檢驗589
22.5.2卡方分布與t分布592
22.5.3列表數據的擬合優度593
22.6雙樣本檢驗595
22.6.1雙樣本z檢驗：方差已知595
22.6.2雙樣本t檢驗：方差未知但相等598
22.6.3方差未知且不相等599
22.7總結601
22.8習題602
第23章差分方程、馬爾可夫過程和概率論604
23.1從斐波那契數到輪盤賭604
23.1.1翻倍加一策略604
23.1.2對斐波那契數的快速回顧606
23.1.3遞推關繫與概率608
23.1.4討論與推廣609
23.1.5輪盤賭問題的代碼610
23.2遞推關繫的一般理論612
23.2.1表示法612
23.2.2特征方程612
23.2.3初始條件614
23.2.4關於不同根意味著可逆性的證明616
23.3馬爾可夫過程617
23.3.1遞推關繫與種群動力學617
23.3.2一般的馬爾可夫過程619
23.4總結620
23.5習題620
第24章最小二乘法622
24.1問題的描述622
24.2概率論與統計學回顧623
24.3最小二乘法625
24.4習題629
第25章兩個有名問題與一些代碼632
25.1婚姻/秘書問題632
25.1.1假設與策略632
25.1.2成功的概率633
25.1.3秘書問題的代碼637
25.2蒙提霍爾問題639
25.2.1一個簡單的解決方案639
25.2.2一種特別情形640
25.2.3蒙提霍爾問題的代碼641
25.3兩個隨機程序642
25.3.1有放回取樣與無放回取樣642
25.3.2期望643
25.4習題644
附錄A證明技巧（圖靈社區下載）
附錄B分析學結果（圖靈社區下載）
附錄C可數集與不可數集（圖靈社區下載）
附錄D復分析與中心極限定理（圖靈社區下載）

本書講解概率論的基礎內容，包括組合分析、概率論公理、條件概率、離散型隨機變量、連續型隨機變量、隨機變量的聯合分布、期望的性質、極限定理和模擬等，內容豐富，通俗易懂，並配有豐富的例子和大量習題，涉及物理學、生物學、化學、遺傳學、博弈論、經濟學等多方面的應用，極具啟發性。

(美)史蒂文·J.米勒 著 李馨 譯