了得網研究生_全國大學生數學競賽輔導指南(第2版)

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全國大學生數學競賽輔導指南(第2版)
該商品所屬分類：研究生 -> 理學
【市場價】	227-329元
【優惠價】	142-206元
【作者】	張天德、竇慧、崔玉泉、王瑋
【所屬類別】	圖書教材研究生/本科/專科教材理學
【出版社】	清華大學出版社
【ISBN】	9787302473367
【折扣說明】	一次購物滿999元台幣免運費+贈品一次購物滿2000元台幣95折+免運費+贈品一次購物滿3000元台幣92折+免運費+贈品一次購物滿4000元台幣88折+免運費+贈品
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內容介紹

開本：32開

紙張：膠版紙

包裝：平裝-膠訂

是否套裝：否

國際標準書號ISBN：9787302473367

作者：張天德、竇慧、崔玉泉、王瑋

出版社：清華大學出版社

出版時間：2017年06月

編輯推薦

囊括了已經舉辦的八屆競賽的預賽和決賽試題及答案，以便於讀者了解競賽命題的難易程度和命題走向。彙集整理了各類競賽題目，為讀者擴展了視野，提高了處理難題的技能和技巧。

內容簡介

本書共分為3部分.第1部分的內容是八屆預賽試題及答案；第2部分為考點直擊，針對考試大綱對每個專題進行考點直擊，包括考點綜述、解題方法點撥和競賽例題；第3部分為八屆決賽試題

中國大學生數學競賽大綱（初稿）1第1部分八屆預賽試題及參考答案首屆全國大學生數學競賽預賽(2009年非數學類)6第二屆全國大學生數學競賽預賽(2010年非數學類)10第三屆全國大學生數學競賽預賽(2011年非數學類)15第四屆全國大學生數學競賽預賽(2012年非數學類)19第五屆全國大學生數學競賽預賽(2013年非數學類)24第六屆全國大學生數學競賽預賽(2014年非數學類)28第七屆全國大學生數學競賽預賽(2015年非數學類)32第八屆全國大學生數學競賽預賽(2016年非數學類)36第2部分考點直擊第1章函數極限連續421.1函數421.1.1考點綜述和解題方法點撥421.1.2競賽例題421.1.3模擬練習題11431.2極限441.2.1考點綜述和解題方法點撥441.2.2競賽例題461.2.3模擬練習題12491.3連續與間斷491.3.1考點綜述和解題方法點撥491.3.2競賽例題501.3.3模擬練習題1353第2章微分學542函數微分學542.1.1考點綜述和解題方法點撥542.1.2競賽例題582.1.3模擬練習題21822函數微分學822.2.1考點綜述和解題方法點撥822.2.2競賽例題882.2.3模擬練習題2297第3章積分學983.1不定積分983.1.1考點綜述和解題方法點撥983.1.2競賽例題993.1.3模擬練習題311043.2定積分1043.2.1考點綜述和解題方法點撥1043.2.2競賽例題1083.2.3模擬練習題321363.3二重積分1373.3.1考點綜述和解題方法點撥1373.3.2競賽例題1393.3.3模擬練習題331493.4三重積分1503.4.1考點綜述和解題方法點撥1503.4.2競賽例題1523.4.3模擬練習題341573.5類曲線積分1573.5.1考點綜述和解題方法點撥1573.5.2競賽例題1583.5.3模擬練習題351603.6第二類曲線積分1603.6.1考點綜述和解題方法點撥1603.6.2競賽例題1623.6.3模擬練習題361713.7類曲面積分1723.7.1考點綜述和解題方法點撥1723.7.2競賽例題1733.7.3模擬練習題371753.8第二類曲面積分1753.8.1考點綜述和解題方法點撥1753.8.2競賽例題1783.8.3模擬練習題38184第4章微分方程1854.1一階微分方程1854.1.1考點綜述和解題方法點撥1854.1.2競賽例題1864.1.3模擬練習題411954.2可降階的二階微分方程1954.2.1考點綜述和解題方法點撥1954.2.2競賽例題1964.2.3模擬練習題421974.3線性微分方程1974.3.1考點綜述和解題方法點撥1974.3.2競賽例題1994.3.3模擬練習題 43206第5章無窮級數2085.1數項級數2085.1.1考點綜述和解題方法點撥2085.1.2競賽例題2095.1.3模擬練習題512215.2冪級數2225.2.1考點綜述和解題方法點撥2225.2.2競賽例題2235.2.3模擬練習題522385.3傅裡葉級數2385.3.1考點綜述和解題方法點撥2385.3.2競賽例題2405.3.3模擬練習題53241第6章向量代數與空間解析幾何2426.1向量及其運算2426.1.1考點綜述和解題方法點撥2426.1.2競賽例題2436.1.3模擬練習題612446.2空間平面和直線2446.2.1考點綜述和解題方法點撥2446.2.2競賽例題2466.2.3模擬練習題622486.3空間曲面和曲線2486.3.1考點綜述和解題方法點撥2486.3.2競賽例題2506.3.3模擬練習題63254模擬練習題參考答案255第3部分八屆決賽試題及參考答案屆全國大學生數學競賽決賽(2010年非數學類)288第二屆全國大學生數學競賽決賽(2011年非數學類)294第三屆全國大學生數學競賽決賽(2012年非數學類)299第四屆全國大學生數學競賽決賽(2013年非數學類)303第五屆全國大學生數學競賽決賽(2014年非數學類)307第六屆全國大學生數學競賽決賽(2015年非數學類)311第七屆全國大學生數學競賽決賽(2016年非數學類)315第八屆全國大學生數學競賽決賽(2017年非數學類)319參考文獻324

