• 目錄
  第1章 函數 極限 連續性 1
  1.1 集合 映射 函數 1
  1.1.1 幾個常用的邏輯符號 1
  1.1.2 數集的記號 1
  1.1.3 集合及其運算 2
  1.1.4 直積與關繫 3
  1.1.5 映射與函數 4
  1.1.6 常見函數的定義域 5
  1.1.7鄰域 5
  1.1.8 幾個重要的分段函數 6
  1.1.9 函數的奇偶性 7
  1.1.10 函數的有界性 9
  1.1.11 函數的周期性 13
  1.1.12 反函數 13
  1.1.13 復合函數 15
  1.1.14 基本初等函數 16
  1.1.15 初等函數 21
  1.1.16 雙曲函數 22
  1.2 數列的極限 23
  1.2.1 數列的概念 23
  1.2.2 數列的極限 24
  1.2.3 一些重要的數列極限 25
  1.2.4 數列極限的斯托爾茨定理 26
  1.2.5 數列極限的性質 27
  1.2.6 數列與子數列的斂散性關繫 27
  1.2.7 數列收斂的兩個準則 28
  1.2.8 數列極限的運算法則 29
  1.2.9 數列斂散性的若干性質 30
  1.3 函數的極限 30
  1.3.1 函數極限lim f(x)x→x0=A 30
  1.3.2 單側極限 31
  1.3.3 函數在x=0處的單側極限和極限 32
  1.3.4 函數極限lim f(x)x→x0=A 33
  1.3.5 一些單向極限存在但極限lim f(x)x→x0不存在的函數 35
  1.3.6 函數極限的6種定義 36
  1.3.7 函數極限的性質 36
  1.3.8 函數極限與數列極限的關繫 37
  1.4 無窮小與無窮大 38
  1.4.1 無窮小 38
  1.4.2 無窮小的運算性質 38
  1.4.3 無窮大 39
  1.4.4 無窮大定義一覽表 40
  1.4.5 無窮大的運算性質 41
  1.4.6 無窮大與無窮小的倒數關繫 41
  1.4.7 無窮大與無界函數的關繫 42
  1.5 極限的運算法則 44
  1.5.1 極限的四則運算法則 44
  1.5.2 一些基本極限 44
  1.5.3 多項式函數與有理函數的極限 44
  1.6 函數極限存在準則 兩個重要極限 46
  1.6.1 函數極限存在的兩個準則 46
  1.6.2 重要極限 47
  1.6.3 重要極限 48
  1.6.4 其他重要極限 49
  1.7 無窮小的比較 49
  1.7.1 無窮小比較的定義 49
  1.7.2 高階無窮小的運算律 50
  1.7.3 無窮小的階的運算律 51
  1.7.4 等價無窮小的性質 51
  1.7.5 常見的等價無窮小 52
  1.7.6 更高階的等價無窮小 52
  1.7.7 等價無窮小代換定理 53
  1.7.8 在加減項之間進行等價無窮小代換 53
  1.7.9 幾個有用的等價無窮小代換 54
  1.7.10 無窮大的比較 55
  1.8 函數的連續性與間斷點 55
  1.8.1 函數的連續性 55
  1.8.2 間斷點的分類 56
  1.8.3 連續函數的運算 57
  1.8.4 冪指函數的極限 59
  1.8.5 冪指函數極限中的等價無窮小代換 60
  1.8.6 初等函數的連續性 61
  1.8.7 閉區間上連續函數的性質 62
  第2章 導數與微分 63
  2.1 導數概念 63
  2.1.1 導數的定義 63
  2.1.2 導數的各種形式 63
  2.1.3 單側導數 64
  2.1.4 導數的幾何意義 65
  2.1.5 可導與連續的關繫 66
  2.1.6 導數模型一覽表 67
  2.1.7 基本初等函數的導數公式 68
  2.1.8 雙曲函數和反雙曲函數的導數公式 69
  2.2 函數的求導法則 69
  2.2.1 導數的四則運算法則 69
  2.2.2 反函數的求導法則 70
  2.2.3 復合函數的求導法則：鏈式法則 71
  2.2.4 隱函數的求尋法則 73
  2.2.5 對數求導法 74
  2.2.6 由參數方程所確定的函數的導數 76
  2.2.7 參數曲線的切線與法線 77
  2.2.8 由極坐標方程所確定的函數的導數 77
  2.2.9 相關變化率 78
  2.3 一些特殊的求導方法 78
  2.3.1 分段函數的導數 78
  2.3.2 帶值的函數的導數 81
  2.3.3 奇（偶）函數和周期函數的導數 83
  2.4 高階導數 84
