●前言
第1章 預備知識 1
1.1 基本概念 1
1.2 矢量的代數運算 3
1.2.1 矢量加減法 3
1.2.2 矢量的數乘 3
1.2.3 矢量的點積 3
1.2.4 矢量的矢積 4
1.2.5 矢量的混合積 6
1.2.6 二重矢積與Lagrange恆等式 7
1.3 矢量函數及其微積分 12
1.3.1 矢量函數的概念 12
1.3.2 矢量函數的極限與連續 12
1.3.3 矢量函數的導矢量函數及其方向 13
1.3.4 矢量函數的Taylor公式 17
1.3.5 矢量函數的積分 19
1.4 幾種具有特殊性質的矢量函數 21
1.4.1 具有固定長度的矢量函數 21
1.4.2 具有固定方向的矢量函數 21
1.4.3 位於某一平面內的矢量函數 22
1.5 坐標變換 24
1.5.1 坐標變換與微分幾何的聯繫及物理背景 24
1.5.2 有公共原點的坐標繫間的旋轉變換 25
1.5.3 旋轉-平移復合變換 28
1.5.4 以坐標變換為背景的矢量點積和矢積運算 30
1.6 圓矢量函數與球矢量函數 33
1.6.1 圓矢量函數與球矢量函數的定義 33
1.6.2 圓矢量函數與球矢量函數的運算規則 35
1.6.3 運算舉例 35
參考文獻 36
第2章 空間曲線 37
2.1 正則參數曲線 37
2.2 曲線的弧長 41
2.3 曲線的基本矢、基本三稜形及曲線與平面的切觸 46
2.4 空間曲線的曲率與撓率 53
2.5 空間曲線的Frenet-Serret公式及其運動學意義 58
2.5.1 一條引理及有關幾何解釋 58
2.5.2 Frenet-Serret公式的推導 61
2.5.3 Frenet-Serret公式的運動學意義 62
2.5.4 利用Frenet-Serret公式研究空間曲線 65
2.6 曲線在一點鄰域內的形狀與曲線的切觸 72
2.6.1 空間曲線的近似曲線 72
2.6.2 曲線與曲線的切觸 78
2.7 空間曲線論基本定理 81
參考文獻 90
第3章 平面曲線 91
3.1 平面曲線的Frenet-Serret公式 91
3.2 平面曲線相對曲率的計算公式 94
3.3 曲率圓和曲率半徑 98
3.4 平面曲線的自然方程 100
3.5 曲線的漸伸線與漸縮線 105
3.5.1 漸伸線的求法 106
3.5.2 漸縮線的求法 111
參考文獻 119
第4章 曲面的概念、第一基本形式及相關性質 120
4.1 曲面的概念 120
4.2 曲面的切平面與法線 124
4.3 幾種常見的簡單曲面 127
4.3.1 旋轉面（回轉面） 127
4.3.2 螺旋面 130
4.3.3 直紋面 132
4.4 可展曲面及其分類 136
4.4.1 可展曲面的定義 136
4.4.2 可展曲面的分類 138
4.5 第一基本形式與第一類基本量 141
4.6 曲面的度量性質 145
4.6.1 曲面上曲線段的長度 145
4.6.2 曲面兩切矢的夾角 147
4.6.3 曲面面積 150
4.7 曲面的等距變換、等角變換和等面變換與曲面的內蘊性質 154
4.7.1 曲面的等距變換與曲面的內蘊性質 154
4.7.2 曲面的等角變換 160
4.7.3 曲面的等面變換 164
參考文獻 166
第5章 曲面的第二基本形式與法曲率 168
5.1 第二基本形式與第二類基本量 168
5.2 法曲率 176
5.3 漸近方向、漸近曲線與漸近網 182
5.4 主曲率與主方向 187
5.5 曲率線及其幾何特征 194
5.6 Euler公式 204
參考文獻 230
第6章 曲面論的張量方法與標架微分方法 232
6.1 曲面上自然標架的運動公式 232
6.2 曲面理論的基本方程 244
6.2.1 Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的建立 245
6.2.2 Gauss方程的獨立性與Riemann曲率張量 247
6.2.3 Codazzi-Mainardi方程的獨立性及其采用Gauss曲面論符號的表達法 254
6.2.4 方程總結 255
6.3 Gauss曲率的內蘊表示及其幾何意義 259
6.4 曲面論的基本定理 270
6.5 曲面理論中的標架微分方法 277
參考文獻 288