中國大學生數學競賽大綱（初稿）1第1部分八屆預賽試題及參考答案首屆全國大學生數學競賽預賽(2009年非數學類)6第二屆全國大學生數學競賽預賽(2010年非數學類)10第三屆全國大學生數學競賽預賽(2011年非數學類)15第四屆全國大學生數學競賽預賽(2012年非數學類)19第五屆全國大學生數學競賽預賽(2013年非數學類)24第六屆全國大學生數學競賽預賽(2014年非數學類)28第七屆全國大學生數學競賽預賽(2015年非數學類)32第八屆全國大學生數學競賽預賽(2016年非數學類)36第2部分考點直擊第1章函數極限連續421.1函數421.1.1考點綜述和解題方法點撥421.1.2競賽例題421.1.3模擬練習題11431.2極限441.2.1考點綜述和解題方法點撥441.2.2競賽例題461.2.3模擬練習題12491.3連續與間斷491.3.1考點綜述和解題方法點撥491.3.2競賽例題501.3.3模擬練習題1353第2章微分學542.1542.1.1考點綜述和解題方法點撥542.1.2競賽例題582.1.3模擬練習題21822.2822.2.1考點綜述和解題方法點撥822.2.2競賽例題882.2.3模擬練習題2297第3章積分學983.1不定積分983.1.1考點綜述和解題方法點撥983.1.2競賽例題993.1.3模擬練習題311043.2定積分1043.2.1考點綜述和解題方法點撥1043.2.2競賽例題1083.2.3模擬練習題321363.3二重積分1373.3.1考點綜述和解題方法點撥1373.3.2競賽例題1393.3.3模擬練習題331493.4三重積分1503.4.1考點綜述和解題方法點撥1503.4.2競賽例題1523.4.3模擬練習題341573.5類曲線積分1573.5.1考點綜述和解題方法點撥1573.5.2競賽例題1583.5.3模擬練習題351603.6第二類曲線積分1603.6.1考點綜述和解題方法點撥1603.6.2競賽例題1623.6.3模擬練習題361713.7類曲面積分1723.7.1考點綜述和解題方法點撥1723.7.2競賽例題1733.7.3模擬練習題371753.8第二類曲面積分1753.8.1考點綜述和解題方法點撥1753.8.2競賽例題1783.8.3模擬練習題38184第4章微分方程1854.1一階微分方程1854.1.1考點綜述和解題方法點撥1854.1.2競賽例題1864.1.3模擬練習題411954.2可降階的二階微分方程1954.2.1考點綜述和解題方法點撥1954.2.2競賽例題1964.2.3模擬練習題421974.3線性微分方程1974.3.1考點綜述和解題方法點撥1974.3.2競賽例題1994.3.3模擬練習題 43206第5章無窮級數2085.1數項級數2085.1.1考點綜述和解題方法點撥2085.1.2競賽例題2095.1.3模擬練習題512215.2冪級數2225.2.1考點綜述和解題方法點撥2225.2.2競賽例題2235.2.3模擬練習題522385.3傅裡葉級數2385.3.1考點綜述和解題方法點撥2385.3.2競賽例題2405.3.3模擬練習題53241第6章向量代數與空間解析幾何2426.1向量及其運算2426.1.1考點綜述和解題方法點撥2426.1.2競賽例題2436.1.3模擬練習題612446.2空間平面和直線2446.2.1考點綜述和解題方法點撥2446.2.2競賽例題2466.2.3模擬練習題622486.3空間曲面和曲線2486.3.1考點綜述和解題方法點撥2486.3.2競賽例題2506.3.3模擬練習題63254模擬練習題參考答案255第3部分八屆決賽試題及參考答案屆全國大學生數學競賽決賽(2010年非數學類)288第二屆全國大學生數學競賽決賽(2011年非數學類)294第三屆全國大學生數學競賽決賽(2012年非數學類)299第四屆全國大學生數學競賽決賽(2013年非數學類)303第五屆全國大學生數學競賽決賽(2014年非數學類)307第六屆全國大學生數學競賽決賽(2015年非數學類)311第七屆全國大學生數學競賽決賽(2016年非數學類)315第八屆全國大學生數學競賽決賽(2017年非數學類)319參考文獻324

