●第二版前言
第一版前言
第 1 章 常微分方程初、邊值問題數值解法 1
1.1 引言 1
1.2 Euler方法 3
1.2.1 Euler方法及其幾何意義 3
1.2.2 Euler方法的誤差分析 4
1.2.3 Euler方法的穩定性 6
1.2.4 改進的Euler方法 7
1.3 Runge-Kutta方法 8
1.3.1 顯式Runge-Kutta方法 8
1.3.2 隱式Runge-Kutta方法 13
1.3.3 半隱式Runge-Kutta方法 16
1.3.4 單步法的穩定性和收斂性 17
1.4 線性多步方法 20
1.4.1 Adams外插法 20
1.4.2 Adams內插法 24
1.4.3 一般線性多步公式 26
1.5 線性多步法的穩定性和收斂性 29
1.5.1 線性差分方程 29
1.5.2 線性多步法的局部截斷誤差 32
1.5.3 線性多步法的穩定性和收斂性 35
1.5.4 絕對穩定性 40
1.6 預估-校正算法 47
1.7 剛性方程組的解法 54
1.8 解常微分方程邊值問題的試射法 58
1.8.1 二階線性常微分方程的試射法 60
1.8.2 二階非線性常微分方程的試射法 61
1.9 解兩點邊值問題的有限差分方法 63
1.9.1 有限差分近似的基本概念 64
1.9.2 用差商代替導數的方法 66
1.9.3 積分插值法 68
1.9.4 解三對角方程組的追趕法 70
1.10 Hamilton繫統的辛幾何算法 71
1.10.1 辛幾何與辛代數的基本概念 73
1.10.2 線性Hamilton繫統的辛差分格式 76
1.10.3 辛Runge-Kutta方法 79
習題1 82
第 2 章 拋物型方程的差分方法 86
2.1 有限差分格式的基礎 89
2.2 一維拋物型方程的差分方法 95
2.2.1 常繫數熱傳導方程 95
2.2.2 變繫數熱傳導方程 103
2.3 差分格式的穩定性和收斂性 106
2.3.1 圖方法 106
2.3.2 穩定性分析的矩陣方法 108
2.3.3 Gerschgorin定理及其應用 120
2.3.4 穩定性分析的Fourier方法 124
2.3.5 Kreiss矩陣定理 132
2.3.6 能量方法 142
2.3.7 差分方程的收斂性 145
2.4 二維拋物型方程的差分方法 147
2.4.1 顯式差分格式 148
2.4.2 隱式差分格式 151
2.4.3 差分格式的穩定性分析 153
2.4.4 交替方向隱式差分格式 156
2.4.5 輔助應變量的邊界條件 161
習題2 163
第 3 章 雙曲型方程的差分方法 168
3.1 一維雙曲型方程的特征線方法 168
3.1.1 一階線性雙曲型方程 168
3.1.2 一階擬線性雙曲型方程 171
3.1.3 二階擬線性雙曲型方程 174
3.2 一維一階線性雙曲型方程的差分方法 179
3.2.1 雙曲型方程的初值問題 179
3.2.2 雙曲型方程的初邊值問題 190
3.3 一維一階線性雙曲型方程組的差分方法 191
3.3.1 Lax-Friedrichs格式 192
3.3.2 Lax-Wendroff格式 194
3.3.3 Courant-Isaacson-Rees格式 196
3.4 高維一階線性雙曲型方程的差分方法 201
3.4.1 Lax-Wendro格式 202
3.4.2 顯式MacCormack格式 203
3.4.3 Strang分裂格式 204
3.5 二階線性雙曲型方程的差分方法 207
3.5.1 一維波動方程 207
3.5.2 二維波動方程 213
3.6 擬線性雙曲型守恆律的差分方法 218
3.6.1 守恆律與弱解 218
3.6.2 熵條件和可容許解 228
3.6.3 守恆型差分方法 232
3.6.4 高分辨TVD格式 239
習題3 254
第 4 章 橢圓型方程的差分方法 258
4.1 Poisson方程邊值問題的差分方法 259
4.1.1 五點差分格式 259
4.1.2 邊界條件的離散 260
4.2 極坐標下Poisson方程的差分方法 266
4.3 Poisson方程的有限體積方法 267
4.4 差分方法的收斂性和誤差估計 271
4.4.1 離散邊值問題的可解性 271
4.4.2 差分格式的收斂性和誤差估計 272
4.5 一般二階線性橢圓型方程差分方法 274
4.6 橢圓型差分方程的迭代解法 278
4.6.1 迭代法的基本理論 278
4.6.2 Jacobi迭代方法和Gauss-Seidel迭代方法 281
4.6.3 逐次超松弛迭代法 287
4.6.4 相容次序和性質 A 289
4.6.5 共軛梯度方法 294
4.7 多重網格方法 301
4.7.1 雙重網格方法 302
4.7.2 多重網格方法 307
習題4 309
第 5 章方法 312
5.1 引言 312
5.2 變分原理 312
5.2.1 一個典型例子 312
5.2.2 二次泛函的變分問題 315
5.2.3 Ritz法與Galerkin 法 317
5.3 幾何剖分與分片插值 319
5.3.1 三剖分 320
5.3.2 三角與面積坐標 322
5.3.3 其他三角形Lagrang 326
5.3.4 三角形Hermit 329
5.3.5 矩形Lagrang 331
5.3.6 矩形Hermit 335
5.3.7 變分問題離散化 337
5.4 Sobolev空間初步 340
5.4.1 廣義導數 340
5.4.2 Sobolev空間Hk()與Hk0()342
5.4.3 嵌入定理與跡定理 343
5.4.4 等價模定理 345
5.5的誤差分析 346
5.5.1 Lax-Milgram 定理 346
5.5.2 典型邊值問題的適定性 348
5.5.3 投影定理 351
5.5.4 收斂性與誤差估計 353
5.6 非協 356
5.6.1 的例子 356
5.6.2 的收斂性 357
5.7 自適 358
5.7.1 自適應方法簡介 358
5.7.2 後驗誤差估計 359
習題5 363
第 6 章方法 372
6.1 引言 372
6.2 經典邊界歸化 373
6.2.1 調和邊值問題、Green公式和基本解 373
6.2.2 間接邊界歸化 376
6.2.3 直接邊界歸化 380
6.3 自然邊界歸化 382
6.3.1 自然邊界歸化原理 382
6.3.2 典型域上的自然邊界歸化 384
6.3.3 自然積分算子的性質 389
6.4 邊界積分方程的數值解法 390
6.4.1 配置法 390
6.4.2 Galerkin法 391
6.4.3 一類超奇異積分方程的數值解法 392
6.耦合法 393
6.5.1法法比較 393
6.5.2 自耦合法原理 394
6.6 無窮遠邊界條件的近似 397
6.6.1 人工邊界上的近似邊界條件 397
6.6.2 近似積分邊界條件與誤差估計 400
6.7 區域分解算法 400
6.7.1 有界區域的區域分解算法 400
6.7.2 基於邊界歸化的區域分解算法 403
習題6 406
參考文獻 409
附錄 馮康院士與科學計算 412

本書內容包括常微分方程初、邊值問題的數值解法，拋物型、雙曲型和橢圓型偏微分方程的差分方法，偏微分方程和積分方程方法方法。本書選材通用而新穎，既介紹在科學和工程計算中常用的經典的數值計算方法，又包含近年來計算數學研究的一些新進展，也包括兩位作者的若干研究成果。本書以介紹微分方程的數值求解方法為主，但也涉及有關的基礎知識和基本理論，使敘述和論證既深入淺出，又嚴格準確。