第1章向量代數與空間解析幾何

1.1空間直角坐標繫和向量

1.1.1空間直角坐標繫及兩點間的距離

1.1.2向量的概念及其性質

習題1.1

1.2向量的坐標表示

1.2.1向量的坐標分解

1.2.2向量及其運算的坐標表示

1.2.3向量的模和方向餘弦的坐標表示

習題1.2

1.3向量的數量積、向量積和混合積

1.3.1向量的數量積

1.3.2向量的向量積

1.3.3向量的混合積

習題1.3

1.4平面及其方程

1.4.1平面方程

1.4.2空間中點與平面的位置關繫

1.4.3平面與平面的位置關繫

習題1.4

1.5空間直線及其方程

1.5.1空間直線方程

1.5.2空間中直線間的位置關繫

1.5.3直線與平面的位置關繫

1.5.4平面束

習題1.5

1.6空間曲面、曲線及其方程

1.6.1空間曲面及其方程

1.6.2空間曲線及其方程

習題1.6

1.7幾類特殊的曲面及其方程

1.7.1母線平行於坐標軸的柱面方程

1.7.2旋轉曲面的方程

1.7.3二次曲面的方程

1.7.4空間區域簡圖

習題1.7

復習題1

第函數微分學及其應用

2函數的極限與連續

2.1.1平面點集及相關概念

2.1函數的概念

2.1函數的極限

2.1函數的連續性

2.1函數的概念、極限與連續

習題2.1

2.2偏導數與全微分

2.2.1偏導數及其計算方法

2.2.2全微分

2.2.3偏導數和全微分的幾何解釋

習題2.2

2復合函數的微分法

2.3復合函數的求導法則

2.3.2全微分形式不變性

習題2.3

2.4隱函數求導法則

2.4.1一個方程的情形

2.4.2方程組的情形

習題2.4

2.5高階偏導數

習題2.5

2.6偏導數與全微分的應用（Ⅰ）——幾何應用

2.6.1空間曲線的切線與法平面

2.6.2空間曲面的切平面與法線方程

習題2.6

2.7偏導數與全微分的應用（Ⅱ）——極值與值

2.7函數的極值

2.7函數的值

2.7.3條件極值與拉格朗日乘數法

習題2.7

2.8偏導數與全微分的應用（Ⅲ）——方向導數和梯度

2.8.1方向導數

2.8.2梯度

習題2.8

*2.9偏導數與全微分的應用（Ⅳ）——中值定理和泰勒公式

2.9函數的中值定理

2.9函數的泰勒公式

習題2.9

復習題2

第3章重積分

3.1二重積分的概念與性質

3.1.1引例

3.1.2二重積分的概念

3.1.3二重積分的幾何解釋

3.1.4二重積分的性質

3.1.5二重積分的對稱性質

習題3.1

3.2二重積分的計算方法

3.2.1直角坐標繫中二重積分的計算

3.2.2極坐標繫中二重積分的計算

習題3.2

3.3三重積分的概念及計算

3.3.1引例

3.3.2三重積分的概念

3.3.3三重積分的對稱性質

3.3.4空間直角坐標繫中的計算方法

3.3.5柱坐標繫中的計算方法

3.3.6球坐標繫中的計算方法

習題3.3

*3.4重積法

3.4.1二重積積分法

3.4.2三重積積分法

習題3.4

3.5重積分的應用

3.5.1空間立體的體積

3.5.2曲面的面積

3.5.3質心

3.5.4轉動慣量

3.5.5引力

習題3.5

復習題3

第4章曲線積分與曲面積分

