第1章數值計算基礎1

1.1數值方法1

1.2誤差分類3

1.3誤差和相對誤差4

1.4舍入誤差和有效數字5

1.5數據誤差在算術運算中的傳播6

1.6誤差的影響10

1.7算法的衡量指標10

1.8算法的穩定性12

習題114



第2章解非線性方程的數值方法16

2.1迭代法的基本概念16

2.2二分法17

2.3不動點迭代和加速迭代收斂19

2.4Newton-Raphson方法23

2.5割線法26

2.6多項式求根28

2.7迭代初始值的選擇33

習題234



第3章解線性方程組的直接方法37

3.1解線性方程組的Gauss消去法37

3.2直接三角分解法47

3.3向量和矩陣的範數56

3.4條件數和攝動理論初步63

3.5壞條件方程組求解65

3.6條件數的應用案例69

習題372



第4章多項式逼近和插值法75

4.1函數空間75

4.2插值法和Lagrange多項式77

4.3Hermite插值85

4.4三次樣條插值88

習題490



第5章逼近理論與小二乘法93

5.1平方逼近和正交多項式93

5.2三角多項式逼近96

5.3離散的小二乘逼近97

習題5106



第6章解線性方程組的迭代法108

6.1迭代法的基本理論108

6.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法111

6.3逐次超松弛迭代法（SOR方法）116

6.4共軛斜量法119

6.5條件預優方法125

習題6127



第7章數值微分與數值積分130

7.1數值微分130

7.2數值積分基礎137

7.3復合數值積分143

7.4Romberg積分147

7.5自適應求積方法150

7.6Gauss求積155

習題7159



第8章解非線性方程組的數值方法162

8.微分162

8.2不動點迭代164

8.3Newton法168

8.4割線法171

8.5擬Newton法174

8.6下降算法178

8.7延拓法179

習題8181



第9章矩陣特征值與特征向量的近似計算184

9.1乘冪法184

9.2求模數次大特征值的降階法188

9.3逆迭代法（反乘冪法）189

9.4特征值的大致估計190

習題9192



第10章常微分方程數值解法193

10.1引言193

10.2簡單的數值方法194

10.3龍格-庫塔方法199

10.4單步法的收斂性與穩定性204

10.5線性多步法209

10.6線性多步法的收斂性與穩定性215

10.7一階方程組與剛性方程組218

10.8邊值問題的數值方法222

習題10226



第11章Matlab與科學計算228

11.1多項式及其運算228

11.2插值與擬合234

11.3非線性方程237

11.4線性方程組239

11.5矩陣的特征值與特征向量240

11.6常微分方程241



綜合練習244



參考文獻251

本書是為高等學校理工科研究生及數學類和計算機類、信息類專業本科生編寫的數值近似計算方法的理論和應用教材。它要求學生已具備微積分、線性代數等高等數學基礎。另外，熟悉矩陣論和常微分方程的基礎知識對學習數值分析也有所裨益，本教材對這些內容有適當的介紹。

數值分析教材眾多，有些強調各種近似方法的數學推導和論證，而不是方法的本身，不利於在實際問題中應用這些算法。有些強調方法本身，而缺少必要的算法數學思想的介紹，不利於利用算法的思想去針對新的問題構造新的算法。我們致力於使本書適應那些想掌握數值分析思想和方法去解決理論研究和工程實踐中需要進行科學計算的讀者。我們在介紹數值近似方法時，力圖解釋何時、為什麼和如何運用這些方法，為進一步學習數值分析和科學計算打下堅實的基礎。

通過本書的學習，學生應該能夠掌握判別需要用數值方法求解問題的類型，理解運用數值方法時所發生的誤差傳播現像，清楚相應的這些數值方法的算法各輸入參數的含義。學生能逼近不能準確求解問題的近似解，學習估計近似解誤差界的方法，熟悉算法的計算復雜性和穩定性等概念，了解克服數值不穩定的思想，懂得選擇算法和相應參數的原則。事實上，在本書的敘述方式上，我們進行了新的嘗試：加強了概念的介紹和用例，因為這些概念是所有數值方法的基本原則；強調介紹算法的過程“自封閉性”，即完整地介紹算法實現過程的每一個環節，例如求解非線性方程（組）迭代法的初始值的選取及所需迭代次數的估計等，在求解線性代數方程組時，討論如何應對壞條件方程組等；此外，考慮到時代特征，現有很多的軟件包可進行符號計算及科學計算，所以一些冗長乏味的公式推導已不再重要，一些算法實現過程的細節，如Gau法，也不需要詳細地介紹；將介紹的重點放在數值方法的概念、算法的思想和實現過程的參數獲取上。

本教材的主要內容包括：數值計算基礎（第1章）、解非線性方程的數值方法（第2章）、解線性方程組的直接方法（第3章）、多項式逼近和插值法（第4章）、逼近理論與小二乘法（第5章）、解線性方程組的迭代法（第6章）、數值微分與數值積分（第7章）、解非線性方程組的數值方法（第8章）、矩陣特征值與特征向量的近似計算（第9章）、常微分方程數值解法（第10章）、Matlab與科學計算（第11章）。為了便於讀者們繫統復習，我們還在教材的後部分給出了一定量的綜合練習題，這些練習題是我們多年教學過程中用於檢驗讀者學習狀況的考題集錦。

下面的流程圖說明了學習各章之間的關繫，便於讀者根據具體需求（時間）合理安排學習次序。 本書配套有課件及部分習題參考答案供采用本書作為教材的學校使用，如有需要，可發郵件至cipedu@163.com索取。

本書的第1、4、5、9章由劉國慶撰寫，第2、6、8章由王天荊撰寫，第3章由劉國慶與王天荊共同撰寫，第7章和第10章由石瑋撰寫，第11章由程浩撰寫。後，所有章節的統稿和修改由劉國慶完成。

我們還希望本書對於那些希望運用數值方法解決實際問題的科技工作者有所幫助。但受限於我們的能力和水平，書中難免會存在不足之處，懇請廣大讀者不吝賜教。



編著者

2020.7