目錄
第1章行列式(1)
1.1二階與三階行列式(1)
1.1線性方程組與二階行列式(1)
1.1.2三階行列式(2)
1.2排列和置換(4)
1.3n階行列式的定義(8)
1.4行列式的性質(11)
1.5行列式按行（列）的展開(15)
1.6行列式的計算舉例(24)
1.7克拉默法則(33)
第2章矩陣(36)
2.1矩陣的定義及運算(36)
2.1.1矩陣的概念(36)
2.1.2矩陣的線性運算(39)
2.1.3矩陣的乘法(40)
2.1.4矩陣的轉置(46)
2.1.5方陣的行列式和跡(49)
2.2可逆矩陣(50)
2.3分塊矩陣(56)
2.4矩陣的初等變換(62)
2.4.1初等變換、初等矩陣(63)
2.4.2行標準型(65)
2.4.3等價、標準型(69)
2.5矩陣的秩(71)
2.5.1秩的定義(71)
2.5.2秩與初等變換(72)
2.5.3矩陣秩的一些不等式(74)
第3章線性空間(78)
3.1引言(78)
3.1.1代數和線性代數(78)
3.1.2集合論簡介(79)
3.1.3常見代數繫統簡介(82)
3.2線性空間的定義和例子(83)
3.3子空間(87)
3.4向量組的線性無關性(90)
3.4.1線性組合(90)
3.4.2向量組的等價(91)
3.4.3線性相關性(93)
3.4.4極大無關組、秩(96)
3向量組與矩陣的關繫(98)
3.6線性空間的基、維數、坐標(105)
3.6.1基和坐標(105)
3.6.2子空間的直和(109)
3.6.3坐標變換(110)
3.6.4線性空間的同構(112)
第4章線性方程組(115)
4.1線性方程組的基本概念和法(115)
4.2線性方程組解的結構(120)
第5章線性變換(128)
5.1線性映射(128)
5.1.1線性映射的定義和基本性質(128)
5.1.2線性映射的運算(131)
5.1.3線性泛函和對偶空間(132)
5.1.4線性變換(133)
5.1.5代數、線性變換代數(136)
5.2線性變換的矩陣表示(137)
5.2.1矩陣表示(137)
5.2.2矩陣表示的變換、相似矩陣(142)
5.3本征值、本征向量(144)
5.4矩陣的相似對角化(153)
5.4.1相似對角化(153)
5.4.2不變子空間(163)
5.4.3同時對角化(165)
5.4.4Jordan標準型簡介(166)
第6章內積空間(176)
6.1實內積、歐空間(176)
6.1.1內積的定義(176)
6.1.2度規(178)
6.1.3模、夾角(179)
6.1.4正交、標準正交基(180)
6.1.5一些常見的“空間”簡介(182)
6.2標準正交基的存在性(184)
6.2.1Schmidt標準正交化方法(184)
6.2.2正交補空間(190)
6.2.3小二乘法(192)
6.3正交矩陣和正交變換(195)
6.3.1正交矩陣(195)
6.3.2正交矩陣與標準正交基的關繫(196)
6.3.3正交變換(197)
6.4對稱變換和實對稱矩陣(199)
6.4.1對稱變換(199)
6.4.2實對稱矩陣本征值和本征向量的性質(200)
6.5幺正空間(205)
6.5.1復內積、幺正空間(205)
6.5.2度規矩陣(207)
6.5.3模、正交、標準正交基(207)
6.5.4Schmidt標準正交化方法(210)
6.5.5正交補空間(212)
6.5.6阨米共軛(213)
6.5.7幺正矩陣和幺正變換(215)
6.5.8阨米矩陣和阨米變換(219)
6.5.9阨米矩陣與幺正矩陣的聯繫(229)
6.5.10正規矩陣和正規變換(231)
第7章二次型和阨米型(234)
7.1二次型的定義和標準型(234)
7.1.1二次型的定義(234)
7.1.2線性替換(235)