4.1對弧長的曲線積分

4.1.1基本概念及性質

4.1.2對弧長的曲線積分的計算方法

習題4.1

4.2對坐標的曲線積分

4.2.1基本概念及性質

4.2.2對坐標的曲線積分的計算方法

4.2.3兩類曲線積分之間的關繫

習題4.2

4.3格林公式及其應用

4.3.1格林公式

4.3.2平面上曲線積分與路徑無關的條件

習題4.3

4.4對面積的曲面積分

4.4.1基本概念及性質

4.4.2對面積的曲面積分的計算方法

習題4.4

4.5對坐標的曲面積分

4.5.1基本概念及性質

4.5.2對坐標的曲面積分的計算方法

4.5.3兩類曲面積分之間的聯繫

習題4.5

4.6高斯公式、通量與散度

4.6.1高斯公式

4.6.2高斯公式的一個簡單應用

4.6.3通量與散度

習題4.6

4.7斯托克斯公式、環流量與旋度

4.7.1斯托克斯公式

4.7.2空間曲線與路徑無關的條件

4.7.3環流量與旋度

習題4.7

復習題4

第5章無窮級數

5.1常數項級數（Ⅰ）——基本概念與性質

5.1.1引例

5.1.2常數項級數的基本概念

5.1.3收斂級數的基本性質

習題5.1

5.2常數項級數（Ⅱ）——正項級數的斂散性

習題5.2

5.3常數項級數（Ⅲ）——任意項級數的斂散性

5.3.1交錯級數及其斂散性

5.3.2任意項級數及其斂散性

*5.3.3狄利克雷判別法與阿貝爾判別法

*5.3.4反常積分的判別法

習題5.3

5.4函數項級數（Ⅰ）——冪級數

5.4.1函數項級數的基本概念

5.4.2冪級數及其斂散性

5.4.3冪級數的運算及冪級數的和函數

習題5.4

5.5函數項級數（Ⅱ）——泰勒級數

5.5.1泰勒級數

5.5.2函數展開成冪級數

5.5.3應用舉例

*5.5.4常微分方程的冪級數解法

習題5.5

5.6函數項級數（Ⅲ）——傅裡葉級數

5.6.1三角級數

5.6.2周期為2π的函數的傅裡葉級數

5.6.3正弦級數和餘弦級數

5.6.4周期為2l的函數的傅裡葉級數

習題5.6

復習題5

習題答案及提示

參考文獻

本書的前身是2017年出版的《高等數學》（上、下冊）。經過幾年的教學實踐，編寫組於2021年對原教材進行了全面修訂，在內容及表現形式上做了一定的調整。
本書以*高等學校大學數學課程教學指導分委員會制定的《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》為依據，在知識點的覆蓋面與“基本要求”相一致的基礎上，對課程內容體繫進行了整體優化，強化了高等數學與後續專業課程的聯繫，使之更側重於培養學生的基礎能力和應用能力，以適應培養應用型、復合型本科人纔的培養目標。
本書的主要讀者對像是高等院校中理工類各專業的學生、復習考研的學生及自學高等數學的人員。學習高等數學的重要意義不僅在於學習數學知識的本身，而且在於培養並提高分析、歸納、推理、判斷等方面的能力，更在於服務後續的專業課程。對於大一新生而言，如何在短時間內完成從初等數學到高等數學的全方位跨越刻不容緩； 對於任課教師而言，如何引導學生順利地學習並用好高等數學課程中的各種“規則”勢在必行，從而完美解決教與學的相合度問題。與傳統教材相比，本書的理念及特色主要體現在以下幾方面： 

