●前言
第1章矩陣與線性變換1
1.1自然界中的線性變換1
1.2線性變換與矩陣7
1.3小結8
第2章矩陣相似與矩陣合同10
2.1矩陣相似10
2.1.1坐標繫與向量10
2.1.2坐標轉換12
2.1.3相似矩陣14
2.2矩陣合同[選讀]17
2.2.1直線的長度17
2.2.2合同矩陣18
2.3小結20
第3章矩陣特征分析22
3.1矩陣的特征值與特征向量22
3.1.1實特征值與特征向量22
3.1.2復特征值與特征向量24
3.1.3矩陣的基本線性分解31
3.2特征多項式38
3.3小結41
第4章矩陣對角化與若爾當標準形42
4.1矩陣對角化42
4.2若爾當標準形43
4.3小結49
第5章矩陣的冪51
5.1可對角矩陣的冪51
5.1.1實特征值情形53
5.1.2復特征值情形55
5.1.3兩種類型特征值情形57
5.1.4負特征值情形61
5.1.5負特征值對情形62
5.2任意矩陣的冪66
5.2.1矩陣二項式定理66
5.2.2矩陣開方定理69
5.3小結72
第6章行列式73
6.1行列式的定義73
6.2行列式的幾何意義74
6.3行列式的代數解釋75
6.4行列式的相關概念78
6.4.1叉積78
6.4.2楔形積81
6.4.3混合積87
6.5小結89
第7章矩陣李群90
7.1群90
7.2置換群96
7.3矩陣李群99
7.4李群[選讀]102
7.5小結103
第8章矩陣李代數104
8.1矩陣指數104
8.2矩陣李群的李代數109
8.3李代數115
8.4矩陣李群同態定理117
8.5小結118
參考文獻119

本書從線性變換的角度對矩陣的諸多重要概念進行了全新的詮釋。具體而言，在第一章首先旗幟鮮明地指出矩陣並非空穴來風，而是源於自然界中的線性變換。第二章講述了線性變換的矩陣表達與坐標繫的關繫，從而引出矩陣相似的概念；此外，作為選講內容講述了矩陣合同與度規的關聯。第三章從特征分析的角度給出了一個矩陣可能包含的線性變換類型，並給出了各種不同類型的數與自然界基本線性動作的對應關繫。第四章利用矩陣對角化和若當標準形理論對自然界中線性變換的種類給出了明確的結論。第五章從線性變換的連續性角度，對矩陣在實域內是否可以開任意次方，以及如何計算矩陣的任意次方給出了嚴謹的闡述。第六章指出行列式代表線性變換的整體縮放效果，並分別給出了行列式的代數解釋和幾何解釋；此外，還闡述了行列式與叉積、楔形積、混合積等概念的關聯。前面的章節講述的均是單一矩陣的各種概念和性質，而第七章則從矩陣集合的角度講述了矩陣李群的相關概念和意義等