●前言
第1章 凸集
1.1 仿射集合和凸集
1.1.1 仿射維數與相對內部
1.1.2 凸集
1.1.3 錐
1.2 一些重要的例子
1.2.1 超平面與半空間
1.2.2 Euclid球和橢球
1.2.3 範數球和範數錐
1.2.4 多面體
1.2.5 半正定錐
1.3 保凸運算
1.3.1 交集
1.3.2 仿射函數
1.3.3 線性分式及透視函數
1.4 分離與支撐超平面
1.4.1 超平面分離定理
1.4.2 支撐超平面
1.5 對偶錐
習題1
第2章 凸函數
2.1 基本性質和例子
2.1.1 定義及擴展值延伸
2.1.2 凸函數的判定
2.1.3 一些例子
2.1.4 下水平集和上境圖
2.1.5 Jensen不等式及其擴展
2.2 保凸運算
2.2.1 非負加權求和
2.2.2 復合仿射映射
2.2.3 逐點優選和逐點上確界
2.2.4 最小化形式的凸性
2.2.5 透視函數
2.3 共軛函數
習題2
第3章 凸優化問題
3.1 凸優化問題
3.1.1 基本術語
3.1.2 問題的標準表示
3.1.3 等價問題
3.2 凸優化
3.2.1 標準形式的凸優化問題
3.2.2 局部很優解與全局很優解
3.2.3 很優性準則
3.3 線性規劃問題
3.4 二次優化問題
3.4.1 幾個例子
3.4.2 二階錐規劃
習題3
第4章 對偶
4.1 Lagrange對偶函數
4.1.1 Lagrange函數
4.1.2 Lagrange對偶函數及性質
4.1.3 一些例子
4.1.4 Lagrange對偶函數和共軛函數
4.2 Lagrange對偶問題
4.2.1 顯式表達對偶約束
4.2.2 弱對偶性
4.2.3 強對偶性和Slater約束準則
4.2.4 幾個例子
4.3 強對偶性的證明
4.4 鞍點解釋
4.4.1 強弱對偶性的極大極小描述
4.4.2 鞍點解釋
4.5 很優性條件
4.5.1 次優解認證和終止準則
4.5.2 互補松弛性
4.5.3 KKT很優性條件
4.5.4 通過解對偶問題求解原問題
4.6 擾動及靈敏度分析
4.6.1 擾動的問題
4.6.2 一個全局不等式
4.6.3 局部靈敏度分析
4.7 例子
習題4
第5章 無約束優化
5.1 無約束優化問題
5.1.1 幾個例子
5.1.2 強凸性及其性質
5.2 下降方法
5.3 梯度下降方法
5.3.1 收斂性分析
5.3.2 幾個例子
5.3.3 結論
5.4 二塊凸優化模型的梯度型算法
5.4.1 問題模型
5.4.2 臨近梯度方法
5.4.3 算法和收斂性
5.4.4 快速臨近梯度方法
5.5 Newton方法
5.5.1 Newton方向
5.5.2 阻尼Newton方法
5.5.3 收斂性分析
5.5.4 幾個例子
5.5.5 總結
5.6 Newton方法的實現問題
習題5
第6章 等式約束優化
6.1 等式約束優化問題
6.1.1 等式約束凸二次規劃
6.1.2 消除等式約束
6.1.3 用對偶方法求解等式約束問題
6.2 具有可行初始點的Newton方法
6.2.1 Newton方向
6.2.2 等式約束問題的Newton方法
6.2.3 Newton方法和消除法
6.2.4 收斂性分析
6.3 不可行初始點的Newton方法
6.3.1 不可行點的Newton方向
6.3.2 不可行初始點Newton方法
6.3.3 收斂性分析
6.3.4 數值算例
習題6
第7章 內點法
7.1 對數障礙函數和中心路徑
7.1.1 對數障礙
7.1.2 中心路徑
7.2 障礙函數方法
7.2.1 障礙函數方法
7.2.2 收斂性分析
7.2.3 修改的KKT方程的Newton方向
7.3 可行性和階段 1方法
7.3.1 基本的階段 1方法
7.3.2 用不可行初始點Newton方法求解階段1問題
7.4 原對偶內點法
7.4.1 原對偶搜索方向
7.4.2 代理對偶間隙
7.4.3 原對偶內點法
7.5 算法的實現
7.5.1 標準形式線性規劃
7.5.2 l1-範數逼近
習題7
第8章 線性半定規劃
8.1 預備知識
8.1.1 矩陣空間的一些記號和運算
8.1.2 凸集與半定錐
8.1.3 矩陣積
8.2 線性半定規劃的一些性質
8.2.1 模型與基本概念
8.2.2 對偶性
8.2.3 可行性
8.2.4 很優性條件
8.2.5 解的專享性
8.3 一個算法
習題8
第9章 交替方向乘子法
9.1 ADMM算法簡介
9.2 具可分結構的一些凸優化模型
9.3 很優性條件和停止準則
9.4 收斂性分析
9.5 目標函數是多塊情形的ADMM
習題9
參考文獻