前言

自2009年10月開始至今全國大學生數學競賽已經成功舉辦了八屆，競賽面向全國本科生，是一項全國性的高水平學科競賽，為青年學子提供了展示數學特長的舞臺，也為發現和選撥優秀數學人纔積累了資源.隨著數學競賽持續深入開展，參賽學生越來越多，規模越來越大，參賽學子對數學競賽資料的需求也越來越大.但是關於數學競賽專門的資料寥寥幾部且內容偏少、沒有更新，滿足不了廣大參賽學生的需求，因此我們著手編寫這本《全國大學生數學競賽輔導指南》.該指南是針對非數學專業的全國大學生數學競賽編寫的，它可供參加數學競賽的師生作為應試教程，也可以供各類高校的大學生作為學習高等數學和考研的參考書，還可以作為教師的教學參考用書.《全國大學生數學競賽輔導指南》全書分為3個部分，第1部分是從2009年的首屆到2016年的第八屆預賽試題及解答，內容全面；第2部分為考點直擊，這一部分分為6章(函數極限連續、微分學、積分學、微分方程、無窮級數、向量代數與空間解析幾何)，每章裡面包含若干節，每節給出考試要求並對考點進行分析綜述，給出相關的出題方式和解題點撥，有利於考生有效地提高數學水平；第3部分給出八屆決賽試題，開闊讀者視野.本書是迄今為止內容全面豐富的一本競賽參考資料.鋻於作者水平有限，編寫時間比較倉促，書中難免有不當之處，敬請各位專家、讀者批評指正，便於以後改版修訂.張天德2017年3月