  2.4.1 高階導數的定義 84
  2.4.2 高階導數的運算法則 84
  2.4.3 一些重要的高階導數公式 85
  2.4.4 復合函數的二階導數 85
  2.4.5 由參數方程所確定的函數的高階導數 86
  2.4.6 隱函數的二階導數 87
  2.4.7 反函數的高階導數 87
  2.4.8 帶值的函數的高階導數 88
  2.5 微分 88
  2.5.1 微分的概念 88
  2.5.2 基本初等函數的微分公式 90
  2.5.3 微分的運算法則 90
  2.5.4 微分在近似計算中的應用 91
  第3章 中值定理與導數的應用 93
  3.1 中值定理 93
  3.1.1 羅爾定理 93
  3.1.2 羅爾定理的應用 93
  3.1.3 拉格朗日中值定理 94
  3.1.4 拉格朗日中值定理的應用 95
  3.1.5 柯西中值定理 96
  3.1.6 三個中值定理之間的關繫 97
  3.1.7 泰勒公式 97
  3.1.8 一些重要的麥克勞林公式 99
  3.2 洛必達法則 101
  3.2.1 基本未定式 101
  3.2.2其他未定式 102
  3.2.3 使用洛必達法則的注意事項 103
  3.3 函數的單調性 104
  3.3.1 函數單調性的判定定理 104
  3.3.2 求函數的單調區間的步驟 104
  3.3.3 函數的單調性的應用 104
  3.4 函數的極值與值 106
  3.4.1 極值的定義 106
  3.4.2 極值的必要條件 106
  3.4.3 極值的充分條件 106
  3.4.4 求函數極值的步驟 108
  3.4.5 函數的值 108
  3.5 曲線的凹凸性與拐點 110
  3.5.1 曲線的凹凸性 110
  3.5.2 拐點 112
  3.5.3 利用凹凸性證明不等式 114
  3.6 漸近線 114
  3.6.1 漸近線的定義及類型 114
  3.6.2 求漸近線的步驟 115
  3.6.3 求漸近線的一些特殊方法 116
  3.7 曲率 117
  3.7.1 曲率的定義 117
  3.7.2 曲率的計算公式 117
  3.7.3 曲率半徑與曲率圓 118
  第4章 不定積分 119
  4.1 不定積分的概念與性質 119
  4.1.1 原函數的概念與性質 119
  4.1.2 不定積分的概念與性質 119
  4.1.3 分段函數的不定積分 120
  4.2 不定積分公式 121
  4.2.1 基本積分公式 121
  4.2.2 其他常用的積分公式 122
  4.2.3 6個三角函數的平方的積分公式 123
  4.2.4 有關雙曲函數的積分公式 124
  4.積分法 124
  4.3.1法（湊微分法） 124
  4.3.2法常見類型 125
  4.3.3 其他湊微分公式 126
  4.3.4 第法 127
  4.3.5 第法常見類型 127
  4.4 分部積分法 130
  4.4.1 分部積分法 130
  4.4.2 常見的分部積分法類型 130
  4.4.3 反函數的不定積分 133
  4.5 有理函數的積分 133
  4.5.1 有理函數的積分 133
  4.5.2 三角有理函數的積分 134
  4.5.3 一些“積不出”的不定積分 135
  第5章 定積分 137
  5.1 定積分的概念與性質 137
  5.1.1 定積分的概念 137
  5.1.2 定積分的性質 140
  5.1.3 積分模型一覽表 142
  5.2 微積分基本公式 143
  5.2.1 積分上限函數及其導數 143
  5.2.2 微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式） 144
  5.3 定積積分法和分部積分法 145
  5.3.1 定積分的湊微分法 145
  5.3.2 定積法 145
  5.3.3 一些重要的定積分等式 146
  5.3.4 一些含參數的積分等式 150
  5.3.5 奇（偶）函數及周期函數的原函數與定積分 150
  5.3.6 分段函數的定積分 153
  5.3.7 定積分的分部積分法 153
  5.3.8 反函數的定積分 154
  5.4 廣義積分 156
  5.4.1 無窮限的廣義積分的定義 156
  5.4.2 幾個重要的無窮限的廣義積分 156
  5.4.3 無窮限的廣義積分的計算方法 158
  5.4.4 無界函數的廣義積分（瑕積分）的定義 158
  5.4.5 幾個重要的無界函數的廣義積分 159
