目 錄


第1章 矢量分析與場論初步1

§1.1 矢量函數及其導數與積分1

1.1.1 矢量函數1

1.1.2 矢量函數的極限與連續性3

1.1.3 矢量函數的導數和積分5

§1.2 梯度、散度與旋度在正交曲線坐標繫中的表達式10

1.2.1 直角坐標繫下“三度”及Hamilton算子10

1.2.2 正交曲線坐標繫下的“三度”17

1.2.3 “三度”的運算公式21

§1.3 正交曲線坐標繫下的Laplace算符、Green公式和Green第二公式23

§1.4 算子方程25

習題一31

第2章 數學物理定解問題34

§2.1 基本方程的建立34

2.1.1 均勻弦的微小橫振動34

2.1.2 均勻膜的微小橫振動36

2.1.3 傳輸線方程37

2.1.4 電磁場方程39

2.1.5 熱傳導方程40

2.1.6 擴散方程42

§2.2 定解條件43

2.2.1 初始條件43

2.2.2 邊界條件44

§2.3 定解問題的提法46

§2.4 二階線性偏微分方程的分類與化簡47

2.4.1 兩個自變量方程的分類與化簡47

2.4.2 常繫數偏微分方程的進一步簡化53

2.4.3 線性偏微分方程的疊加原理54

習題二55

第3章 分離變量法57

§3.1 （1 1）維齊次方程的分離變量法57

3.1.1 有界弦的自由振動57

3.1.2 有限長杆上的熱傳導65

3.2 二維Laplace方程的定解問題70

3.3 高維Fourier級數及其在高維定解問題中的應用77

3.4 非齊次方程的解法82

3.4.1 固有函數法82

3.4.2 衝量法89

3.4.3 特解法93

3.5 非齊次邊界條件的處理95

習題三102

第4章 二階常微分方程的級數解法 本征值問題105

§4.1 二階常微分方程繫數與解的關繫105

§4.2 二階常微分方程的級數解法106

4.2.1 常點鄰域內的級數解法106

4.2.2 正則奇點附近的級數解法111

4.3 SturmLiouville（斯特姆劉維爾）本征值問題117

習題四122

第5章 Legendre多項式及其應用124

5.1 Legendre方程與Legendre多項式的引入124

5.2 Legendre 多項式的性質127

5.2.1 Legendre多項式的微分表示127

5.2.2 Legendre多項式的積分表示129

5.2.3 Legendre多項式的母函數129

5.2.4 Legendre多項式的遞推公式131

5.2.5 Legendre多項式的正交歸一性132

5.2.6 按Pn(x)的廣義Fourier級數展開134

5.2.7 一個重要公式134

5.3 Legendre多項式的應用135

5.4 關聯Legendre多項式139

5.4.1 關聯 Legendre函數的微分表示140

5.4.2 關聯Legendre函數的積分表示140

5.4.3 關聯Legendre函數的正交性與模方141

5.4.4 按Pml(x)的廣義Fourier級數展開141

5.4.5 關聯Legendre函數遞推公式141

習題五143

第6章 Bessel函數的性質及其應用145

6.1 Bessel方程的引出145

6.2 Bessel函數的性質147

6.2.1 Bessel函數的基本形態及本征值問題147

6.2.2 Bessel函數的遞推公式149

6.2.3 Bessel函數的正交性和模方152

6.2.4 按Bessel函數的廣義Fourier級數展開153

6.2.5 Bessel函數的母函數 積分表示和加法公式154

6.3 Bessel函數在定解問題中的應用156

6.4 修正Bessel函數164

6.4.1 類修正Bessel函數164

6.4.2 第二類修正Bessel函數165

6.5 球Bessel函數169

6.5.1 波動方程的變量分離169

6.5.2 熱傳導方程的分離變量170

6.6.3 Helmholtz方程的分離變量170

6.5.4 球Bessel函數171

6.6 柱面波與球面波177

6.6.1 柱面波177

6.6.2 球面波180

6.7 可化為Bessel方程的方程181

6.7.1 Kelvin (W.ThomSon)方程181

6.7.2 其他例子181

6.7.3 含Bessel函數的積分182

6.8 其他特殊函數方程簡介186

6.8.1 Hemiter多項式186

6.8.2 Laguerre多項式188

習題六189

第7章 行波法與積分變換法191

§7.1 一維波動方程的D'Alember(達朗貝爾)公式191

§7.2 三維波動方程的Poisson公式196

§7.3 Fourier積分變換法求定解問題203

7.3.1 預備知識——Fourier變換及性質204

7.3.2 Fourier變換法205

§7.4 Laplace變換法解定解問題208

7.4.1 Laplace變換及其性質208

7.4.2 Laplace變換法210

習題七213

第8章 Green函數法216

§8.1 引言216

§8.2 δ函數的定義與性質217

8.2.1 δ函數的定義217

8.2.2 廣義函數的導數218

8.2.3 δ函數的Fourier變換219

8.2.4 高維δ函數220

§8.3 Poisson方程的邊值問題220

8.3.1 Green公式220

8.3.2 解的積分形式—Green函數法221

8.3.3 Green函數關於源點和場點是對稱的225

§8.4 Green函數的一般求法225

8.4.1 無界區域的Green函數226

8.4.2 用本征函數展開法求邊值問題的Green函數227

§8.5 用電像法求某些特殊區域的DirichletGreen函數229

8.5.1 Poisson方程的DirichletGreen函數及其物理意義229

8.5.2 用電像法求Green函數230

§8.6* 含時間的定解問題的Green函數233

習題八238

第9章 變分法239

§9.1 泛函和泛函極值239

9.1.1 泛函239

9.1.2 泛函的極值與泛函的變分240

9.1.3 泛函取極值的必要條件—歐拉方程241

9.1.4 復雜泛函的Euler方程244

9.1.5 泛函的條件極值問題247

9.1.6 求泛函極值的直接方法——Ritz（裡茲）方法252

§9.2 用變分法解數理方程255

9.2.1 本征值問題和變分問題的關繫255

9.2.2 通過求泛函的極值來求本征值257

9.2.3 邊值問題與變分問題的關繫260

§9.3* 與波導相關的變分原理及近似計算262

9.3.1 共振頻率的變分原理262

9.3.2 波導的傳播常數γ的變分原理264

9.3.3 任意截面的柱形波導管截止頻率的近似計算265

習題九273

附錄A Fourier變換和Laplace變換簡表276


附錄B 通過計算留數求拉普拉斯變換的反演281


參考文獻283