第7章 基於曲率的曲面研究 289
7.1 正則曲面的Dupin指標線 289
7.2 共軛方向和共軛曲線網 296
7.3 法曲率對弧長的導數 304
7.4 曲面在一點近旁幾何形狀研究 309
7.4.1 曲面方程的三階展式 310
7.4.2 替代曲面在單位正交標架中的方程及其漸近性質 312
7.4.3 替代曲面在主標架中的方程及其主曲率和主方向 314
7.4.4 替代曲面與原曲面在公切點鄰域中的法向距離 316
7.4.5 曲面在一點鄰域內的近似形狀 319
7.5 直紋面和可展面的曲率特征 322
7.6 常Gauss曲率曲面 328
7.6.1 常Gauss曲率的回轉面 328
7.6.2 常Gauss曲率的螺旋面 335
7.6.3 零Gauss曲率的螺旋面 341
7.7 平均曲率為0的曲面 348
7.7.1 “極小曲面”稱謂的由來 348
7.7.2 極小曲面微分方程及其初等解 350
7.7.3 按曲面的類別尋求極小曲面 356
7.8 平均曲率為非0常數的旋轉面和螺旋面 366
7.8.1 平均曲率為非0常數的旋轉面 366
7.8.2 平均曲率為非0常數的螺旋面 371
參考文獻 382
第8章 測地曲率和測地撓率及其應用 384
8.1 測地曲率 384
8.2 測地線 394
8.2.1 測地線的定義與一般性質 394
8.2.2 測地線微分方程及其不同形式 394
8.2.3 測地線的短程性 398
8.2.4 具體曲面上的測地線 400
8.3 測地撓率 408
8.3.1 測地撓率的定義與基本計算公式 408
8.3.2 Bertrand公式及與之相關的測地撓率性質 410
8.3.3 測地撓率和測地曲率在尋求曲面近似方程中的應用 415
8.4 曲面曲線標架運動公式 424
8.4.1 曲面曲線標架運動公式的建立 424
8.4.2 曲面曲線標架運動公式的運動學意義 426
8.4.3 推廣的Rodrigues方程 430
8.5 推廣的Euler公式和Bertrand公式 454
8.5.1 曲撓圓 454
8.5.2 基於法曲率和測地撓率的平均曲率與Gauss曲率計算式 455
8.5.3 推廣的Euler公式和Bertrand公式 456
8.6 曲面曲率分析綜合舉例 462
8.6.1 法向圓弧螺旋面方程的建立 462
8.6.2 法向圓弧螺旋面的單位法矢量和兩類基本量 463
8.6.3 法向圓弧螺旋面上的活動標架和它的曲率參數 465
8.6.4 法向圓弧螺旋面測地曲率的計算 467
參考文獻 471
第9章 包絡理論 472
9.1 單參數曲面族的包絡面、接觸方程與特征線 472
9.2 單參數曲面族包絡面的奇點條件 478
9.3 單參數平面族的包絡面 487
9.4 單參數平面曲線族的包絡線 498
9.5 雙參數曲面族的包絡面及接觸方程 503
9.6 雙參數曲面族的兩類界線 512
9.6.1 接觸界線 512
9.6.2 曲率干涉界線 517
9.6.3 矢量Nj（j=1,2）的特性 521
9.6.4 偏曲率干涉界線函數*1t2和*2t1的關繫式 524
9.7 雙參數曲面族的包絡面及兩類界線計算舉例 526
9.7.1 雙參數漸開螺旋面族 526
9.7.2 接觸方程及其解 526
9.7.3 接觸界線 532
9.7.4 包絡面方程 533
9.7.5 曲率干涉界線 537
附錄 雙參數漸開螺旋面族方程（9.7.1）的推導 539
參考文獻 541

本書是一本關於三維Euclid空間中光滑曲線與曲面一般幾何理論的基礎性專門學術著作。全書共9章，可劃分為四個部分。第1章為第一部分，主要講授三維矢量的代數與分析，是全書的理論基礎。第2～3章為第二部分，屬於三維Euclid空間的曲線論。第4～8章為第三部分，屬於三維Euclid空間的曲面論。第9章為第四部分，深入詳細地研究了包絡現像。相對於既有文獻，本書補充了新內容，對傳統內容也往往采用新方法加以處理，對於同一問題有的還給出了不同的解法或證明，以例題的形式，對工程中常見曲線、曲面的幾何性質做了比較深入的定量研究討論，還把其他數學分支的理論與方法，自然地應用於經典微分幾何的研究。全書思路清晰，推導過程詳盡，論述深入淺出，直接明快，既不失作為數學著作的嚴謹與嚴格，又注意聯繫工程實際。