7.1.3二次型的標準型(237)
7.2二次型的規範型和慣性定理(244)
7.2.1二次型的規範型(244)
7.2.2慣性定理(245)
7.3二次型的正定性(247)
7.3.1正定二次型的定義(247)
7.3.2正定的一些充要條件(247)
7.3.3負定、準正定、準負定(249)
7.4阨米型(255)
7.4.1阨米型的定義和等價(255)
7.4阨米型可化二次型(256)
7.4.3阨米型的標準型和規範型(256)
7.4.4慣性定理(260)
7.4.5阨米型的正定性(261)
7.4.6矩陣的奇異值分解(264)
7.4.7復對稱矩陣的奇異值分解(266)
7.5本征值問題的極值性(266)
7.5.1本征值問題的極值性(266)
7.5.2極大極小值原理(269)
7.5.3一般性結論(270)
7.5.4本征向量組的完備性(271)
第8章變分學(275)
8.1引言(275)
8.2Euler變分方程(276)
8.2.1變分學的基本問題(276)
8.2.2Euler表達式恆等於零的情形(279)
8.2.3Euler方程的形式不變性(280)
8.2.4形式標記——變分導數(280)
8.2.5含有高階導數的情形(288)
8.2.6含有多個自變函數的情形(289)
8.2.7含有多個自變量的情形(290)
8.3非固定邊界條件問題(291)
8.3.1自由邊界條件(291)
8.3.2橫交條件（約束端點問題）(292)
8.4條件極值問題(293)
8.4.1函數的條件極值問題——Lagrange乘子法(293)
8.4.2測地線問題：泛函的Lagrange乘函法(295)
8.4.3等周問題：泛函的Lagrange乘子法(297)
8.5物理學中的變分原理(299)
參考文獻(301)

前言
按國內物理學專業目前的課程體繫，《數學物理方法基礎》課程主要包括復變函數論和數學物理方程兩部分內容，由物理學院（繫）開設，而線性代數等內容則置於《線性代數》課程中，與《高等數學》一起由數學院（繫）開設，且內容大多局限於行列式、矩陣、線性方程組等.這樣的課程體繫源自歷史，其是否更適合物理學各專業有待商榷.實際上，歐美l pe 數學物理課程包含的內容要更廣泛一些，而且從柯朗希爾伯特的名著開始，到F.W.拜侖、R.W.富勒的經典教材以及近年來較新的教材《MathematicaPhysics》，還有彭桓武、李政道等人的數學物理專著，無不把線性空間的內容包括其中，甚至將其作為基礎的核心內容.線性空間及其算子代數在數學中是非常基礎的內容，例如泛函分析基本上可看作線性代數在函數空間的應用，微分幾何也是建立在局域的多重線性代數之上.在物理學中，線性空間的概念同樣非常重要，它是描述很多物理理論的基礎，包括除經典力學中的矢量概念之外，相對論中所用到的張量即具有多重線性結構的數學對像，而量子力學由於存在態疊加原理，要求該理論為一個線性理論，可用線性代數的語言精確描寫.因此，我們嘗試改變國內傳統的《數學物理方法》課程體繫，將以線性空間（而非行列式、矩陣）為核心的《線性代數》內容納入其中.作為這種嘗試的步，物理學院自己開設了《數學物理方法基礎》這門課程以取代原來由數學院為理工科統一開設的《線性代數》課程.在近幾年的教學實踐中，大致確定了這門課程的教學內容和教學大綱，也編寫一個初步的講義，這本教材就是在該課程講義的基礎上修訂編寫的.我們希望在將來的教學過程中，能夠通過對後續《數學物理方法》課程內容做適當增刪，形成一個統一的、適合當前物理專業本科生的數學物理課程體繫.本教材的主要內容為線性代數.目前國內的線性代數課程大致分為面向工科專業和面向數學專業兩類.工科線性代數的內容主要講授行列式、矩陣等數學工具，而不講授或很少講授抽像的線性空間、線性變換、內積空間等內容.