媒體評論

評論

在線試讀

中國大學生數學競賽大綱(初稿)中國大學生數學競賽大綱(初稿)中國大學生數學競賽大綱(初稿)為了進一步推動高等學校數學課程的改革和建設，提高大學數學課程的教學水平，激勵大學生學習數學的興趣，發現和選撥數學創新人纔，更好地實現“中國大學生數學競賽”的目標，特制訂本大綱.一、競賽的性質和參賽對像“中國大學生數學競賽”的目的是：激勵大學生學習數學的興趣，進一步推動高等學校數學課程的改革和建設，提高大學數學課程的教學水平，發現和選撥數學創新人纔.“中國大學生數學競賽”的參賽對像為大學本科二年級及二年級以上的在校大學生.二、競賽的內容中國大學生數學競賽競賽內容為大學本科理工科專業高等數學課程的教學內容，具體內容如下：(一)函數、極限、連續1.函數的概念及表示法、簡單應用問題的函數關繫的建立.2.函數的性質：有界性、單調性、周期性和奇偶性.3.復合函數、反函數、分段函數和隱函數、基本初等函數的性質及其圖形、初等函數.4.數列極限與函數極限的定義及其性質、函數的左極限與右極限.5.無窮小和無窮大的概念及其關繫、無窮小的性質及無窮小的比較.6.極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.7.函數的連續性(含左連續與右連續)、函數間斷點的類型.8.連續函數的性質和初等函數的連續性.9.閉區間上連續函數的性質(有界性、值和小值定理、介值定理).(函數微分學1.導數和微分的概念、導數的幾何意義和物理意義、函數的可導性與連續性之間的關繫、平面曲線的切線和法線.2.基本初等函數的導數、導數和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.3.復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法.4.高階導數的概念、分段函數的二階導數、某些簡單函數的n階導數.5.微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必達(LHospital)法則與求未定式極限.7.函數的極值、函數單調性、函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數圖形的描繪.8.函數值和小值及其簡單應用.9.弧微分、曲率、曲率半徑.(函數積分學1.原函數和不定積分的概念.2.不定積分的基本性質、基本積分公式.3.定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數及其導數、牛頓萊布尼茨(NewtonLeibniz)公式.4.不定積分和定積積分法與分部積分法.5.有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分.6.廣義積分.7.定積分的應用：平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數的平均值.(四)常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.2.變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程：y(n)=f(x)，y″=f(x,y′)，y″=f(y,y′).4.線性微分方程解的性質及解的結構定理.5.二階常繫數齊次線性微分方程、高於二階的某些常繫數齊次線性微分方程.6.簡單的二階常繫數非齊次線性微分方程：自由項為多項式、指數函數、正弦函數、餘弦函數，以及它們的和與積.7.歐拉(Euler)方程.8.微分方程的簡單應用.(五)向量代數和空間解析幾何1.向量的概念、向量的線性運算、向量的數量積和向量積、向量的混合積.2.兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.3.向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數與方向餘弦.4.曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.5.平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件，點到平面和點到直線的距離.6.球面、母線平行於坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形.7.空間曲線的參數方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.(函數微分學函數的概函數的幾何意義.函數的極限和連續的概念、有界閉區連續函數的性質.函數偏導數和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.復合函數、隱函數的求導法.5.二階偏導數、方向導數和梯度.6.空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.函數的二階泰勒公式.函數極值和條件極值、拉格朗日乘數函數的值、小值及其簡單應用.(函數積分學1.二重積分和三重積分的概念及性質、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)、三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標）.2.兩類曲線積分的概念、性質及計算，兩類曲線積分的關繫.3.格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關的條件、函數全微分求原函數.4.