●前 言第 １ 章 斐波那契恆等式 ……… １１？？ １ 斐波那契數的組合解釋 ……………………… １１？？ ２ 恆等式 …………………… ２１？？ ３ 有趣的應用 ……………… １３１？？ ４ 注記 ……………………… １５１？？ ５ 練習 ……………………… １６第 ２ 章 廣義斐波那契恆等式和盧卡斯恆等式 …… １９２？？ １ 盧卡斯數的組合解釋 …… １９２？？ ２ 盧卡斯恆等式 …………… ２１２？？ ３ 廣義斐波那契數 (Ｇｉｂｏｎａｃｃｉ數) 的組合解釋 ………… ２６２？ ４ 廣義斐波那契 (Ｇｉｂｏｎａｃｃｉ)恆等式 …………………… ２６２？？ ５ 注記 ……………………… ３６２？？ ６ 練習 ……………………… ３６第 ３ 章 線性遞推 …………… ３８３？？ １ 線性遞推的組合解釋 …… ３８３？？ ２ 二階遞推恆等式 ………… ４１３？？ ３ 三階遞推恆等式 ………… ４３３？？ ４ ｋ 階遞推恆等式 ………… ４７３？？ ５ 來點實在的! 任意權重與初始條件 ……………………… ４８３？？ ６ 注記 ……………………… ５０３？？ ７ 練習 ……………………… ５０第 ４ 章 連分式………………… ５３４？？ １ 連分式的組合解釋 ……… ５３４？？ ２ 恆等式 …………………… ５６４？？ ３ 非簡單連分式 …………… ６２４？？ ４ 再來點實在的 …………… ６４４？？ ５ 注記 ……………………… ６４４？？ ６ 練習 ……………………… ６４第 ５ 章 二項式恆等式 ……… ６７５？？ １ 二項式繫數的組合解釋 ……………………… ６７５？？ ２ 基本恆等式 ……………… ６８５？？ ３ 更多二項式繫數恆等式 ……………………… ７３５？？ ４ 可重復選擇 ……………… ７６５？？ ５ 帕斯卡三角形中的奇數 ……………………… ８２５？？ ６ 注記 ……………………… ８６５？？ ７ 練習 ……………………… ８６Ⅷ第 ６ 章 正負號交錯的二項式恆等式………………… ８９６？？ １ 奇偶性討論與容斥原理 ……………………… ８９６？？ ２ 正負號交錯的二項式繫數恆等式 …………………… ９２６？？ ３ 注記 ……………………… ９９６？？ ４ 練習 ……………………… ９９第 ７ 章 調和數與斯特林數 … １０１７？？ １ 調和數與排列數………… １０１７？？ ２ 第一類斯特林數………… １０３７？？ ３ 調和數的組合解釋……… １０８７？？ ４ 調和數恆等式的證明…… １１０７？？ ５ 第二類斯特林數………… １１５７？？ ６ 注記……………………… １１９７？？ ７ 練習……………………… １１９第 ８ 章 數論 ………………… １２２８？？ １ 算術恆等式……………… １２２８？？ ２ 代數與數論……………… １２８８？？ ３ 重提優選公因數………… １３２８？？ ４ 盧卡斯定理……………… １３４８？？ ５ 注記……………………… １３７８？？ ６ 練習……………………… １３８第 ９ 章 進階斐波那契和盧卡斯恆等式 ……………… １４０９？？ １ 更多斐波那契和盧卡斯恆等式…………………… １４０９？？ ２ 著色恆等式……………… １４５９？？ ３ 一些 “隨機” 恆等式與黃金分割………………… １５３９？？ ４ 斐波那契和盧卡斯多項式…………………… １５８９？？ ５ 負數……………………… １６０９？？ ６ 開放問題和瓦伊達(Ｖａｊｄａ) 數據…………… １６０章節練習中部分習題的提示與解法 …………………………… １６４參考文獻 ………………………… １９０

本書作者采取對話式的風格講述了關於組合數學的有趣的內容，使讀者能感受到閱讀的愉悅。書中時不時會有一些驚喜，比如用圖像化的處理方法以及用易於推廣的證明方式，證明了許多組合數學中重要的恆等式。全書共有 ９ 章: 第 １ 章介紹了斐波那契數列的組合解釋；第 ２ 章介紹了廣義斐波那契數列和盧卡斯數列；第 ３ 章通過對平鋪進行著色，引入了線性遞推的組合解釋；第 ４ 章介紹了連分式；第 ５ 章介紹了有關二項式繫數的內容；第 ６ 章討論了正負號交錯的二項式恆等式；第 ７ 章探究了調和數與第一類斯特林數之間的關繫；第 ８ 章介紹了連續整數和、 費馬小定理、 威爾遜定理以及一部分拉格朗日定理的逆定理；第９ 章介紹了進階斐波那契恆等式和其他一些恆等式。本書可作為組合數學課程的補充讀物，讀者無論是高中生還是數學方面的研究人員，均會不同程度地受益。

本書的每一個證明最終都可以歸納為一個計數問題？ 通常用兩種不同的方法數數？ 計數會給出美麗？ 通常基本？ 且簡潔的證明？ 雖然它不一定是最簡單的方法？ 但它卻提供了另一種理解數學事實的途徑？ 對於一個組合數學研究者？ 這種證明方法纔是專享正確的？ 我們把這本書獻給各位讀者？ 作為羅傑？？內爾森的著作 ？數學寫真集Ⅰ———無需語言的證明？ (機械工業出版社出版) 相應的計數版本？為什麼計數?作為人類？ 我們在很小的時候就學會了如何數數？ 一般一個兩歲的孩子就會自豪地數到 １０？ 以得到父母的稱贊？ 雖然很多成年人說自己數學很差？但卻沒有人承認自己不會計數？ 計數是我們最早用到的工具之一？ 物理學家恩斯特？？馬赫甚至說: “在數學中不存在不能通過直接計算解決的問題？”[３６]組合證明可以尤其強大？ 至今？ 我 (Ａ？？ Ｔ？？ Ｂ？？ ) 仍記得當我還是一名大一新生時？ 第一次接觸組合證明時的等