1.  在知識體繫的編排上，突出基礎的重要地位。對教材的內容進行了適當的優化和調整，使得課程內容的布局更加合理。例如，在傳統教材中，函數、數列極限是幾乎被忽略的內容，隻用很少的篇幅進行介紹，並且在授課時也隻是泛泛講解，這對學生學習高等數學是非常不利的。一方面，函數是微積分的研究對像，數列極限可以較好地幫助讀者認識和理解極限的概念，淡化了這些基礎內容，不利於學生完成從初等數學到高等數學的思維方式跨越； 另一方面，學生從高考結束到進入大學學習，空閑了至少兩個月的時間，淡化了這些內容，對學生學習後續的內容影響很大。
2. 在課程內容的編寫上，注重知識點的使用方法和技巧。學好高等數學的要素是學習並用好“規則”，這些“規則”包括： 教材內容涵蓋的定義、性質、定理、推論及一些重要的結論等。為此，在給出重要的“規則”時，對其進行必要的說明，指出在使用這些“規則”解決相關問題時的誤區，列舉了一些典型反例； 對典型例題進行先分析提示，再引導求解，逐步使學生在學習“規則”時，能夠正確理解並合理使用這些“規則”，做題時有理可依、有據可查。
3. 在例題、習題的選配方面，注重不同層次和類別。為了滿足不同專業、不同層次學生的需求，將例題分為三個層次。層次注重的是基本“規則”，使學生能夠正確合理使用這些“規則”解決一些基本問題； 第二層次注重的是方法和技巧，使學生能夠靈活運用這些“規則”解決一些相對復雜的問題，培養學生的邏輯推理和計算能力； 第三層次注重的是應用，使學生能夠綜合運用所學的“規則”解決一些較為困難的問題，從而提高學生的數學素質。將課後習題分為A和B兩類，學生通過學習、第二層次的例題便可以解決A類題中的內容，而B類題的內容相對復雜，求解較為困難，主要是為了滿足部分專業和部分考研學生對高等數學的實際需求。
4. 在電子課件的制作方面，注重動畫演示過程的精準展現。課程組經過多年的教學實踐，設計了課件的框架和規範，進而研制了與教材內容相對應的電子課件。針對目前電子課件資源普遍存在的問題，課程組在知識構架、頁面布局、內容銜接、動畫演示等方面進行了整體設計。研制的電子課件便於任課教師在備課時根據自身特點和授課對像進行必要的修改和增減。需要說明的是，本課件在研制過程中參考並借鋻了中國礦業大學李安昌教授、曹瓔珞教授研制的課件《高等數學》（同濟第六版）中的一些理念、方法和內容，在此表示感謝！
5. 在信息手段的利用方面，注重線上線下教與學的有機統一。本書作為高等數學立體化教材的主教材，為了在信息時代充分利用好線上線下的資源，課程組在研制的電子課件基礎上，抽選了課程的各個知識要點、典型例題和各章的復習題，精心錄制了相關視頻，並在教材的相應位置提供了二維碼鏈接，讀者可以通過手機或平板電腦等移動端掃描二維碼進行學習。這種做法的好處在於，便於學生有針對性地進行預習、學習和復習，符合碎片化、傾向性學習的需求，實現了課前預習、課上聽講、課後復習的一條龍學習模式。特別地，每個視頻的後部分都配備了相應的思考與練習，既有課外習題的延伸講解，又留有相應的課後練習。
本書在編寫和改版過程中，各位參與編寫的教師齊心協力，不僅重新修訂了各自編寫的章節，還對全書的統稿和定稿建言獻策，並進行了認真審閱，順利完成了預期任務。其中，黃永東承擔本書的主審工作； 袁學剛和張文正負責全書的統稿、改版及定稿； 董麗編寫四章，焦佳編寫三章，張文正編寫三章，謝叢波編寫兩章，楚振艷編寫一章，趙巍編寫一章。袁學剛、張文正、趙巍、馬威和牛大田負責各知識點視頻的錄制和校對； 袁學剛、呂娜、張文正負責本書配套課件的研制和修訂。特別地，馬威在錄制上冊章的視頻（函數部分）過程中，添加了許多函數的應用背景，並進行了生動的配音講解，為相關視頻增色很多。
本書的順利出版，離不開大連民族大學各級領導的關心和支持，在此表示感謝。幾年來，清華大學出版社劉穎編審為本書的出版及修訂做了大量的工作，在此表示感謝！同時，也向那些曾經給本書提過寶貴意見的專家與讀者們表示感謝！

編者2021年2月4日