  5.4.6 無界函數的廣義積分的計算方法 159
  5.4.7 Γ函數 161
  第6章 定積分的應用 162
  6.1 平面圖形的面積 162
  6.1.1 直角坐標情形 162
  6.1.2 極坐標情形 163
  6.1.3 參數曲線情形 163
  6.2 體積 165
  6.2.1 平行截面面積為已知的立體的體積 165
  6.2.2 旋轉體的體積 165
  6.3 平面曲線的弧長 旋轉曲面的面積 167
  6.3.1 弧微分公式 167
  6.3.2 平面曲線的弧長 168
  6.3.3 旋轉曲面的面積 169
  6.4 定積分在物理學中的應用 170
  6.4.1 變力沿直線所做的功 170
  6.4.2 抽水做功 170
  6.4.3 水壓力 171
  第7章 空間解析幾何與向量代數 173
  7.1 向量及其線性運算 173
  7.1.1 向量的概念 173
  7.1.2 向量的線性運算 173
  7.1.3 空間直角坐標繫 175
  7.1.4 利用坐標進行向量的線性運算 176
  7.2 數量積 向量積 混合積 177
  7.2.1 數量積 177
  7.2.2 數量積的坐標運算 178
  7.2.3 向量積 179
  7.2.4 向量積的坐標運算 180
  7.2.5 混合積 181
  7.2.6 混合積的坐標運算 182
  7.3 曲面及其方程 183
  7.3.1 曲面方程的類型 183
  7.3.2 球面 184
  7.3.3 旋轉曲面 184
  7.3.4 一些旋轉曲面 186
  7.3.5 旋轉曲面的參數方程 187
  7.3.6 一般旋轉曲面的求法 187
  7.3.7 柱面 189
  7.3.8 一些柱面 190
  7.3.9 一般柱面的求法 190
  7.3.10 錐面 191
  7.3.11 一些二次曲面 193
  7.4 空間曲線及其方程 194
  7.4.1 空間曲線方程的類型 194
  7.4.2 一些重要的空間曲線 195
  7.4.3 空間曲線在坐標面上的投影曲線 195
  7.5 平面及其方程 196
  7.5.1 平面方程 196
  7.5.2 具有特殊位置的平面 197
  7.5.3 兩平面之間的位置關繫 198
  7.5.4 三平面之間的位置關繫 199
  7.6 空間直線及其方程 201
  7.6.1 空間直線方程 201
  7.6.2 兩直線之間的位置關繫 202
  7.6.3 直線與平面之間的位置關繫 203
  7.6.4 距離公式 204
  7.6.5 平面束 206
  第8函數微分法及其應用 207
  8.函數的基本概念 207
  8.1.函數的概念 207
  8.1.函數的極限 208
  8.1.函數的連續性 209
  8.2 偏導數 21o
  8.2.1 偏導數的定義 210
  8.2.2 求偏導數的方法 211
  8.2.函數可偏導與連續性的關繫 211
  8.2.4 高階偏導數 212
  8.3 全微分 213
  8.3.1 全微分的定義 213
  8.3.函教可微的必要條件和充分條件 213
  8.3.函數可微、可偏導、連續和有極限之間的關繫 214
  8.3.4 全微分的計算公式 214
  8.3.5 全微分在近似計算中的應用 215
  8.復合函數的微分法 215
  8.4.復合函數的求導法則：鏈式法則 215
  8.4.復合函數的二階偏導數 217
  8.4.3 復合函數的全微分——全微分形式不變性 218
  8.4.4 偏導數的變量代換 219
  8.5 隱函數的微分法 220
  8.5.1 由一個方程所確定的隱函數的導數和偏導數 220
  8.5.2 隱函數求偏導數的方法 221
  8.5.3 由方程組所確定的隱函數的導數和偏導數 222
  8.5.4 反函數組的雅可比行列式 224
  8.函數微分學的幾何應用 225
  8.6.1 空間曲線的切線與法平面 225
  8.6.2 曲面的切平面與法線 226
  8.6.3 二次曲面的切平面的簡便求法 226
  8.7 方向導數與梯度 227
  8.7.1 方向導數和梯度的定義 227
  8.7.2 方向導數的計算公式 228
  8.7.3 梯度的運算律 229
  8.函數的極值 230
  8.8.函數極值的必要條件 230
  8.8.函數極值的充分條件 231
  8.8.3函數極值的步驟 231
  8.8.函數極值的充分條件 232
