代數（原書第2版）
譯者序
前言
記號章矩陣1
節基本運算1
第二節行約簡8
第三節矩陣的轉置14
第四節行列式14
第五節置換20
第六節行列式的其他公式22
練習25
第二章群31
節合成法則31
第二節群與子群34
第三節整數加群的子群36
第四節循環群38
第五節同態40
第六節同構43
第七節等價關繫和劃分44
第八節陪集47
第九節模算術50
第十節對應定理51
第十一節積群53
第十二節商群55
練習57
第三章向量空間64
節Rn的子空間64
第二節域65
第三節向量空間69
第四節基和維數70
第五節用基計算75
第六節直和79
第七節無限維空間80
練習81
第四章線性算子85
節維數公式85
第二節線性變換的矩陣86
第三節線性算子90
第四節特征向量92
第五節特征多項式94
第六節三角形與對角形97
第七節若爾當形99
練習104
第五章線性算子的應用110
節正交矩陣與旋轉110
第二節連續性的使用115
第三節微分方程組117
第四節矩陣指數121
練習125
第六章對稱128
節平面圖形的對稱128
第二節等距129
第三節平面的等距132
第四節平面上正交算子的有限群135
第五節離散等距群138
第六節平面晶體群142
第七節抽像對稱：群作用145
第八節對陪集的作用147
第九節計數公式148
第十節在子集上的作用150
第十一節置換表示150
第十二節旋轉群的有限子群151
練習155
第七章群論的進一步討論160
節凱萊定理160
第二節類方程160
第三節p-群162
第四節二十面體群的類方程162
第五節對稱群裡的共軛164
第六節正規化子166
第七節西羅定理167
第八節12階群170
第九節自由群172
第十節與關繫174
第十一節托德考克斯特算法177
練習182
第八章雙線性型188
節雙線性型188
第二節對稱型189
第三節埃爾米特型190
第四節正交性193
第五節歐幾裡得空間與埃爾米特空間198
第六節譜定理199
第七節圓錐曲線與二次曲面202
第八節斜對稱型205
第九節小結207
練習208
第九章線性群214
節典型群214
第二節插曲：球面215
第三節特殊酉群SU2218
第四節旋轉群SO3221
第五節單參數群223
第六節李代數226
第七節群的平移227
第八節SL2的正規子群230
練習233
第十章群表示238
節定義238
第二節既約表示241
第三節酉表示243
第四節特征標245
第五節1維特征標249
第六節正則表示249
第七節舒爾引理252
第八節正交關繫的證明254
第九節SU2的表示256
練習258
第十一章環265
節環的定義265
第二節多項式環266
第三節同態與理想269
第四節商環274
第素的添加277
第六節積環280
第七節分式281
第八節極大理想283
第九節代數幾何285
練習291
第十二章因子分解295
節整數的因子分解295
第二節分解整環295
第三節高斯引理302
第四節整多項式的分解305
第五節高斯素數309
練習311
第十三章二次數域316
節代數整數316
第二節分解代數整數318
第三節Z［－5］中的理想319
第四節理想的乘法321
第五節分解理想324
第六節素理想與素整數326
第七節理想類327
第八節計算類群330
第九節實二次域333
第十節關於格335
練習338
第十四章環中的線性代數341
節模341
第二節自由模342
第三節恆等式345
第四節整數矩陣的對角化346
第五節和關繫350
第六節諾特環353
第七節阿貝爾群的結構356
第八節對線性算子的應用358
第九節多變量多項式環361
練習362
第十五章域366
節域的例子366
第二節366
第三節擴域的次數369
第四節求既約多項式372
第五節尺規作圖373
第六節添加根378
第七節有限域380
第八節383
第九節函數域384
第十節代數基本定理390
練習391
第十六章伽羅瓦理論395
節對稱函數395
第二節判別式398
第三節分裂域399
第四節域擴張的同構401
第五節固定域402
第六節伽羅瓦擴張403
第七節主要定理405
第八節三次方程407
第九節四次方程408
第十節單位根411
