●《現代數學基礎叢書》序
序言
第1章 完美數的歷史 1
1.1 何為完美數? 1
1.2《幾何原本》 3
1.3 尼科馬科斯 6
1.4 平方和與立方和 9
1.5 阿拉伯的海桑 11
1.6 梅森數和梅森素數 13
1.7 笛卡爾與費爾馬 16
1.8 歐拉–歐幾裡得定理 18
1.9 神父普沃茨米 21
1.10 雙L素數檢驗法 24
1.11 GIMPS計劃 27
第2章 完美數問題 30
2.1 偶完美數的性質 30
2.2 完美數問題 33
2.3 奇完美數 35
2.4 托查德定理 36
2.5 虧數和盈數 38
2.6 奇異數和半完美數 39
2.7 歐爾數和調和中值 41
2.8 歐爾數的變種 43
2.9 親和數問題 46？
2.10 k階完美數 49
2.11 三種推廣 51
2.12 S-完美數 53
2.13 黃金分割比猜想 57
第3章 斐波那契序列 60
3.1 比薩的萊奧納多 60
3.2 兔子問題 63
3.3 通項和極限 67
3.4 與連分數的關繫 70
3.5 三個恆等式 72
3.6 相同的二項式繫數 75
3.7 可整除序列 78
3.8 齊肯多夫定理 81
3.9 從2進制到3進制 86
3.10 希爾伯特第10問題 90
第4章 盧卡斯數和盧卡斯序列 93
4.1 盧卡斯數 93
4.2 斐波那契數的判定 99
4.3 斐波那契數的素因子 102
4.4 斐波那契數的同餘式 104
4.5 一個廣義的同餘式 106
4.6 Narayana序列的同餘式 108
4.7 畢達哥拉斯數組 111
4.8 丟番圖數組 114
4.9 生成函數 117
4.10 盧卡斯序列 120
4.11 皮薩羅周期 122
4.12 π(n)與π′(n) 124
4.13 盧卡斯數的素因子 126
第5章 完美數與斐波那契素數 128
5.1 平方完美數 128
5.2 若干引理 130
5.3 定理的證明 132
5.4 與完美數有關的一個新猜想 134
5.5 帶常數項的平方完美數 139
5.6 平方完美數與孿生素數猜想 143
5.7 費爾馬素數與GM數 146
5.8 abcd方程 149
5.9 橢圓曲線的應用 153
5.10 盧卡斯序列 156
參考文獻 162
附錄1 前100個斐波那契數及其因子分解式 163
附錄2 前100個盧卡斯數及其因子分解式 167
索引 171
《現代數學基礎叢書》已出版書目 173
完美數和斐波那契序列是兩個有名的數論問題和研究對像，兩者都有著非常悠久的歷史。《完美數與斐波那契序列》介紹了它們的發展史和現當代研究進展，包括作者、他的團隊和同代人的研究成果。特別地，作者提出了平方完美數問題，並首次揭示了古老的完美數問題與13世紀的斐波那契序列中的素數對之間的聯繫，這與18世紀瑞士大數學家歐拉將完美數問題與17世紀的梅森素數相聯繫一樣有著重要的意義。與此同時，《完美數與斐波那契序列》還揭示了平方完美數與有名的孿生素數猜想之間的相互關繫等奧秘，此外，作者還提出了一些可感知有意義的猜想。
《完美數與斐波那契序列》不僅對數論研究本身有較高的理論價值，且由於行文的流暢和內容的可讀性，也具有數學史和數學文化的傳播功能。