兩類曲面積分的概念、性質及計算，兩類曲面積分的關繫.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.6.重積分、曲線積分和曲面積分的應用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質量、質心、轉動慣量、引力、功及流量等).(八)無窮級數1.常數項級數的收斂與發散、收斂級數的和、級數的基本性質與收斂的必要條件.2.幾何級數與p級數及其收斂性、正項級數收斂性的判別法、交錯級數與萊布尼茨(Leibniz)判別法.3.任意項級數的收斂與條件收斂.4.函數項級數的收斂域與和函數的概念.5.冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)、收斂域與和函數.6.冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)、簡單冪級數的和函數的求法.7.初等函數的冪級數展開式.8.函數的傅裡葉(Fourier)繫數與傅裡葉級數、狄利克雷(Dirichlet)定理、函數在\\[-1，1\\]上的傅裡葉級數、函數在\\[0，1\\]上的正弦級數和餘弦級數.[]第1部分八屆預賽試題及參考答案第1部分八屆預賽試題及參考答案首屆全國大學生數學競賽預賽(2009年非數學類)首屆全國大學生數學競賽預賽(2009年非數學類)〖1〗試題一、填空題(本題共4個小題，每題5分，共20分)（1）計算D(x y)ln1 y〖〗x〖〗1－x－ydxdy=，其中區域D是由直線x y=1與兩坐標軸所圍三角形區域.（2）設f(x)是連續函數，且滿足f(x)=3x2－∫20f(x)dx－2，則f(x)=.（3）曲面z=x2〖〗2 y2－2平行平面2x 2y－z=0的切平面方程是.（4）設函數y=y(x)由方程xef(y)=eyln29確定，其中f具有二階導數，且f′≠1，則d2y〖〗dx2=.〖=H〗二、〖=B〗（5分）求極限limx→0ex e2x … enx〖〗ne〖〗x，其中n是給定的正整數.〖=H〗三、〖=B〗（15分）設函數f(x)連續，g(x)=∫10f(xt)dt，且limx→0f(x)〖〗x=A，A為常數，求g′(x)並討論g′(x)在x=0處的連續性.〖=H〗四、〖=B〗（15分）已知平面區域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}，L為D的正向邊界，試證：（1）∮Lxesinydy－ye－sinxdx=∮Lxe－sinydy－yesinxdx；（2）∮Lxesinydy－ye－sinxdx≥5〖〗2π2.〖=H〗五、〖=B〗（10分）已知y1=xex e2x，y2=xex e－x，y3=xex e2x－e－x是某二階常繫數線性非齊次微分方程的三個解，試求此微分方程.〖=H〗六、〖=B〗（10分）設拋物線y=ax2 bx 2lnc過原點，當0≤x≤1時，y≥0，又已知該拋物線與x軸及直線x=1所圍圖形的面積為1〖〗3.試確定a,b,c，使此圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積V小.〖=H〗七、〖=B〗（15分）已知un(x)滿足u′n(x)=un(x) xn－1ex,n=1,2,…，且un(1)=e〖〗n，求函數項級數∑SymboleB@〖〗n=1un(x)之和.〖=H〗八、〖=B〗（10分）求x→1－時，與∑SymboleB@〖〗n=0xn2等價的無窮大量.參考答案〖=H〗一、〖=B〗（1）16〖〗15.（2）3x2－10〖〗3.（3）2x 2y－z－5=0. （4）－［1－f′(y)］2－f″(y)〖〗x2［1－f′(y)］3.〖=H〗二、解〖=B〗原式〖〗=limx→0expe〖〗xlnex e2x … enx〖〗n=explimx→0e(ln(ex e2x … enx)－lnn)〖〗x,其中大括號內的極限是0〖〗0型未定式，由洛必達法則，有limx→0e(ln(ex e2x … enx)－lnn)〖〗x〖〗=limx→0e(ex 2ex … nenx)〖〗ex e2x … enx=e(1 2 … n)〖〗n=n 1〖〗2e,於是原式=en 1〖〗2e.〖=H〗三、解〖=B〗由題設，知f(0)=0,g(0)=0.令u=xt，得g(x)=∫x0f(u)du〖〗x,x≠0.而g′(x)=xf(x)－∫x0f(u)du〖〗x2,x≠0.由導數的定義有g′(0)=limx→0∫x0f(u)du〖〗x2=limx→0f(x)〖〗2x=A〖〗2.另外limx→0g′(x)=limx→0xf(x)－∫x0f(u)du〖〗x2=limx→0f(x)〖〗x－limx→0∫x0f(u)du〖〗x2=A－A〖〗2=A〖〗2=g′(0).從而知g′(x)在x=0處連續.〖=H〗四、證法1〖=B〗由於區域D為一正方形，可以直接用對坐標曲線積分的計算法計算.（1）左邊=∫π0πesinydy－∫0ππe－sinxdx=π∫π0(esinx e－sinx)dx,右邊=∫π0πe－sinydy－∫0ππesinxdx=π∫π0(esinx e－sinx)dx，所以∮Lxesinydy－ye－sinxdy=∮Lxe－sinydy－yesinxdx.（2）由泰勒公式得esinx e－sinx≥2 sin2x，故∮Lxesinydy－ye－sinxdx=π∫π0(esinx e－sinx)dx≥π∫π0(2 sin2x)dx=5〖〗2π2.