第十一節庫默爾擴張413
第十二節五次方程415
練習418
附錄背景材料424
參考文獻432

數學分析：原書第2版：典藏版
譯者序
前言
第1章實數繫與復數繫1
1.1引言1
1.2域公理1
1.3序公理2
1.4實數的幾何表示2
1.5區間3
1.6整數3
1.7整數的因數分解定理4
1.8有理數5
1.9無理數5
1.10上和小上界(上確界)6
1.11完全公理7
1.12上確界的某些性質7
1.13從完全公理推演出的整數性質8
1.14實數繫的阿基米德性質8
1.15能用有限小數表示的有理數9
1.16用有限小數逼近實數9
1.17用無限小數表示實數10
1.18值與三角不等式10
1.19柯西施瓦茨不等式11
1.20正負無窮和擴充的實數繫R*11
1.21復數12
1.22復數的幾何表示14
1.23虛數單位14
1.24復數的值15
1.25復數排序的不可能性15
1.26復指數15
1.27復指數的進一步性質16
1.28復數的輻角17
1.29復數的整數冪和方根17
1.30復對數18
1.31復冪19
1.32復正弦和復餘弦19
1.33無窮遠點與擴充的復平面C*20
練習20
參考文獻25
第2章集合論的一些基本概念26
2.1引言26
2.2記號26
2.3序偶27
2.4兩個集合的笛卡兒積27
2.5關繫與函數27
2.6關於函數的進一步的術語28
2.71-1函數及其反函數29
2.8復合函數30
2.9序列30
2.10相似(對等)集合31
2.11有限集與無限集31
2.12可數集與不可數集31
2.13實數繫的不可數性32
2.14集合代數33
2.15可數集的可數族34
練習35
參考文獻37
第3章點集拓撲初步38
3.1引言38
3.2歐氏空間Rn38
3.3Rn中的開球與開集39
3.4R1中開集的結構41
3.5閉集42
3.6附貼點與聚點42
3.7閉集與附貼點43
3.8波爾查諾魏爾斯特拉斯定理43
3.9康托爾交定理44
3.10林德勒夫覆蓋定理45
3.11海涅博雷爾覆蓋定理46
3.12Rn中的緊性47
3.13度量空間48
3.14度量空間中的點集拓撲49
3.15度量空間的緊子集51
3.16集合的邊界52
練習52
參考文獻55
第4章極限與連續性56
4.1引言56
4.2度量空間中的收斂序列56
4.3柯西序列58
4.4完備度量空間59
4.5函數的極限59
4.6復值函數的極限61
4.7向量值函數的極限61
4.8連續函數62
4.9復合函數的連續性63
4.10連續復值函數和連續向量值函數64
4.11連續函數的例子64
4.12連續性與開集或閉集的逆像65
4.13緊集上的連續函數66
4.14拓撲映射（同胚）67
4.15波爾查諾定理68
4.16連通性68
4.17度量空間的分支70
4.18弧連通性70
4.19一致連續性72
4.20一致連續性與緊集73
4.21壓縮的不動點定理74
4.22實值函數的間斷點74
4.23單調函數76
練習77
參考文獻83
第5章導數84
5.1引言84
5.2導數的定義84
5.3導數與連續性84
5.4導數代數85
5.5鏈式法則86
5.6單側導數和無窮導數86
5.7具有非零導數的函數87
5.8零導數與局部極值87
5.9羅爾定理88
5.10微分中值定理88
5.11導函數的介值定理90
5.12帶餘項的泰勒公式90
5.13向量值函數的導數92
5.14偏導數92
5.15復變函數的微分93
5.16柯西黎曼方程94
練習97
參考文獻101
第6章有界變差函數與可求長曲線102
6.1引言102
6.2單調函數的性質102
6.3有界變差函數102
6.4全變差104
6.5全變差的可加性105
6.6在［a，x］上作為x的函數的全變差105
6.7有界變差函數表示為遞增函數之差106
6.8有界變差連續函數106
6.9曲線與路107
6.10可求長的路與弧長107
6.11弧長的可加性及連續性性質109
6.12路的等價性與參數變換109
練習110
參考文獻112
第7章黎曼斯蒂爾切斯積分113
7.1引言113
7.2記號114
7.3黎曼斯蒂爾切斯積分的定義114
7.4線性性質115
7.5分部積分法116