盡管行列式、矩陣等都是高度有用的工具，但向量纔是更重要的數學對像.因此線性代數的核心內容應該是線性空間及其線性變換代數，而且這一部分內容在物理學中有著廣泛的應用.數學專業的線性代數一般在高等代數課程中學習，其內容豐富，但一方面它包含一些物理學中使用較少的內容，比如多項式、η 矩陣理論，另一方面物理學中需要的一些內容也有所缺失，例如對偶空間和對偶基、復內積空間及其兩類重要變換、線性變換的群結構、阨米變換本征值的極值性質等.此外，盡管《線性代數》是為配合物理專業教學而開設的數學課程，但它的目的絕不僅僅限於為物理專業學生提供物理學所需的數學語言.在過去幾十年中物理學所用的數學語言有了很大的變化，純代數和純幾何方法陸續進入物理學，不同於分析方法，代數方法為物理理論提供了一定的剛性.可以肯定的是，這一代物理學工作者在今後所生活的年代中，物理學所用的數學語言的變化將更快.因此物理專業的學生要想跟上將來所研究領域的發展以及該領域所用數學語言的變化，就必須熟悉抽像數學、必須具備更強的抽像思維能力.我們希望在相對較少的數學課中，通過將數學語言和數學風格與物理內容相結合，培養學生的現代數學素養，其中線性代數可作為一個很好的抽像代數的範例來達到這些目的，其代數與幾何的結合也可讓物理專業的學生體會到數學的整體性.這些都要求物理專業的線性代數教學應與數學專業的有所區別.綜上，我們希望通過以上內容來形成這本教材的核心內容.更重要的是，我們希望這本教材盡量與物理專業後續的課程相聯繫.在《數學物理方法》課程中，正交函數組、SturmLiuville型微分方程、分離變量法等內容都可以在線性代數的框架內得到更深刻的理解.物理專業的其他後續數學課程，例如群表示論、微分幾何等，也都需要以線性代數為基礎.正是由於線性代數是這些數學物理課程的基礎，我們擬將本教材的副標題命名為《數學物理方法基礎》，以與通常工科專業的《線性代數》或數學專業的《高等代數》相區別.我們在例題的選取、概念的引入等方面也帶有明顯的物理專業的特色.考慮到大一大二新生對抽像對像的接受能力，我們在編寫時放棄了從線性變換引入矩陣、行列式的現代途徑，因此教材的前半部分基本上按照傳統途徑完整地介紹了行列式、矩陣、線性方程組等內容，後半部分則較繫統地介紹了線性空間、線性變換、內積空間及其重要變換等內容.這幾年的教學實踐證明了，這種由具體融合引入抽像概念是符合學習規律的.抽像概念不是從天而降的，而是來自具體、實際的例子.但抽像概念又沒有止步於具體事例，而是超出了具體和實際.正是由於脫離了具體的例子，舍棄了不同例子的相異性並提取了他們的共同點，纔能應用到更多更廣泛的實際例子中.另外，每個抽像概念的引入都是有其背景和用途的.在教材中，我們盡可能從具體的問題出發，而並非通過定義，在分析解決問題的過程中逐步引入相關的抽像概念.這本教材的後一章包含了變分法.通常，變分法在國內的物理專業教學中是歸入《數學物理方法》課程或者《理論力學》課程.但有些院校在《數學物理方法》課程中將它作為選講內容處理，而在《理論力學》課程中的介紹也不夠完整.變分法在物理學中不僅能提供一些有效的近似計算方法，更重要的是，它是物理學基本原理——小作用量原理——的表述語言.鋻於其重要性，這本教材中在我們將它與線性代數放到一起，通過阨米變換本征值問題與阨米型極值問題的等價引入泛函極值問題，並進一步講授變分法，這樣的處理使它在內容上銜接也比較自然.本教材預計學習時長為64課時，其中，標記的內容可選講一部分，剩下的作為選讀內容.由於課時的限制，本教材沒有涉及多重線性代數及外代數、數值線性代數等內容，這些可以在後續計算物理、微分幾何等課程中進一步學習.在教材的編寫過程中，得到了華中科技大學物理學院領導和老師們的極大支持，在此一並表示衷心的感謝.由於編者水平有限，疏漏和錯誤之處再所難免，敬請讀者批評指正.
編者
2020年9月26日