  8.8.5 條件極值 拉格朗日乘數法 233
  第9章 重積分 236
  9.1 二重積分的概念與性質 236
  9.1.1 二重積分的概念 236
  9.1.2 二重積分的性質 237
  9.2 二重積分的計算 238
  9.2.1 利用直角坐標計算二重積分 238
  9.2.2 計算二重積分的步驟 240
  9.2.3 交換積分次序 241
  9.2.4 利用對稱性化簡二重積分 242
  9.2.5 利用極坐標計算二重積分 244
  9.2.6 二重積分的變量替換 247
  9.3 二重積分的應用 250
  9.3.1 二重積分的幾何應用 250
  9.3.2 二重積分的物理應用 251
  9.4 三重積分的概念與計算 253
  9.4.1 三重積分的概念與性質 253
  9.4.2 利用直角坐標計算三重積分 253
  9.4.3 三重積分的“先二後一”積分法 254
  9.4.4 利用對稱性化簡三重積分 255
  9.5 利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分 257
  9.5.1 柱面坐標 257
  9.5.2 利用柱面坐標計算三重積分 259
  9.5.3 球面坐標 260
  9.5.4 利用球面坐標計算三重積分 262
  9.5.5 選擇適當的坐標計算三重積分的方法 263
  9.5.6 三重積分的變量替換 264
  9.5.7 三重積分的物理應用 265
  第10章 曲線積分與曲面積分 266
  10.1 對弧長的曲線積分 266
  10.1.1 對弧長的曲線積分的概念 266
  10.1.2 對弧長的曲線積分的性質 267
  10.1.3 對弧長的曲線積分的計算 267
  10.1.4 對弧長的曲線積分化為定積分的步驟 268
  10.1.5 利用對稱性化簡對弧長的曲線積分 269
  10.1.6 對弧長的曲線積分的應用 271
  10.1.7 對弧長的曲線積分的其他物理應用 271
  10.2 對坐標的曲線積分 272
  10.2.1 對坐標的曲絨積分的概念 272
  10.2.2 對坐標的曲線積分的性質 273
  10.2.3 對坐標的曲線積分的計算 274
  10.2.4 對坐標的曲線積分化為定積分的步驟 275
  10.2.5 對坐標的曲線積分的應用 275
  10.2.6 兩類曲線積分之間的聯繫 276
  10.3 格林公式 276
  10.3.1 格林公式 276
  10.3.2 利用格林公式計算對坐標的曲線積分 277
  10.4 平面上曲線積分與路徑無關的條件 279
  10.4.1 曲線積分與路徑無關的等價條件 279
  10.4.2 曲線積分的基本定理 279
  10.4.3 利用曲線積分與路徑無關的條件計算曲線積分 280
  10.4.函數的全微分求積 281
  10.4.5 選擇對坐標的曲線積分的計算方法 281
  10.5 對面積的曲面積分 282
  10.5.1 對面積的曲面積分的概念與性質 282
  10.5.2 對面積的曲面積分的計算 283
  10.5.3 對面積的曲面積分化為二重積分的步驟 284
  10.5.4 利用對稱性化簡對面積的曲面積分 284
  10.5.5 對面積的曲面積分的應用 286
  10.6 對坐標的曲面積分 286
  10.6.1 對坐標的曲面積分的概念與性質 286
  10.6.2 對坐標的曲面積分的計算 288
  10.6.3 計算對坐標的曲面積分的“三合一”公式 288
  10.6.4 對坐標的曲面積分的應用 289
  10.6.5 兩類曲面積分之間的聯繫 290
  10.7 高斯公式 290
  10.7.1 高斯公式 290
  10.7.2 利用高斯公式計算對坐標的曲面積分 291
  10.7.3 選擇對坐標的曲面積分的計算方法 292
  10.8 散度與旋度 斯托克斯公式 292
  10.8.1 散度與旋度 292
  10.8.2 散度和旋度的運算法則 293
  10.8.3 梯度 散度、旋度的二階運算 294
  10.8.4 斯托克斯公式 294
  第11章 無窮級數 296
  11.1 常數項級數的概念與性質 296
  1.1.1 無窮級數的收斂與發散 296
  11.1.2 無窮級數的性質 296
  11.1.3 幾個重要的級數 298
  11.2 正項級數的審斂法 299
  1.2.1 正項級數的收斂定理 299
  11.2.2 比較審斂法 299