7.6黎曼斯蒂爾切斯積分中的變量替換117
7.7化為黎曼積分118
7.8階梯函數作為積分函數119
7.9黎曼斯蒂爾切斯積分化為有限和120
7.10歐拉求和公式121
7.11單調遞增的積分函數、上積分與下積分122
7.12上積分及下積分的可加性與線性性質124
7.13黎曼條件124
7.14比較定理126
7.15有界變差的積分函數127
7.16黎曼斯蒂爾切斯積分存在的充分條件129
7.17黎曼斯蒂爾切斯積分存在的必要條件130
7.18黎曼斯蒂爾切斯積分的中值定理131
7.19積分作為區間的函數131
7.20積分學第二基本定理132
7.21黎曼積分的變量替換133
7.22黎曼積分第二中值定理134
7.23依賴於一個參數的黎曼斯蒂爾切斯積分135
7.24積分號下的微分法136
7.25交換積分次序136
7.26黎曼積分存在性的勒貝格準則137
7.27復值黎曼斯蒂爾切斯積分141
練習142
參考文獻148
第8章無窮級數與無窮乘積149
8.1引言149
8.2收斂的復數序列與發散的復數序列149
8.3實值序列的上極限與下極限149
8.4單調的實數序列150
8.5無窮級數151
8.6插入括號和去掉括號152
8.7交錯級數153
8.8收斂與條件收斂154
8.9復級數的實部與虛部154
8.10正項級數收斂性的檢驗法155
8.11幾何級數155
8.12積分檢驗法155
8.13大O記號和小o記號156
8.14比值檢驗法和根檢驗法157
8.15狄利克雷檢驗法和阿貝爾檢驗法158
8.16幾何級數∑zn在單位圓z=1上的部分和159
8.17級數的重排160
8.18關於條件收斂級數的黎曼定理160
8.19子級數161
8.20二重序列163
8.21二重級數164
8.22二重級數的重排定理164
8.23累次級數相等的一個充分條件166
8.24級數的乘法166
8.25切薩羅可求和性168
8.26無窮乘積169
8.27對於黎曼ζ函數的歐拉乘積172
練習173
參考文獻178
第9章函數序列179
9.1函數序列的點態收斂性179
9.2實值函數序列的例子179
9.3一致收斂的定義181
9.4一致收斂與連續性182
9.5一致收斂的柯西條件182
9.6無窮函數級數的一致收斂183
9.7一條填滿空間的曲線184
9.8一致收斂與黎曼斯蒂爾切斯積分185
9.9可以被逐項積分的非一致收斂序列186
9.10一致收斂與微分188
9.11級數一致收斂的充分條件189
9.12一致收斂與二重序列190
9.13平均收斂190
9.14冪級數192
9.15冪級數的乘法195
9.16代入定理196
9.17冪級數的倒數197
9.18實的冪級數197
9.19由函數生成的泰勒級數198
9.20伯恩斯坦定理199
9.21二項式級數200
9.22阿貝爾極限定理201
9.23陶伯定理203
練習203
參考文獻207
第10章勒貝格積分208
10.1引言208
10.2階梯函數的積分208
10.3單調的階梯函數序列209
10.4上函數及其積分212
10.5黎曼可積函數作為上函數的例子214
10.6一般區間上的勒貝格可積函數類215
10.7勒貝格積分的基本性質216
10.8勒貝格積分和零測度集219
10.9萊維單調收斂定理219
10.10勒貝格控制收斂定理224
10.11勒貝格控制收斂定理的應用226
10.12無界區間上的勒貝格積分作為有界區間上的積分的極限227
10.13反常黎曼積分229
10.14可測函數232
10.15由勒貝格積分定義的函數的連續性233
10.16積分號下的微分法235
10.17交換積分次序239
10.18實線上的可測集241
10.19在R的任意子集上的勒貝格積分243
10.20復值函數的勒貝格積分243
10.21內積與範數244
10.22平方可積函數集合L2(I)244
10.23集合L2(I)作為一個半度量空間246
10.24關於L2(I)內的函數級數的一個收斂定理246
10.25裡斯費希爾定理247
練習248
參考文獻254
第11章傅裡葉級數與傅裡葉積分255
11.1引言255
11.2正交函數繫255
