●《現代數學基礎叢書》序
前言
第1章 緒論
1.1 RH問題
1.1.1 RH問題的產生和發展
1.1.2 RH方法和思想
1.2 RH方法在可積繫統初值問題應用狀況
1.2.1 求解可積繫統方面
1.2.2 分析解的漸近性方面
1.2.3 RH方法、反散射和方法比較
1.3 在正交多項式和隨機矩陣應用狀況
第2章 矩陣分析初步
2.1 矩陣範數
2.2 矩陣序列和級數
2.3 矩陣的導數和積分
2.4 張量積和外積
2.5 矩陣特征值估計
第3章 復分析和RH問題
3.1 Jordan定理
3.2 解析變換
3.2.1 保域性
3.2.2 保角性
3.3 共形映射
3.4 Cauchy積分定理和Painlevé開拓定理
3.5 Cauchy主值積分和Plemelj公式
3.5.1 Cauchy主值積分
3.5.2 Cauchy主值積分存在性
3.5.3 Plemelj公式
3.6 Laplace積分
3.7 最速下降法
3.7.1 速降方向
3.7.2 穩態相位點和速降線
3.7.3 復積分的漸近估計與應用
3.8 矩陣RH問題
3.9 積分型Taylor公式
第4章 廣義函數及其應用
4.1 廣義函數的定義
4.1.1 歷史概述
4.1.2 基本空間
4.2 廣義函數的性質
4.2.1 廣義函數方程
第5章 RH方法求解零邊界的NLS方程
5.1 聚焦NLS方程
5.1.1 特征函數
5.1.2 漸近性
5.2 解析性和對稱性
5.2.1 解析性
5.2.2 對稱性
5.3 相關的RH問題
5.3.1 規範化RH問題
5.3.2 RH問題的可解性
5.4 NLS方程的N孤子解
5.4.1 矩陣向量解的時空演化
5.4.2 N孤子解公式
5.4.3 單孤子解
第6章 RH方法求解非零邊界的NLS方程
6.1 非零邊界問題
6.2 NLS方程的Lax對
6.3 Riemann面和單值化坐標
6.4 Jost函數的解析性、對稱性和漸近性
6.4.1 Jost函數
6.4.2 μ±的依賴性
6.4.3 μ±和S(z)的解析性
6.4.4 μ±和S(z)的對稱性
6.4.5 μ±和S(z)的漸近性
6.5 相關廣義RH問題
6.6 離散譜和留數條件
6.7 RH問題的可解性
6.7.1 重構公式
6.7.2 跡公式和θ條件
6.7.3 無反射勢情況
6.8 NLS方程的N孤子解
6.9 帶有非零邊界的NLS方程的雙重極點解
6.9.1 雙重極點的離散譜和留數條件
6.9.2 雙重極點下的RH問題和重構公式
6.9.3 跡公式和相位差
6.9.4 無反射勢情況和雙重極點解
第7章 方法與可積繫統
7.1 問題
7.1.1 問題的概念
7.1.2 廣義Cauchy積分定理
7.1.3 廣義Cauchy公式
7.1.4 算子的Green函數
7.1.5 求解問題
7.1.6 問題與RH問題的聯繫
7.2 ZS譜問題和NLS方程族
7.2.1 問題和Lax對
7.2.2 推導方程族
7.2.3 構造孤子解
7.2.4 譜問題的規範等價性
7.3 WKI譜問題和mNLS方程族
7.3.1 WKI譜問題
……

本書以反散射理論、Riemann-Hilbert方法、Deift-Zhou非線性速降法和百速降法為分析工具，繫統闡述這些方法在可積繫統、正交多項式和隨機矩陣理論方面的應用。主題部分取材於Deift、McLaughlin、Biondini、Jenkins等一些學者近年來近期新前沿成果。內容主要包括Riemann-Hilbert方法與Schrodinger方程的零邊界和非零邊界求解；Deift-Zhou非線性速降法與mKdV方程的長時間漸近性；速降法與Schrodinger方程在孤子區域的長時間漸近性；正交多項式和隨機矩陣的漸近性分析。本書可作為數學繫、物理繫研究生教材，也可作為高年級本科生學習非線性方程求解和漸近分析、正交多項式和隨機矩陣漸近分析的教材，亦可作為有關科技工作者從事科研的實用參考書。