●第一部分 解三次和四次多項式方程的故事
第一章 一次和二次方程的求解
§1.1 一次方程的求解與數集的擴張
§1.2 二次方程的求解與根式可解
第二章 求解三次方程的故事
§2.1 波洛那的費羅
§2.2 菲奧爾與塔爾塔利亞
§2.3 卡爾達諾與費拉裡
第三章 三次方程和四次方程的根式求解
§3.1 三次方程的根式求解
§3.2 許德方法的數學背景
§3.3 四次方程的根式求解
第二部分 向五次方程進軍
第四章 有關方程的一些理論
§4.1 韋達與根和繫數的關繫
§4.2 牛頓與牛頓定理
§4.3 歐拉與復數
§4.4 1的根
第五章 範德蒙與他的“根的對稱式表達”方法
§5.1 範德蒙與範德蒙方法
§5.2 用範德蒙方法解三次方程
第六章 拉格朗日與他的預解式方法
§6.1 拉格朗日與他的預解式
§6.2 用拉格朗日方法解三次方程
§6.3 用拉格朗日方法解四次方程
§6.4 n=5時的情況
第七章 高斯與代數基本定理
§7.1 高斯與代數基本定理
§7.2 分圓方程與它的根式求解
§7.3 開方運算的多值性與卡爾達諾公式
第八章 魯菲尼、阿貝爾與伽羅瓦
§8.1 被人遺忘的魯菲尼
§8.2 死於貧窮的阿貝爾
§8.3 死於愚蠢的伽羅瓦
第三部分 一些數學基礎
第九章 集合與映射
§9.1 集合論中的一些基本概念
§9.2 集合問的映射
§9.3 集合A中的變換
§9.4 關繫、等價關繫與分類
§9.5 整數集合Z與同餘關繫
§9.6 算術基本定理與歐拉函數φ（n）
第十章 群論基礎
§10.1 群的定義
§10.2 群與對稱性
§10.3 對稱群Sn
§10.4 子群與陪集
§10.5 正規子群與商群
§10.6 循環群與n次本原根
§10.7 單群
§10.8 群的同態映射與同構映射
第十一章 數與代數繫
§11.1 自然數集N作為可換半群及其可數性
§11.2 整數集合Z與整環
§11.3 域與有理數域Q
§11.4 實數域R的不可數性
§11.5 復數域C與子域
第十二章 域上的向量空間
§12.1 向量空間的定義
§12.2 向量空間的一些基礎理論
§12.3 數域作為向量空間
第十三章 域上的多項式
§13.1 一些基本事項
§13.2 多項式的可約性與艾森斯坦定理
§13.3 關於三次方程根的一些定理
第四部分 擴域理論
第十四章 有限擴域
§14.1 擴域作為向量空間
§14.2 維數公式
第十五章 代數數與超越數
§15.1與代數數
§15.2 代數數集A是可數的
§15.3 超越數的存在
§15.4 代數擴域
第十六章 單代數擴域
§16.1 最小多項式
§16.2 單代數擴域
§16.3 單代數擴域的性質
§16.4 添加2的情況
§16.5 有限的添加與單擴域
§16.6 代數數集A是域
§16.7 m型純擴域與根式塔
第五部分 尺規作圖問題
第十七章 尺規作圖概述
§17.1 尺規作圖的出發點、操作公理與作圖法則
§17.2 優選可作數域K
§17.3 Q的可作擴域
第十八章 尺規不可作問題
§18.1 存在不可作數
§18.2 立方倍積、三等分任意角與化圓為方
第十九章 正n邊形的尺規作圖
§19.1 把正”邊形的可作性歸結為一些簡單的情況
§19.2 有關p邊形的兩個域列
§19.3 分圓多項式
§19.4 數戶p應滿足的必要條件
§19.5 對具有p=2m+1形式的奇素數的討論
§19.6 費馬數
§19.7 作出正n邊形的“充要條件”
第六部分 兩類重要的群與一類重要的擴域
第二十章 對稱群Sn
§20.1 循環與對換
§20.2 置換的奇偶性
§20.3 素的對稱類與其對換乘積表示
§20.4 交代群An的性質
§20.5 A5是單群
§20.6 可遷群
第二十一章 可解群
§21.1 可解群的定義
§21.2 可解群的性質
§21.3 n≥5時，Sn是不可解群
第二十二章 正規擴域
§22.1 多項式的基域與根域
§22.2 正規擴域
§22.3 正規擴域的性質
第七部分 伽羅瓦理論
第二十三章 從域得到群
§23.1 域E的自同構群
§23.2 E作為F擴域時的一類特殊自同構群
§23.3 正規擴域時的伽羅瓦群
§23.4 伽羅瓦群的一些重要性質
§23.5 域F上方程的伽羅瓦群
§23.6 域F上的一般的n次多項式方程
第二十四章 伽羅瓦理論的基本定理
§24.1 伽羅瓦對應
§24.2 伽羅瓦理論的基本定理
第八部分 伽羅瓦理論的應用
第二十五章 多項式方程的根式可解問題
§25.1 一些特殊的伽羅瓦群
§25.2 根式可解的數學含義
§25.3 根式擴域與根式可解的準確數學定義
§25.4 循環擴域與拉格朗日預解式
§25.5 多項式方程根式可解的必要條件
§25.6 2x5-10x+5=0不可根式求解
§25.7 多項式方程根式可解的充分條件
§25.8 用伽羅瓦理論解三次方程
第二十六章 三次實繫數不可約方程有3個實根時的“不可簡化情況”
§26.1 從判別式看根的情況
§26.2 不可簡化情況
§26.3 根域的表達
§26.4 xb-α=0，α∈R型方程
§26.5 實根要通過復數得到
第二十七章 正n邊形尺規作圖的充分條件
§27.1 正n邊形尺規作圖必要條件的回顧與充分條件的提出
§27.2 p群的一個定理
§27.3 正”邊形尺規作圖的充分條件
§27.4 作正17邊形的高斯方法
§27.5 從伽羅瓦理論看正17邊形的尺規作圖
第二十八章 對稱多項式的牛頓定理
§28.1 一個引理
§28.2 牛頓定理
附錄
附錄1 關於復數的指數形式表示與三角形式表示之間的一個聯繫——棣莫弗公式
附錄2 關於兩個正整數優選公因數的一個關繫式——貝祖等式
附錄3 計算三次方程的判別式D
附錄4 多項式方程的重根問題
參考文獻

本書分“解三次和四次多項式方程的故事”、“向五次方程進軍”、“一些數學基礎”、“擴域理論”、“尺規作圖問題”、“兩類重要的群與一類重要的擴域”、“伽羅瓦理論”及“伽羅瓦理論的應用”八個部分逐步展開，引導讀者一步步去解決一繫列重大的古典數學難題。

馮承天 著