  1.2.3 常用來進行比較的正項級數 302
  1.2.4 比值審斂法 303
  1.2.5 根值審斂法 304
  1.2.6 積分審斂法 305
  1.2.7 正項級數的一些性質 305
  11.3 任意項級數的斂散性 306
  11.3.1 收斂與條件收斂 306
  11.3.2 收斂的審斂法 307
  11.3.3 收斂（條件收斂）級數的運算性質 308
  1.3.4 交錯級數及其審斂法 308
  11.3.5 級數的重排 收斂與條件收斂的區別 309
  1.3.6 判斷級數斂散性的一般步驟 311
  11.3.7 利用級數收斂的必要條件證明數列極限limunn→∞=0 311
  11.3.8 一些無窮級數的和 312
  11.4 冪級數 312
  1.4.1 冪級數及其收斂性 312
  1.4.2 冪級數的收斂半徑和收斂區間 314
  1.4.3 求冪級數的收斂半徑和收斂域的步驟 315
  1.4.4 冪級數的運算 316
  1.4.5 和函數的分析性質 316
  1.4.6 幾個常見的冪級數的和函數 317
  11.5 函數展開成冪級數 318
  1.5.1 泰勒級數 318
  1.5.2 一些函數的麥克勞林級數 319
  1.5.3 函數展開成冪級數的方法 319
  1.6 傳裡葉級數 320
  1.6.1 傅裡葉級數 320
  1.6.2 傅裡葉級數的收斂定理 321
  1.6.3 奇（偶）函數的傅裡葉級數 322
  11.6.4 周期函數展開成傅裡葉級數的步驟 322
  1.6.5 如何寫出函數的傅裡葉級數的和函數 323
  1.6.6 周期延拓與奇（偶）延拓 323
  1.6.7 周期為2z的周期函數的傅裡葉級數 324
  第12章 微分方程 326
  12.1 微分方程的基本概念 326
  12.1.1 微分方程 326
  12.1.2 微分方程的解 326
  12.1.3 微分方程的初值問題 326
  12.2 一階微分方程 327
  12.2.1 簡單的一階微分方程 327
  12.2.2 可分離變量的微分方程 327
  12.2.3 齊次方程 328
  12.2.4 一階線性微分方程 329
  12.2.5 伯努利方程 330
  12.2.6 全微分方程（恰當方程） 331
  12.3 可降階的高階微分方程 332
  12.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 332
  12.3.2 兩種特殊的二階微分方程 332
  12.4 高階線性微分方程 333
  12.4.1 齊次線性微分方程的通解結構 333
  12.4.2 函數組的線性相關性 334
  12.4.3 非齊次線性微分方程的通解結構 334
  12.4.4 非齊次線性微分方程的解的疊加原理 335
  12.4.5 二階常繫數齊次線性微分方程 336
  12.4.6 二階常繫數非齊次線性微分方程 337
  12.4.7 二階常繫數非齊次線性微分方程的特解的求法 338
  12.4.8 二階常繫數非齊次線性微分方程的復數解法 339
  12.4.9 歐拉方程 340
  參考文南 342
  附錄A 常用初等數學公式 343
  A.1 初等代數 343
  A.1.1 乘法和因式分解 343
  A.1.二次方程 343
  A.1.3 不等式 343
  A.1.4 指數 344
  A.1.5 對數 344
  A.1.6 復數 345
  A.1.7 數列 345
  A.1.8 行列式 346
  A.1.9 線性方程組的解（克拉默法則） 346
  A 2 初等幾何 347
  A.2.1 平面圖形 347
  A.2.2 立體圖形 348
  A 3 三角函數 349
  A.3.1 弧度和度的關繫 349
  A.3.2 三角函數的定義 349
  A.3.3 三角函數的基本關繫 349
  A.3.4 誘導公式 350
  A.3.5 特殊的三角函數值 350
  A.3.6 和差公式 351
  A.3.7 倍角公式與半角公式 351
  A.3.8 積化和差與和差化積公式 351
  A.3.9 三角形的邊角關繫 351
  A.4 解析幾何 352
  A.4.1 直線 352
  A.4.2 二次曲線 353
  A.4.3 參數方程 354
  A.4.4極坐標 355

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