11.3佳逼近定理256
11.4函數相對於一個規範正交繫的傅裡葉級數257
11.5傅裡葉繫數的性質257
11.6裡斯費希爾定理258
11.7三角級數的收斂性與表示問題259
11.8黎曼勒貝格引理260
11.9狄利克雷積分261
11.10傅裡葉級數部分和的積分表示263
11.11黎曼局部化定理264
11.12傅裡葉級數在一個特定的點上收斂的充分條件265
11.13傅裡葉級數的切薩羅可求和性265
11.14費耶定理的推論267
11.15魏爾斯特拉斯逼近定理268
11.16其他形式的傅裡葉級數268
11.17傅裡葉積分定理269
11.18指數形式的傅裡葉積分定理271
11.19積分變換271
11.20卷積272
11.21對於傅裡葉變換的卷積定理274
11.22泊松求和公式276
練習278
參考文獻285
第12微分學286
12.1引言286
12.2方向導數286
12.3方向導數與連續性287
12.4全導數287
12.5全導數通過偏導數來表示289
12.6對復值函數的一個應用289
12.7線性函數的矩陣290
12.8雅可比矩陣291
12.9鏈式法則293
12.10鏈式法則的矩陣形式294
12.11用於可微函數的中值定理295
12.12可微的一個充分條件296
12.13混合偏導數相等的一個充分條件298
12.14用於從Rn到R1的函數的泰勒公式300
練習301
參考文獻304
第13章隱函數與極值問題305
13.1引言305
13.2雅可比行列式不取零值的函數306
13.3反函數定理309
13.4隱函數定理310
13.實值函數的極值312
13.實值函數的極值313
13.7帶邊條件的極值問題316
練習319
參考文獻321
第14章多重黎曼積分322
14.1引言322
14.2Rn內有界區間的測度322
14.3在Rn內的緊區間上定義的有界函數的黎曼積分322
14.4零測度集與多重黎曼積分存在性的勒貝格準則324
14.5多重積分通過累次積分求值324
14.6Rn內的若爾當可測集328
14.7若爾當可測集上的多重積分329
14.8若爾當容度表示為黎曼積分330
14.9黎曼積分的可加性330
14.10多重積分的中值定理332
練習333
參考文獻335
第15章多重勒貝格積分336
15.1引言336
15.2階梯函數及其積分336
15.3上函數與勒貝格可積函數337
15.4Rn內的可測函數與可測集338
15.5關於階梯函數的二重積分的富比尼歸約定理339
15.6零測度集的某些性質341
15.7對於二重積分的富比尼歸約定理342
15.8可積性的托內利霍布森檢驗法344
15.9坐標變換345
15.10多重積分的變換公式348
15.11對於線性坐標變換的變換公式的證明349
15.12對於緊立方體特征函數的變換公式的證明350
15.13變換公式證明的完成355
練習356
參考文獻358
第16章柯西定理與留數計算359
16.1解析函數359
16.2復平面內的路與曲線359
16.3圍道積分360
16.4沿圓形路的積分作為半徑的函數362
16.5對於圓的柯西積分定理363
16.6同倫曲線363
16.7圍道積分在同倫下的不變性365
16.8柯西積分定理的一般形式366
16.9柯西積分公式366
16.10回路關於一點的卷繞數367
16.11卷繞數為零的點集的無界性368
16.12用圍道積分定義的解析函數369
16.13解析函數的冪級數展開371
16.14柯西不等式與劉維爾定理372
16.15解析函數零點的孤立性373
16.16解析函數的恆等定理374
16.17解析函數的大模和小模374
16.18開映射定理375
16.19圓環內解析函數的洛朗展開376
16.20孤立奇點378
16.21函數在孤立奇點處的留數379
16.22柯西留數定理380
16.23區域內零點與極點的個數381
16.24用留數的方法求實值積分的值381
16.25用留數計算的方法求高斯和的值383
16.26留數定理對於拉普拉斯變換反演公式的應用387
16.27共形映射388
練習390
參考文獻396
特殊符號索引397
索引399