〖=H〗證法2〖=B〗（1）根據格林公式，將曲線積分化為區域D上的二重積分∮Lxesinydy－ye－sinxdx=D(esiny e－siny)dσ，∮Lxe－sinydy－yesinxdx=D(e－siny esiny)dσ.因為關於y=x對稱，所以D(esiny e－siny)dσ=D(e－siny esiny)dσ,故∮Lxesinydy－ye－sinxdx=∮Lxe－sinydy－yesinxdx.（2）由et e－t=2∑SymboleB@〖〗n=0t2n〖〗(2n)!≥2 t2，有∮Lxesinydy－ye－sinxdx=D(esiny e－sinx)dσ=D(esinx e－sinx)dσ≥5〖〗2π2.〖=H〗五、解〖=B〗根據二階線性非齊次微分方程解的結構的有關知識，由題設可知2y1－y2－y3=e2x與y1－y3=e－x是相應齊次方程兩個線性無關的解，且xex是非齊次方程的一個特解，因此可以用下述兩種解法.〖=H〗解法1〖=B〗設此方程式為y″－y′－2y=f(x).將y=xex代入上式，得f(x)=(xex)″－(xex)′－2xex=2ex xex－ex－xex－2xex=ex－2xex，因此所求方程為y″－y′－2y=ex－2xex.〖=H〗解法2〖=B〗設y=xex c1e2x c2e－x是所求方程的通解，由y′=ex xex 2c1e2x－c2e－x，y″=2ex xex 4c1e2x c2e－x，消去c1,c2得所求方程為y″－y′－2y=ex－2xex.〖=H〗六、解〖=B〗因拋物線過原點，故c=1.由題設有∫10(ax2 bx)dx=a〖〗3 b〖〗2=1〖〗3，即b=2〖〗3(1－a)，而V=π∫10(ax2 bx)2dx=π1〖〗5a2 1〖〗2ab 1〖〗3b2=π1〖〗5a2 1〖〗3a(1－a) 1〖〗3×4〖〗9(1－a)2.令dV〖〗da=π2〖〗5a 1〖〗3－2〖〗3a－8〖〗27(1－a)=0，得a=－5〖〗4，代入b的表達式得b=3〖〗2，所以y≥0.又因d2V〖〗da2a=－5〖〗4=π2〖〗5－2〖〗3 8〖〗27=4〖〗135π>0及實際情況，當a=－5〖〗4,b=3〖〗2,c=1時，體積小.〖=H〗七、解〖=B〗先解一階常繫數微分方程，求出un(x)的表達式，然後再求∑SymboleB@〖〗n=1un(x)的和.由已知條件可知u′n(x)－un(x)=xn－1ex是關於un(x)的一個一階常繫數線性微分方程，故其通解為un(x)=e∫dx∫xn－1exe－∫dxdx c=exxn〖〗n c.由條件un(1)=e〖〗n，得c=0，故un(x)=xnex〖〗n，從而∑SymboleB@〖〗n=1un(x)=∑SymboleB@〖〗n=1xnex〖〗n=ex∑SymboleB@〖〗n=1xn〖〗n.s(x)=∑SymboleB@〖〗n=1xn〖〗n，其收斂域為［－1,1)，當x∈(－1,1)時，有s′(x)=∑SymboleB@〖〗n=1xn－1=1〖〗1－x，故s(x)=∫x01〖〗1－tdt=－ln(1－x).當x=－1時∑SymboleB@〖〗n=1un(x)=－e－1ln2.於是，當－1≤x<1時，有∑SymboleB@〖〗n=1un(x)=－exln(1－x).〖=H〗八、解〖=B〗∫ SymboleB@0xt2dt≤∑SymboleB@〖〗n=0xn2≤1 ∫ SymboleB@0xt2dt，故有∫ SymboleB@0xt2dt=∫ SymboleB@0e－t2ln1〖〗xdt=1〖〗ln1〖〗x∫ SymboleB@0e－t2dt=1〖〗2π〖〗ln1〖〗x~1〖〗2π〖〗1－x.第1部分八屆預賽試題及參考答案第二屆全國大學生數學競賽預賽(2010年非數學類)第二屆全國大學生數學競賽預賽(2010年非數學類)〖1〗試題一、計算下列各題(本題共5個小題，每題5分，共25分）（要求寫出重要步驟）（1）設xn=(1 a)(1 a2)…(1 a2n)，其中|a|<1，求limn→SymboleB@xn.（2）求limx→SymboleB@ e－x1 1〖〗xx2.（3）設s>0，求In=∫ SymboleB@0e－sxxndx(n=1,2,…).（4）設函數f(t)有二階連續導數，r=x2 y2,g(x,y)=f1〖〗r，求2g〖〗x2 2g〖〗y2.（5）求直線l1:x－y=0,z=0與直線l2:x－2〖〗4=y－1〖〗－2=z－3〖〗－1的距離.〖=H〗二、〖=B〗（15分）設函數f(x)在(－SymboleB@, SymboleB@)上具有二階導數，並且f″(x)>0,limx→ SymboleB@f′(x)=α>0,limx→－SymboleB@f′(x)=β<0，且存在一點x0，使得f(x0)<0.證明：方程f(x)=0在(－SymboleB@, SymboleB@)恰有兩個實根.〖=H〗三、〖=B〗（15分）設函數y=f(x)由參數方程x=2t t2,y=ψ(t),t>－1所確定，且d2y〖〗dx2=3〖〗4(1 t)，其中ψ(t)具有二階導數，曲線y=ψ(t)與y=∫t21e－u2du 3〖〗2e在t=1處相切.求函數ψ(t).〖=H〗四、〖=B〗（15分）設an>0,Sn=∑n〖〗k=1ak，證明：（1）當α>1時，級數∑ SymboleB@〖〗n=1an〖〗Sαn收斂；（2）當α≤1，且Sn→SymboleB@(n→SymboleB@)時，級數∑ SymboleB@〖〗n=1an〖〗Sαn發散.〖=H〗五、〖=B〗（15分）設l是過原點、方向為(α,β,γ)（其中α2 β2 γ2=1)的直線，均勻橢球x2〖〗a2 y2〖〗b2 z2〖〗c2≤1（其中0

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