本書可以極大地深化讀者對協變微分學和協變變分學的理解；通過本書，讀者將建立起充滿活力的張量分析知識體繫。

●第1章導言
1．1關於平坦時空
1．2關於張量及其協變性
1．3關於張量的協變微分學
1．4博士生的“幼稚”提問
1．5前輩數學力學家的疑惑
1．6協變微分學的局限性
1．7協變形式不變性
1．8從協變微分學到協變變分學
上篇平坦空間中的協變微分學與廣義協變微分學
第2章自然標架與自然基矢量的Ricci變換
2．1自然坐標下矢徑微分中的不變性
2．2逆變基矢量
2．3度量張量分量
2．4基矢量的指標變換
2．5協變基矢量的坐標變換
2．6逆變基矢量的坐標變換
2．7度量張量的雜交分量
2．8統一的Ricci變換
2．9度量張量的兩點分量
2．10本章注釋
第3章分量與廣義分量的Ricci變換
3．1矢量的分解式
3．2矢量分解式中的廣義對偶不變性
3．3矢量分解式中的表觀形式不變性
3．4矢量的Ricci變換群
3．5張量分解式中的不變性與Ricci變換群
3．6廣義分量概念
3．7張量的雜交分量
3．8雜交廣義分量
3．9本章注釋
第4章分量的協變導數
4．1從矢量場的偏導數到矢量分量的協變導數
4．2從張量場的偏導數到張量分量的協變導數
4．3經典協變導數的協變性
4．4度量張量分量的普通偏導數和經典協變導數
4．5分量之積的協變導數定義式
4．6第一類組合模式與經典協變導數的代數結構
4．7第二類組合模式
4．8矢量分量的雜交協變導數
4．9張量雜交分量的協變導數
4．10度量張量的雜交分量的協變導數
4．11張量雜交分量之積的雜交協變導數
4．12經典協變導數中的結構模式
4．13經典協變導數的概念生成模式
4．14再看經典協變導數的協變性
4．15普通偏導數的非協變性
4．16指標概念的補充分類
4．17Christoffel符號的進一步分析
4．18雜交Christoffel符號的進一步分析
4．19再看雜交Christoffel符號下指標的非對稱性
4．20不易察覺的陷阱
4．21協變導數的代數結構再分析
4．22本章注釋
第5章廣義分量的廣義協變導數
5．1矢量分量協變導數的延拓
5．2張量分量協變導數的延拓
……
下篇平坦空間中的協變變分學和廣義協變變分學

本書集成了作者在2012-2016年間的部分研究進展。本書分為上篇和下篇。上篇聚焦於空間，下篇集中於時間。上篇致力於靜態空間域上的張量分析學，包括張量的經典微分學，張量的協變微分學，張量的廣義協變微分學。下篇致力於動態時間域上的張量分析學，包括張量的局部變分學，張量的協變變分學，張量的廣義協變變分學。上篇和下篇都圍繞著協變性思想展開。上篇展示了空間域上的協變性，下篇展現了時間域上的協變性。上下篇相結合，揭示了平坦時空的協變性。上篇的核心概念是靜態空間域上的經典協變導數和廣義協變導數，以及經典協變微分和廣義協變微分。下篇的核心概念是動態時間域上的協變導數和廣義協變導數，以及協變變分和廣義協變變分。廣義分量是經典分量概念的拓展，是貫穿該書眾多章節的有趣概念。公理化是上、下篇共同的思想基礎，而協變形式不變性公設則是公理化思想的具體表現。以廣義分量概念為突破口，以協變形式不變性公設為基礎，該書將經等

殷雅俊 著